Image d'un nombre complexe

image d'un nombre complexe

On muni le plan d'un repère $\Ruv$.

Dans ce repère, on décide de représenter tout nombre complexe $z=x+\i y$ par le point de coordonnées $M\coord{x}{y}$.

Ce point est appelé l'image de $z$.

Ce plan est appelé plan d'Argand-Cauchy.

L'axe horizontal est appelé l'axe des réels.

L'axe vertical est appelé l'axe des imaginaires.

Jean-Robert Argand était un mathématicien suisse de la fin du XVIII^ème et du début du XIX^eme siècle (1768 -- 1822).

Il introduisit en 1806 la représentation des nombres complexes, mais ce ne fut pas le premier. En effet, le mathématicien danois Caspar Wessel le fit un peu avant dans un de ses articles, qui passa inaperçu jusqu'en 1897 où on le retrouva.

On peut donc supposer qu'Argand eut une idée analogue à celle de Wessel sans pour autant le copier.

affixe

Dans le plan d'Argand-Cauchy, on considère un point $M\coord{x}{y}$ et un vecteur $\vec{w}\dbinom{x}{y}$.

Alors le nombre complexe $z=x+\i y$ est appelé l'affixe du point M et l'affixe du vecteur $\vec{w}$.

Le point M a pour affixe $z_M=2-2\i$ car $M\coord{2}{-2}$.

Le vecteur $\vv{w}$ a pour affixe $z_{\vv{w}}=2+\i$ car $\vv{w}\dbinom{2}{1}$.

image du conjugué

Soit $z=x + \i y$ un nombre complexe et soit $M$ son image dans le plan d'Argand-Cauchy.

L'image de $\overline{z}$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des réels.

Module d'un nombre complexe

Soient $z=x + \i y$ un nombre complexe et $M$ son image dans le plan d'Argand-Cauchy.

On appelle module de $z$, et on note $|z|$, la distance entre l'origine du repère et le point $M$.

Soit $z = x + \i y$.

Alors, \[ |z| = \sqrt{x^2+y^2}. \]

La démonstration tient en une ligne en utilisant le théorème de Pythagore.

module du conjugué

\[ |z| = \big\vert \overline{z} \big\vert. \]

La démonstration tient en une ligne en considérant la symétrie par rapport à l'axe des réels.

Pour tous nombres complexes $z$ et $z'\neq0$, et pour tout entier naturel $n$:

$|z|^2 = z \overline{z}$
$|zz'| = |z| \times |z'|$
$|z^n| = |z|^n$
$\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$

Posons $z=x+\i y$ et $z'=x'+\i y'$.

$|z|^2 = \Big(\sqrt{x^2+y^2}\Big)^2 = x^2 + y^2$.

$z\overline{z} = (x+\i y) (x - \i y) = x^2 - (\i y)^2 = x^2 - (-y^2) = x^2+y^2$.

Donc $|z|^2 = z \overline{z}$.
On a: \begin{align} |zz'| & = |(x+\i y)(x'+\i y')|\\ & = |xx'-yy' + \i(xy'+x'y)|\\ & = \sqrt{(xx'-yy')^2 + (xy'+x'y)^2}\\ & = \sqrt{(xx')^2 - 2xx'yy' + (yy')^2 + (xy')^2 + 2xy'x'y + (x'y)^2}\\ & = \sqrt{(xx')^2 + (yy')^2 + (xy')^2 + (x'y)^2} \end{align}

De plus, \begin{align} |z|\times|z'| & = \sqrt{x^2+y^2} \times \sqrt{(x')^2 + (y')^2}\\ & = \sqrt{(x^2+y^2)\big( (x')^2+(y')^2\big)}\\ & = \sqrt{(xx')^2 + (xy')^2 + (yx')^2 + (yy')^2}\end{align}

Donc $|zz'| = |z| \times |z'|$.
Démontrons par récurrence sur $n$ que $|z^n| = |z|^n$.
- Initialisation: pour $n=0$, $|z^n| = |z^0| = |1| = 1 = |z|^0$.
- Hérédité: supposons que pour un entier $k$ fixé, $|z^k| = |z|^k$. Alors,\begin{align} |z^{k+1}| & = |z^k \times z^1|\\ & = |z^k| \times |z| \text{ d'après le point 2 précédemment démontré}\\ & = |z|^k \times |z| \text{ d'après l'hypothèse de récurrence}\\ & = |z|^{k+1}.\end{align}
  
  L'hérédité est alors vérifiée.
- Conclusion: D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $|z^n| = |z|^n$.
Montrons avant tout que $\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{|z|}$.

\begin{align} \left|\dfrac{1}{z}\right| & = \left| \dfrac{1}{x + \i y} \right|\\ & = \left| \dfrac{x-\i y}{x^2 + y^2} \right|\\ & = \left| \dfrac{x}{x^2+y^2} - \i\dfrac{y}{x^2+y^2} \right|\\ & = \sqrt{\left( \dfrac{x}{x^2+y^2} \right)^2 + \left( -\dfrac{y}{x^2+y^2} \right)^2}\\ & = \sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{\big(x^2+y^2\big)^2}}\\ & = \sqrt{\dfrac{1}{x^2+y^2}}\\ & = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ & = \dfrac{1}{|z|}. \end{align}

\begin{align} \left|\dfrac{z}{z'}\right| & = \left|z\times\dfrac{1}{z'}\right|\\ & = |z| \times \left|\dfrac{1}{z'}\right|\text{ d'après le point 2 précédemment démontré}\\ & = |z| \times \dfrac{1}{|z'|}\\ & = \dfrac{|z|}{|z'|} \end{align}

On note $\mathbb{U}$ l'ensemble des nombres complexes dont le module est égal à 1. \[ \mathbb{U} = \{ z\in\C,\ |z|=1\}. \]

$\mathbb{U}$ est stable par produit et par passage à l'inverse.

Autrement dit, pour tous nombres $z$ et $z'$ de $\mathbb{U}$,

$zz' \in\mathbb{U}$
$\dfrac{1}{z}\in\mathbb{U}$

C'est une conséquence directe de la propriété précédente.

En effet, si $z$ et $z'$ appartiennent à $\mathbb{U}$, alors \[ |z|=|z'|=1 \] et donc \[ |zz'|=|z|\times|z'| = 1\times1=1. \] Ainsi, $zz'\in\mathbb{U}$.

De plus, \[ \left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|} = \dfrac{1}{1} = 1 \] donc $\dfrac{1}{z}\in\mathbb{U}$.

Arguments d'un nombre complexe

Soit $z=x + \i y$ un nombre complexe d'image $M$ dans le plan d'Argand-Cauchy.

On désigne par arguments tous les angles (exprimés en radians) $\angleor{u}{OM}$.

Un argument du nombre complexe $z=2+2\i$ est $\dfrac{\pi}{4}$.

On notera alors: \begin{align} \arg(z) & =\dfrac{\pi}{4}\mod2\pi\\ \text{ou }\arg(z) & =\dfrac{\pi}{4}\quad[2\pi] \end{align}

pour désigner le fait que l'angle est défini à $2\pi$ près.

Soit $z=x+\i y$. On note $r=|z|$ et $\theta=\arg(z)$. Alors, \[ \begin{cases} x = r\cos\theta\\ y = r\sin\theta \end{cases} \]

Dans le triangle OMN, rectangle en N, \[ \begin{cases} \cos\theta=\dfrac{x}{r} & \iff x = r\cos\theta\\ \sin\theta=\dfrac{y}{r} & \iff y = r\sin\theta \end{cases} \]

Soit $z$ un nombre complexe de module $r$ et dont un argument est égal à $\theta$.

La forme trigonométrique de $z$ est: \[ z = r\big(\cos\theta + \i\sin\theta\big). \]

admise

Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$,

$\arg(zz') = \arg(z) + \arg(z')$
$\arg\big(z^n\big)=n \times \arg(z)$
$\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg(z)-\arg(z')$

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Exercices

Donner l'affixe des points et vecteurs de la figure ci-dessous:

L'affixe de $\vv{w_1}$ est : $9-3\i$.
L'affixe de $\vv{w_2}$ est : $2+6\i$.
L'affixe de $\vv{w_3}$ est : $3+0\i=3$.
L'affixe de $\vv{w_4}$ est : $0+5\i=5\i$.
L'affixe de $M_1$ est : $-5-3\i$.
L'affixe de $M_2$ est : $0-4\i=-4\i$.
L'affixe de $M_1$ est : $4+0\i=4$.

Calculer la valeur du module de chacun des nombres complexes suivants.

$\i$
$1+\i$
$1-\i$
$-3+2\i$
$-4$
$3 + 4\i$
$5-2\i$
$4,5 + 6\i$

$|\i| = 1$ car l'image de $\i$ est le point de coordonnées $\coord{0}{1}$ et la distance qui le sépare de l'origine du repère est égale à 1.
$|1+\i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt2$.
$|1-\i| = \big| \overline{1-\i} \big| = |1+\i| = \sqrt2$.
$|-3+2\i| = \sqrt{(-3)^3+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$.
$|-4| = 4$ car la distance qui sépare O du point image de $z=-4$ est égale à 4. On s'aperçoit d'ailleurs ici que le module est égal à la valeur absolue quand le complexe est réel.
$|3 + 4\i| = \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
$|5-2\i| = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{29}$.
$|4,5 + 6\i| = \sqrt{(4,5)^2 + 6^2} = \sqrt{56,25} = 7,5$.

Calculer:

$\big| (1+\i)^{16} \big|$
$\big| (2-\i)(1+\i) \big|$
$\left| \dfrac{1-\i}{1+\i} \right|$
$(5-3\i)(5+3\i)$

$\big| (1+\i)^{16} \big| = |1+\i|^{16} = \big(\sqrt2\big)^{16}=2^8=256$.

À mon avis, il est important que savoir que $|1+\i|=\sqrt2$ car il revient assez souvent dans les calculs.
$\big| (2-\i)(1+\i) \big| = |2-\i| \times |1+\i| = \sqrt{4+1}\times\sqrt2 = \sqrt{10}$.
$\left| \dfrac{1-\i}{1+\i} \right| = \dfrac{|1-\i|}{|1+\i|}=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}=1$.
$(5-3\i)(5+3\i) = |5+3\i|^2 = 5^2+3^2 = 34$.

Pour chacun des nombres complexes suivants, trouver le module et un argument, puis écrire sa forme trigonométrique.

$z_1=1+\i$
$z_2=2\sqrt3+2\i$
$z_3=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\i$
$z_4=-2+2\i$

$z_1=1+\i$.

$|z_1| = \sqrt2$. On factorise alors $z_1$ par $\sqrt2$: \[ z_1 = \sqrt2\left(\dfrac{1}{\sqrt2}+\dfrac{1}{\sqrt2}\i\right)=\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+\i\dfrac{\sqrt2}{2}\right). \] Un argument $\theta$ de $z_1$ est donc tel que : \[ \begin{cases} \cos\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}\\[6pt] \sin\theta=\dfrac{\sqrt2}{2} \end{cases} \qquad\text{soit}\qquad \theta=\dfrac{\pi}{4}\quad[2\pi]. \] Finalement, \[ \boxed{z_1=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+\i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)} \]
$z_2=2\sqrt3+2\i$.

$|z_2| = \sqrt{\big(2\sqrt3\big)^2+2^2}=\sqrt{12+4}=4.$ Alors, \[ z_2 = 4\left(\dfrac{2\sqrt3}{4}+\dfrac{2}{4}\i\right) = 4\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}\i\right). \] \[ \theta = \arg(z_2) \iff \begin{cases} \cos\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\\[6pt] \sin\theta=\dfrac{1}{2} \end{cases} \iff \theta=\dfrac{\pi}{6}\quad[2\pi]. \] Finalement, \[ \boxed{ z_2 = 2\sqrt3\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+\i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) } \]
$z_3=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\i=\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + \i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Dans cette question, il n'était pas utile de calculer le module car si on connaît les sinus et cosinus des angles remarquables, on trouve directement un argument. Ici, $\arg(z_3)=-\dfrac{\pi}{3}\quad[2\pi]$.
$z_4=-2+2\i$.

$|z_4|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt2$. Alors, \[ z_4=2\sqrt2\left(-\frac{2}{2\sqrt2}+\frac{2}{2\sqrt2}\i\right)=2\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2} \right). \] \[ \theta=\arg(z_4) \iff \begin{cases} \cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}\\[6pt] \sin\theta=\dfrac{\sqrt2}{2} \end{cases} \iff \theta=\frac{3\pi}{2}\quad [2\pi]. \] Finalement, \[ \boxed{ z_4 = 2\sqrt2\left[ \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + \i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right] } \]

Déterminer simplement le module et un argument de $z_1=(1+\i)^4$, puis en déduire la forme algébrique de $z_1$.
Déterminer simplement le module et un argument de $z_2=\dfrac{1+\i}{1-\i}$, puis en déduire la forme algébrique de $z_2$.

$|z_1| = |1+\i|^4 = \big(\sqrt2\big)^4 = 4$.

$\arg(z_1) = \arg\big[(1+\i)^4\big] = 4\arg(1+\i) = 4\times\dfrac{\pi}{4}\mod2\pi = \pi\mod2\pi$.

Donc $z_1 = 4\big(\cos(\pi)+\i\sin(\pi)\big)=4(-1+\i\times0)$, soit $\boxed{z_1=-4}$.
$\left|\dfrac{1+\i}{1-\i}\right|=\dfrac{|1+\i|}{|1-\i|}=1$.

$\arg\left(\dfrac{1+\i}{1-\i}\right) = \arg(1+\i) - \arg(1-\i) = \dfrac{\pi}{4}-\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{2}\mod2\pi$.

On en déduit alors que $z_2=\cos\dfrac{\pi}{2}+\i\sin\dfrac{\pi}{2}$, soit $\boxed{z_2=\i}$.

calcul de $\cos\frac{\pi}{12}$ et $\sin\frac{\pi}{12}$ On pose $z=\cos\dfrac{\pi}{3}+\i\sin\dfrac{\pi}{3}$ et $z'=\cos\dfrac{\pi}{4}-\i\sin\dfrac{\pi}{4}$.

Donner la forme trigonométrique de $zz'$.
Donner la forme algébrique de $zz'$.
Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{\pi}{12}$.

$z=\cos\dfrac{\pi}{3}+\i\sin\dfrac{\pi}{3}$ et $z'=\cos\dfrac{\pi}{4}-\i\sin\dfrac{\pi}{4}=\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$.

Ainsi, $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{12}$.

De plus, $|z|=|z'|=1$ donc $|zz'|=1$.

Finalement, \[ \boxed{zz'=\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+\i\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)}. \]
$z=\cos\dfrac{\pi}{3}+\i\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\i$.

$z'=\cos\dfrac{\pi}{4}-\i\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\i$.

Par conséquent, \begin{align} zz'& = \left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\i \right)\left( \dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\i \right)\\ & = \dfrac{\sqrt2}{4}-\dfrac{\sqrt2}{4}\i+\dfrac{\sqrt6}{4}\i +\dfrac{\sqrt6}{4}\\ zz' & = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4} + \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\i \end{align}
Des questions précédentes, on déduit: \[ zz'=\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+\i\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4} + \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\i\] et donc: \[ \boxed{\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}}\qquad\text{et}\qquad\boxed{\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}} \]

On voit ici l'une des grandes applications des nombres complexes: obtenir des valeurs exactes d'angles non remarquables.

On considère le nombre complexe $\j$ tel que: \[ \j^2+\j+1=0\quad,\quad \Im(\j)>0. \] Montrer que $\j=\e^{\i\frac{2\pi}{3}}$ et que $\bar{\j}\;^2 + \bar{\j} + 1 = 0$.

Le polynôme $z^2+z+1$ a pour discriminant: \[ \Delta = -3 \] donc ses racines sont: \[ -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\i = \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + \i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) =\e^{\frac{2\pi}{3}\i} \] et son conjugué: \[ -\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\i = \cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) + \i\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) =\e^{-\frac{2\pi}{3}\i}. \] Or, par définition, $\j$ est une racine de ce polynôme: c'est celle dont la partie imaginaire est strictement positive, donc $\j=\e^{\frac{2\pi}{3}\i}$.

Ainsi, l'autre racine correspond à $\bar{\j}$, ce qui justifie que $\bar{\j}\;^2 + \bar{\j} + 1 = 0$.

On considère la suite $\suite{z}{n}{}$ définie par son premier terme $z_0=\i$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation de récurrence: \[ z_{n+1} = \dfrac{1}{2}\i z + 1-\i. \]

Calculer $z_1$ et $z_2$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose: \[ v_n = z_n-\dfrac{6}{5}+\dfrac{2}{5}\i. \]

Montrer que $\suite{v}{n}{}$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
En déduire une expression de $v_n$, puis de $z_n$, en fonction de $n$.
Montrer que $\limite{n}{+\infty}{|v_n|}=0$. Que peut-on en déduire pour $\limite{n}{+\infty}{z_n}$ ?