Définition

forme exponentielle

Soit $z$ un nombre complexe. On note $r=|z|$ et $\theta=\arg(z)$.

La forme exponentielle de $z$ est: \[ z = r\e^{\i\theta}. \]

Ainsi, on a: \[ \cos\theta + \i\sin\theta = \e^{\i\theta}. \] Cette égalité est très importante.

Pour tous nombres complexes $z=r\e^{\i\theta}$ et $z'=r'\e^{\i\theta'}$, $r'\neq0$:

$zz' = rr'\e^{\i(\theta+\theta')}$
$z^n=r^n\e^{n\i\theta}$
$\dfrac{z}{z'}=\dfrac{r}{r'}\e^{\i(\theta-\theta')}$

Formules d'Euler

\[ \cos\theta = \dfrac{\e^{\i\theta} + \e^{-\i\theta}}{2} \qquad\text{et}\qquad \sin\theta = \dfrac{\e^{\i\theta} - \e^{-\i\theta}}{2\i}. \]

On a: \begin{cases} \cos\theta + \i\sin\theta = \e^{\i\theta}\\ \cos\theta - \i\sin\theta = \e^{-\i\theta} \end{cases} En additionnant les deux lignes, on obtient: \[ 2\cos\theta = \e^{\i\theta} + \e^{-\i\theta}\qquad\text{soit}\qquad \cos\theta = \dfrac{\e^{\i\theta} + \e^{-\i\theta}}{2}. \] En soustrayant la seconde ligne à la première, on obtient: \[ 2\i\sin\theta = \e^{\i\theta} -\e^{-\i\theta} \qquad\text{soit}\qquad \sin\theta = \dfrac{\e^{\i\theta} - \e^{-\i\theta}}{2\i}. \]

Formules d'addition et de duplication

formules d'addition

Pour tous réels $a$ et $b$,

$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$.
$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$.

Utilisons les formules d'Euler pour calculer:

D'une part: \begin{align} & \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\\ =\ & \dfrac{\e^{\i a} + \e^{-\i a}}{2} \times \dfrac{\e^{\i b} + \e^{-\i b}}{2} - \dfrac{\e^{\i a} - \e^{-\i a}}{2\i}\times \dfrac{\e^{\i b} - \e^{-\i b}}{2\i}\\ = \ & \dfrac{\e^{\i(a+b)}+\e^{\i(a-b)}+\e^{\i(-a+b)}+\e^{\i(-a-b)}}{4} - \dfrac{\e^{\i(a+b)} - \e^{\i(a-b)} - \e^{\i(-a+b)} + \e^{\i(-a-b)} }{-4}\\ =\ & \dfrac{2\e^{\i(a+b)} + 2\e^{\i(-a-b)}}{4}\\ =\ & \dfrac{\e^{\i(a+b)} + \e^{-\i(a+b)}}{2}\\ =\ & \cos(a+b).\end{align}
D'autre part:\begin{align} & \sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)\\ =\ & \dfrac{\e^{\i a} - \e^{-\i a} }{2\i} \times \dfrac{\e^{\i b} + \e^{-\i b} }{2} + \dfrac{\e^{\i b} - \e^{-\i b} }{2\i}\times\dfrac{\e^{\i a} + \e^{-\i a} }{2}\\ =\ & \dfrac{\e^{\i(a+b)} + \e^{\i(a-b)} - \e^{\i(-a+b)} - \e^{\i(-a-b)} }{4\i} + \dfrac{\e^{\i(b+a)} + \e^{\i(b-a)} - \e^{\i(-b+a)} - \e^{\i(-b-a)} }{4\i} \\ =\ & \dfrac{2\e^{\i(a+b)} - 2\e^{\i(-a-b)} }{4\i} \\ =\ & \dfrac{\e^{\i(a+b)} - \e^{-\i(a+b)} }{2\i}\\ =\ & \sin(a+b).\end{align}

formules de duplication

Pour tout nombre réel $a$,

D'une part, \begin{align} \cos(2a) & = \cos^2(a) - \sin^2(a)\\ & = 2\cos^2(a) - 1\\ & = 1 - 2\sin^2(a)\end{align}
D'autre part, $\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$

Dans les formules d'addition, on prend $b=a$, ce qui donne:

$\cos(2a) = \cos(a+a) = \cos(a)\cos(a) - \sin(a)\sin(a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)$.

On n'oublie pas que $\cos^2(a)+\sin^2(a)=1$, donc:
- $\sin^2(a) = 1-\cos^2(a)$; ainsi, \[ \cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) = \cos^2(a) - \big( 1-\cos^2(a) \big) = 2\cos^2(a) - 1. \]
- $\cos^2(a) = 1-\sin^2(a)$; ainsi, \[ \cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) = \big( 1-\sin^2(a) \big) - \sin^2(a) = 1 - 2\sin^2(a). \]
$\sin(2a) = \sin(a+a) = \sin(a)\cos(a) + \cos(a)\sin(a) = 2\sin(a)\cos(a)$.

Formules de Moivre

Pour tout entier relatif $n$, pour tout réel $\theta$, \[ \big(\cos\theta + \i\sin\theta \big)^n = \cos (n\theta) + \i\sin (n\theta). \]

$\big(\cos\theta + \i\sin\theta \big)^n = \left(\e^{\i\theta}\right)^n = \e^{n\theta\i} = \cos (n\theta) + \i\sin (n\theta)$.

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Exercices

Les nombres complexes suivants sont-il donnés en écriture exponentielle ?

Dans la négative, transformer l'écriture afin qu'elle devienne exponentielle.

$3\i\e^{\i\pi}$
$-2\e^{\i\frac{\pi}{3}}$
$\pi\e^{\i\frac{\pi}{6}}$
$5$
$4\e^{\frac{\pi}{5}}$
$-\pi$

Rappelons que l'écriture exponentielle d'un nombre complexe est $r\e^{\i\theta}$, avec $r\in\R_+$.

$3\i\e^{\i\pi}$ n'est pas une forme complexe car $3\i\not\in\R$. On doit alors modifier cela: \[ 3\i\e^{\i\pi} = 3\e^{\i\dfrac{\pi}{2}}\e^{\i\pi} = 3\e^{\frac{3\pi}{2}\i}. \]
$-2\e^{\i\frac{\pi}{3}}$ n'est pas une écriture exponentielle car $-2\not\in\R_+$. \[ -2\e^{\i\frac{\pi}{3}} = 2\e^{\i\pi}\e^{\i\frac{\pi}{3}} = 2\e^{\frac{4\pi}{3}\i}. \]
$\pi\e^{\i\frac{\pi}{6}}$ est l'écriture exponentielle du nombre complexe de module $\pi\in\R_+$ et dont un argument est $\theta=\dfrac{\pi}{6}$.
$5=5\e^{0\i}$ donc c'est bien une forme exponentielle du nombre complexe de module 5 et dont un argument est 0.
$4\e^{\frac{\pi}{5}} = 4\e^{\frac{\pi}{5}}\e^{0\i}$ est bien l'écriture exponentielle du nombre complexe de module $4\e^{\frac{\pi}{5}}$ et dont un argument est 0.
$-\pi$ n'est pas une écriture exponentielle: \[ -\pi = \pi\e^{\i\pi} \] représente le nombre complexe de module $\pi$ et dont un argument vaut $\pi$.

Le nombre complexe $-\pi$ est d'ailleurs appelé le nombre incontinent du fait que $(r,\theta)=(\pi,\pi)$...

Mais non! Ceci est un calembour bien sûr! Nous, les matheux, sommes connus pour notre sens de l'humour...

À l'aide de la formule de duplication et des valeurs de $\cos\dfrac{\pi}{4}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}$, trouver les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{8}$ et $\sin\dfrac{\pi}{8}$.

On a: \begin{align} \cos\left(2\times\dfrac{\pi}{8}\right)=2\cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)-1 & \iff \cos\dfrac{\pi}{4} = 2\cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)-1\\ & \iff \dfrac{\sqrt2}{2}=2\cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)-1\\ & \iff \cos^2\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt2+2}{4}\\ & \iff \boxed{\cos\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{\sqrt2+2}}{2}} \end{align}
On a: \begin{align} \cos\left(2\times\dfrac{\pi}{8}\right)=1-2\sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right) & \iff \dfrac{\sqrt2}{2} = 1-2\sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\\ & \iff \sin^2\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{2-\sqrt2}{4}\\ & \iff \boxed{\sin\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}} \end{align}

On prend ici la valeur positive du sinus et du cosinus car $0 < \dfrac{\pi}{8} < \dfrac{\pi}{2}$.

Déterminer la valeur exacte de $\cos\dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{7\pi}{12}$.

Remarquons que $\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}$. Ainsi,

On a: \begin{align} \cos\dfrac{7\pi}{12} & = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\right)\\ & = \cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}-\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\\ & = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2} - \dfrac{\sqrt3}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}\\ \cos\dfrac{7\pi}{12} & = \dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4} \end{align}
On a: \begin{align} \sin\dfrac{7\pi}{12} & = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\right)\\ & = \sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\\ & = \dfrac{\sqrt3}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}\\ \sin\dfrac{7\pi}{12} & = \dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4} \end{align}

À l'aide de la formule de Moivre, donner la forme algébrique des nombres suivants.

$(1+\i)^9$
$\big(\sqrt3-\i\big)^{6}$
$\big(1+\i\sqrt3\big)^9$

On a: \begin{align} (1+\i)^9 & = \left[ \sqrt2\left( \cos\dfrac{\pi}{4}+\i\sin\dfrac{\pi}{4}\right) \right]^9\\ & = 16\sqrt2\left( \cos\dfrac{9\pi}{4} + \i\sin\dfrac{9\pi}{4} \right)\\ & = 16\sqrt2\left( \cos\dfrac{\pi}{4} + \i\sin\dfrac{\pi}{4} \right)\\ & = 16\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+\i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\\ (1+\i)^9 & = 16 + 16\i \end{align}
On a: \begin{align} \big(\sqrt3-\i\big)^{6} & = \left[ 2\left(\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{1}{2}\i\right) \right]^6\\ & = \left[ 2\left( \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + \i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \right) \right]^6\\ & = 2^6\big( \cos(-\pi) + \i\sin(-\pi) \big)\\ \big(\sqrt3-\i\big)^{6} & = -64 \end{align}
On a: \begin{align} \big(1+\i\sqrt3\big)^9 & = \left[ 2\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\i \right) \right]^9\\ & = \left[ 2\left( \cos\dfrac{\pi}{3}\i\sin+\dfrac{\pi}{3} \right) \right]^9\\ & =2^9\left( \cos\dfrac{9\pi}{3}\i\sin+\dfrac{9\pi}{3} \right)\\ & = 512\big( \cos(3\pi) + \i\sin(3\pi) \big)\\ & = 512\big( \cos(\pi) + \i\sin(\pi) \big)\\ \big(1+\i\sqrt3\big)^9& = -512 \end{align}

Trouver tous les nombres complexes $z$ tels que $z^3=1$ et donnez leur forme exponentielle.

Posons $z=\e^{\i\theta}$. En effet, $z^3=1 \iff |z|^3=1 \iff |z|=1$.

Alors, \[ z^3 = 1 \iff \e^{3\i\theta}=\e^{\i(0+2k\pi)},\ k\in\Z \iff \theta = \dfrac{2k\pi}{3},\ k\in\Z. \]

Si $k=3p$, $p\in\Z$, $z=\e^{\i\times2p\pi}=1$;
si $k=3p+1$, $z=\e^{\i\left(\tfrac{2\pi}{3}+2p\pi\right)}=\e^{\tfrac{2\i\pi}{3}}=\j$;
si $k=3p+2$, $z=\e^{\i\left(\tfrac{4\pi}{3}+2p\pi\right)}=\e^{\tfrac{4\i\pi}{3}}=\e^{-\tfrac{2\i\pi}{3}}=\bar{\j}$.

Finalement, il n'y a que trois complexes dont le cube est égal à 1: 1, $\j=\e^{\tfrac{2\i\pi}{3}}$ et $\bar{j}=\e^{-\tfrac{2\i\pi}{3}}$.

Montrer que $\i^\i\in\R$.

Nous savons que: \[ \i =\e^{\i\frac{\pi}{2}}. \] Par conséquent, \[ \i^\i = \left( \e^{\i\frac{\pi}{2}} \right)^\i = \e^{\i\frac{\pi}{2}\times\i} = \e^{-\frac{\pi}{2}}\in\R. \]

À l'aide des formules d'Euler, écrire $\cos^3(x)$ sous la forme d'une expression linéarisée (sans puissance).

Nous allons ici avoir besoin du binôme de Newton, et plus particulièrement du développement: \[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. \]

\begin{align} \cos^3(x) & = \left( \dfrac{\e^{\i x} + \e^{-\i x}}{2} \right)^3\\ & = \dfrac{\e^{3\i x} + 3\e^{2\i x}\e^{-\i x} + 3\e^{\i x}\e^{-2\i x} + \e^{-3\i x}}{8}\\ & = \dfrac{1}{4}\left[ \dfrac{\e^{3\i x} + \e^{-3\i x}}{2} + 3\dfrac{\e^{\i x}+\e^{-\i x}}{2} \right]\\ \cos^3(x) & = \dfrac{1}{2}\big[ \cos(3x) + 3\cos(x) \big]\\ \cos^3(x) & = \dfrac{1}{2} \cos(3x) + \dfrac32\cos(x) \end{align}

À l'aide des formules d'Euler, écrire $\sin^5(x)$ sous la forme d'une expression linéarisée (sans puissance).

Nous allons ici avoir besoin du binôme de Newton, et plus particulièrement du développement: \[ (a-b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5. \]

\begin{align} \sin^5(x) & = \left( \dfrac{\e^{\i x} - \e^{-\i x}}{2\i} \right)^5\\ & = \dfrac{\e^{5\i x} - 5\e^{4\i x}\e^{-\i x} + 10\e^{3\i x}\e^{-2\i x} - 10\e^{2\i x}\e^{-3\i x} + 5\e^{\i x}\e^{-4\i x} - \e^{-5\i x}}{32\i}\\ & = \dfrac{1}{16}\left[ \dfrac{\e^{5\i x} - \e^{-5\i x}}{2\i} - 5\dfrac{\e^{3\i x} - \e^{-3\i x}}{2\i} + 10\dfrac{\e^{\i x} - \e^{-\i x} }{2\i} \right]\\ & = \dfrac{1}{16}\big( \sin(5x) - 5\sin(3x) + 10\sin(x) \big)\\ \sin^5(x) & = \dfrac{1}{16}\sin(5x) - \dfrac{5}{16}\sin(3x) + \dfrac{5}{8}\sin(x) \end{align}

$\cos\frac{\pi}{24}$ et $\sin\frac{\pi}{24}$ On donne: \[ \sin\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}. \]

Montrer l'égalité suivante: \[ \dfrac{1-\e^{\i\frac{\pi}{3}}}{1-\e^{\i\frac{\pi}{4}}} = \dfrac{1}{\sqrt{2-\sqrt2}} \e^{\i\frac{\pi}{24}}. \]
Montrer que: \[ \dfrac{1-\e^{\i\frac{\pi}{3}}}{1-\e^{\i\frac{\pi}{4}}} = \dfrac{1+\sqrt3+\sqrt6}{4} + \dfrac{1+\sqrt2-\sqrt3}{4}\i. \]
En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{24}$ et $\sin\dfrac{\pi}{24}$.

On a: \begin{align} \dfrac{1-\e^{\i\frac{\pi}{3}}}{1-\e^{\i\frac{\pi}{4}}} & = \dfrac{\e^{\i\frac{\pi}{6}}\left(\e^{-\i\frac{\pi}{6}} - \e^{\i\frac{\pi}{6}} \right)}{\e^{\i\frac{\pi}{8}}\left(\e^{-\i\frac{\pi}{8}} - \e^{\i\frac{\pi}{8}} \right)}\\ & = \dfrac{\e^{\i\frac{\pi}{6}}}{\e^{\i\frac{\pi}{8}}} \times \dfrac{ 2\i\times\frac{\e^{-\i\frac{\pi}{6}} - \e^{\i\frac{\pi}{6}}}{2\i}}{ 2\i\times\frac{\e^{-\i\frac{\pi}{8}} - \e^{\i\frac{\pi}{8}}}{2\i}}\\ & = \e^{\i\frac{\pi}{24}}\times\frac{\sin\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{8}}\\ & = \e^{\i\frac{\pi}{24}}\times\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}}\\ \dfrac{1-\e^{\i\frac{\pi}{3}}}{1-\e^{\i\frac{\pi}{4}}} & = \dfrac{1}{\sqrt{2-\sqrt2}} \e^{\i\frac{\pi}{24}}. \end{align}
On a : \begin{align} \dfrac{1-\e^{\i\frac{\pi}{3}}}{1-\e^{\i\frac{\pi}{4}}} & = \dfrac{1-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\i}{1-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\i}\\ & = \dfrac{\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\i\right) \left(\frac{2-\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\i \right)}{\left( \frac{2-\sqrt2}{2} \right)^2 + \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}\\ & \text{(on a multiplié par le conjugué du dénominateur)}\\ & = \dfrac{\frac{2-\sqrt2}{4}+\frac{\sqrt6}{4} + \i\left(\frac{\sqrt2}{4} - \frac{2\sqrt3-\sqrt6}{4} \right)}{\frac{4-4\sqrt2+2+2}{4}}\\ & = \left( \frac{2-\sqrt2+\sqrt6}{4} + \frac{\sqrt2-2\sqrt3+\sqrt6}{4}\i \right) \times \frac{4}{8-4\sqrt2}\\ & = \dfrac{2-\sqrt2+\sqrt6}{8-4\sqrt2} + \dfrac{\sqrt2-2\sqrt3+\sqrt6}{8-4\sqrt2}\i\textcolor{red}{\times\dfrac{8+4\sqrt2}{8+4\sqrt2}}\\ \dfrac{1-\e^{\i\frac{\pi}{3}}}{1-\e^{\i\frac{\pi}{4}}}& = \dfrac{1+\sqrt3+\sqrt6}{4} + \dfrac{1+\sqrt2-\sqrt3}{4}\i. \end{align}
Des questions 1 et 2, on déduit l'égalité suivante: \[ \dfrac{1+\sqrt3+\sqrt6}{4} + \dfrac{1+\sqrt2-\sqrt3}{4}\i = \dfrac{1}{\sqrt{2-\sqrt2}} \e^{\i\frac{\pi}{24}} \] soit: \[ \e^{\i\frac{\pi}{24}} = \sqrt{2+\sqrt2}\left(\dfrac{1+\sqrt3+\sqrt6}{4} + \dfrac{1+\sqrt2-\sqrt3}{4}\i\right) \] D'où: \begin{align} \cos\frac{\pi}{24} & =\sqrt{2-\sqrt2}\times\dfrac{1+\sqrt3+\sqrt6}{4}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(2-\sqrt2)\big(1+\sqrt3+\sqrt6\big)^2}\\ & = \frac{1}{4}\sqrt{8+2\sqrt2+2\sqrt6}.\end{align} et: \begin{align} \sin\dfrac{\pi}{24} & = \sqrt{2-\sqrt2}\times\dfrac{1+\sqrt2+\sqrt3}{4}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(2-\sqrt2)\big(1+\sqrt2+\sqrt3\big)^2}\\ & = \frac{1}{4}\sqrt{8-2\sqrt2-2\sqrt6}.\end{align}

Pour tout entier naturel $n$, on pose: \[ C_n = 1 + \cos(x) + \cos(2x) + \cdots + \cos(nx) \] et \[ S_n = \sin(x) + \sin(2x) + \cdots + \sin(nx). \] En considérant le nombre complexe $z_n = C_n+\i S_n$, montrer que: \[ C_n=\cos\left(\frac{nx}{2}\right) \times \dfrac{\sin\left[(n+1)\frac{x}{2} \right]}{\sin\frac{x}{2}} \] puis trouver une expression analogue pour $S_n$.

Aide: on pourra penser à utiliser l'égalité suivante: \[ \e^{\i x}-1 = \e^{\i\tfrac{x}{2}}\Big( \e^{\i\tfrac{x}{2}} - \e^{-\i\tfrac{x}{2}} \Big). \]

Par définition, \[ z_n = (\cos0+\i\sin0) + \big(\cos(x)+\i\sin(x)\big) + \cdots + \big(\cos(nx)+\i\sin(nx)\big) = \sum_{k=0}^n \e^{k\i x}. \] On va ici utiliser la formule: \[ 1+q+q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}\quad,\quad q\neq1. \]

Ainsi, \begin{align} z_n & = \dfrac{\e^{(n+1)\i x}-1}{\e^{\i x}-1}\\[16pt] & = \dfrac{ \e^{(n+1)\i\tfrac{x}{2}} \Big[ \e^{(n+1)\i\frac{x}{2}} - \e^{-(n+1)\i\frac{x}{2}} \Big] }{\e^{\i\frac{x}{2}}\Big[\e^{\i\frac{x}{2}} - \e^{-\i\frac{x}{2}} \Big]}\\[16pt] & = \e^{n\i \tfrac{x}{2}}\times\dfrac{\cancel{2\i}\sin\big[(n+1)\tfrac{x}{2}\big]}{\cancel{2\i}\sin\tfrac{x}{2}} \end{align}