Introduction

Définition

Un vecteur est la représentation graphique (à l'aide d'une flèche) d'un déplacement par translation.

Un vecteur est donc défini par:

une direction (l'inclinaison de la flèche);
un sens (vers la droite, vers la gauche, vers le haut, vers le bas);
une norme (la longueur de la flèche).

Il est noté par une lettre surmontée d'une flèche (toujours de la gauche vers la droite dans la notation).

Le vecteur $\vv{u}=\vv{AB}$ représente la translation qui transforme A en B.

Un même vecteur peut être représenté par plusieurs flèches identiques:

règle du parallélogramme

Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors $\vv{AB}=\vv{DC}$ et $\vv{AD}=\vv{BC}$.

Vocabulaire

L'origine d'un vecteur est le point à partir duquel la flèche part.

L'extrémité d'un vecteur est le point où la flèche arrive.

Dans le cas d'un vecteur $\vv{AB}$, « A » (la première lettre) représente toujours l'origine et « B » (la seconde lettre) désigne toujours l'extrémité.

Opérations sur les vecteurs

Somme de deux vecteurs

Soient $\vv{u}$ et $\vv{v}$ deux vecteurs.

On définit le vecteur $\vv{w}=\vv{u}+\vv{v}$ de la façon suivante :

on met « bout-à-bout » les vecteurs;
l'origine du vecteur somme est celle du 1^er vecteur;
l'extrémité du vecteur somme est celle du dernier vecteur.

somme de 3 vecteurs

relation de Chasles

Soient A, B et M trois points quelconques. \[ \vv{AB}=\vv{A\textcolor{red}{M}}+\vv{\textcolor{red}{M}B}. \]

Cette relation signifie que pour aller d'un point (A) à un autre (B), on peut partir du premier (A), puis passer par un autre (M) avant d'arriver au point final (B).

Vecteur opposé

Soit $\vv{u}$ un vecteur quelconque.

On définit le vecteur $-\vv{u}$ comme étant le vecteur ayant :

la même direction que $\vv{u}$ ;
le sens contraire de $\vv{u}$ ;
la même norme que $\vv{u}$.

Dans le cas d'un vecteur $\vv{AB}$, on a : \[ -\vv{AB}=\vv{BA}. \]

vecteur nul

On définit le vecteur nul comme étant le vecteur de norme nulle. On le note $\vv{0}$.

Si un vecteur représente un déplacement, le vecteur nul représente, quant à lui, la stabilité : le « non déplacement ».

Quel que soit le vecteur $\vv{u}$, \[ \vv{u}+(-\vv{u})=\vv{0}. \]

Produit d'un vecteur par un réel

Soit $\vv{u}$ un vecteur quelconque et $k$ un nombre réel non nul.

Si $k>0$, on définit le vecteur $\vv{v}=k\vv{u}$ comme étant le vecteur somme : \[ \vv{v}=\underbrace{\vv{u}+\vv{u}+\cdots+\vv{u}}_{k\text{ fois}}.\]
Si $k<0$, on définit le vecteur $\vv{v}=k\vv{u}$ comme étant le vecteur somme : \[ \vv{v}=\underbrace{(-\vv{u})+(-\vv{u})+\cdots+(-\vv{u})}_{|k|\text{ fois}}.\]

$k>0$ :
$k<0$ :

Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la m\^eme direction.

On peut écrire cette définition de la façon suivante : \[ \vv{u}\text{ et }\vv{v}\text{ sont colinéaires}\Longleftrightarrow \exists~k\in\Rstar,\ \vv{u}=k\vv{v}. \]

On ne dit pas que deux vecteurs sont parallèles.

Le terme « parallèle » est uniquement utilisé pour des droites ou des segments, voire éventuellement des courbes, mais pas pour des vecteurs.

Si deux vecteurs sont colinéaires, on pourra dire que leur support (les droites qui les supportent) sont parallèles.

À l'aide du quadrillage, on peut remarquer ici que $\vv{CD}=-2\vv{AB}$, donc les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{CD}$ sont colinéaires.

alignement de trois points

Si deux vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$ sont colinéaires, alors les points A, B et C sont alignés.

Barycentres

barycentre de 2 points

Soient $A$ et $B$ deux points du plan, et soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels tels que $\alpha+\beta\neq0$.

Il existe un unique point $G$ tel que: \[ \alpha\vv{GA} + \beta\vv{GB}=\vv{0}. \] $G$ est appelé le barycentre du système $\{ (A,\alpha) ; (B,\beta) \}$. On note : $G=\text{bar}\{ (A,\alpha) ; (B,\beta) \}$.

\begin{align} \vv{GA}=-\dfrac{6}{10}\vv{AB}=-\frac{3}{5}\vv{AB} \qquad\text{et}\qquad\vv{GB}=\dfrac{4}{10}\vv{AB}=\frac{2}{5}\vv{AB} & \iff 2\vv{GA}=-\frac{6}{5}\vv{AB}\text{ et }3\vv{GB}=\dfrac{6}{5}\vv{AB} \\ & \iff 2\vv{GA}+3\vv{GB}=\vv{0}. \end{align}

Ainsi, $G=\text{bar}\{ (A,2) ; (B,3) \}$ .

réduction

Soit $G=\text{bar}\{(A,\alpha) ; (B,\beta)\}$, $\alpha+\beta\neq0$. Alors, quel que soit le point $M$ du plan, on a: \[ \alpha\vv{MA} + \beta\vv{MB} = (\alpha+\beta)\vv{MG}. \]

Pour démontrer cette propriété, on utilise la relation de Chasles:

\begin{align} G=\text{bar}\{(A,\alpha) ; (B,\beta)\} & \iff \alpha\vv{GA} + \beta\vv{GB} = \vv{0}\\ & \iff \alpha\big(\vv{GM}+\vv{MA}\big) + \beta\big(\vv{GM}+\vv{MB}\big) = \vv{0}\\ & \iff (\alpha+\beta)\vv{GM} + \alpha\vv{MA}+\beta\vv{MB}=\vv{0}\\ & \iff \alpha\vv{MA}+\beta\vv{MB}=-(\alpha+\beta)\vv{GM}\\ & \iff \alpha\vv{MA}+\beta\vv{MB}=(\alpha+\beta)\vv{MG}. \end{align}

isobarycentre de deux points

Si $G=\text{bar}\{ (A,\alpha) ; (B,\alpha) \}$, avec $\alpha\neq0$, on dit que $G$ est l'isobarycentre du système.

Dans ce cas, $G$ est le milieu de $[AB]$.

barycentre et isobarycentre de 3 points

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan, et soient $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ trois nombres réels tels que $\alpha+\beta+\gamma\neq0$.

Il existe un unique point $G$ tel que: \[ \alpha\vv{GA} + \beta\vv{GB} + \gamma\vv{GC}=\vv{0}. \] $G$ est appelé le barycentre du système $\{ (A,\alpha) ; (B,\beta) ; (C,\gamma) \}$. On note : $G=\text{bar}\{ (A,\alpha) ; (B,\beta) ; (C,\gamma) \}$.

Si $\alpha = \beta = \gamma \neq0$, on dit que $G$ est l'isobarycentre du système.

centre de gravité d'un triangle

Le centre de gravité d'un triangle est l'isobarycentre du système formé par les sommets du triangle.

Considérons un triangle quelconque $ABC$. Notons $I$ le milieu de $[BC]$, $K$ le milieu de $[AC]$, $L$ le milieu de $[AB]$, $G$ le point d'intersection des médianes (le centre de gravité du triangle $ABC$) et $A'$ le symétrique de $A$ par rapport à $G$.

Dans le triangle $ACA'$, $K$ et $G$ sont les milieux respectifs de $[AC]$ et $[AA']$ donc, d'après l'a réciproque du théorème de Thalès, $(GK)~//~(CA')$, donc $(BG)~//~(CA')$.

De même, $(GC)~//~(BA')$. Donc $BGCA'$ est un parallélogramme.

Alors, $[BC]$ et $[GA']$ se coupent en leur milieu.

On a alors: \[ \vv{GI} = \dfrac{1}{2}\vv{GA'} = \dfrac{1}{2}\vv{AG} \text{ car }\vv{GA'}=\vv{AG}. \] On en déduit alors que: \[ \vv{AG}=\dfrac{2}{3}\vv{AI}\qquad\text{ ou encore }\vv{AG}=2\vv{GI}.\tag{1} \] Or, \[ \vv{GA'}=\vv{GB}+\vv{BA'}=\vv{GB}+\vv{GC} \iff \vv{GI}=\dfrac{1}{2}\vv{GA'}=\dfrac{1}{2}\left( \vv{GB}+\vv{GC} \right).\tag{2} \] Des égalités (1) et (2), on déduit: \[ \vv{AG}=\vv{GB}+\vv{GC} \iff \vv{GA}+\vv{GB}+\vv{GC}=\vv{0}. \] Ainsi, $G$ est bien l'isobarycentre du système $\{A;B;C\}$.

Dans un repère

Introduction

On considère un repère $(O;I,J)$.

On appelle vecteurs unitaires de ce repère les vecteurs : \[ \vv{\imath}=\vv{OI}\qquad\text{et}\qquad\vv{\jmath}=\vv{OJ}. \] Le repère est alors noté : \Rij.
On considère un point $M\coord{x}{y}$ dans un repère $\Rij$.

Alors, \[ \vv{OM}=x\vv{\imath}+y\vv{\jmath}. \]

On considère le point $M\coord{4}{3}$ :

Le repère utilisé dans l'exemple est orthonormé (axes perpendiculaires -- orthos -- et mêmes unités sur les axes -- normé), mais le résultat est valable quel que soit le repère utilisé.

Coordonnées d'un vecteur

On considère un vecteur $\vv{AB}$ dans un repère $\Rij$.

Les coordonnées de $\vv{AB}$ sont notées ainsi : \[ \vv{AB}\dbinom{x}{y}\;, \]

où $x$ représente la dénivellation relative en abscisses et $y$ celle en ordonnées pour passer de A à B.

En posant $A\coord{x_A}{y_A}$ et $B\coord{x_B}{y_B}$, on a : \[ \vv{AB}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}. \]

On considère les points $A\coord{3}{-2}$, $B\coord{-1}{4}$ et $C\coord{-2}{-3}$ dans un repère $\Rij$.

$\vv{AB}\dbinom{-1-3}{4-(-2)}=\dbinom{-4}{6}$.
$\vv{CA}\dbinom{3-(-2)}{-2-(-3)}=\dbinom{5}{1}$.
$\vv{CB}\dbinom{-1-(-2)}{4-(-3)}=\dbinom{1}{7}$.

Soient $\vv{u}\dbinom{x}{y}$ et $\vv{v}\dbinom{x'}{y'}$ deux vecteurs dans un repère $\Rij$.

Le vecteur-somme $\vv{w}=\vv{u}+\vv{v}$ a pour coordonnées : \[ \vv{w}\dbinom{x+x'}{y+y'}. \]
Soit $k\in\Rstar$. Alors, le vecteur $k\vv{u}$ a pour coordonnées : \[ k\vv{u}\dbinom{k\times x}{k\times y}. \]

On pose $\vv{u}\dbinom{-1}{2}$ et $\vv{v}\dbinom{3}{-1}$.

$\vv{w}=\vv{u}+\vv{v}$ avec $\vv{w}\dbinom{-1+3}{2+(-1)}=\dbinom{2}{1}$.
$-3\vv{u}\dbinom{-3\times(-1)}{-3\times2}=\dbinom{3}{-6}$.

Vecteurs colinéaires

Soient $\vv{u}\dbinom{x}{y}$ et $\vv{v}\dbinom{x'}{y'}$ deux vecteurs du plan.

On appelle déterminant le nombre : \[ \det\big(\vv{u},\vv{v}\big) = \begin{vmatrix} x & x'\\ y & y' \end{vmatrix} = xy' - yx'. \]

$\vv{u}\dbinom{x}{y}$ et $\vv{v}\dbinom{x'}{y'}$ sont colinéaires si et seulement si $\det\big(\vv{u},\vv{v}\big)=0$.

Dans un repère $\Rij$, on considère les vecteurs $\vv{u}\dbinom{\sqrt2-1}{1}$ et $\vv{v}\dbinom{1}{\sqrt2+1}$.

On a: \[ \det\big(\vv{u},\vv{v}\big) = \begin{vmatrix} \sqrt2-1 & 1\\ 1 & \sqrt2+1 \end{vmatrix} = \big(\sqrt2-1\big)\big(\sqrt2+1\big)-1=(2-1)-1=0. \]

Ainsi, $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont colinéaires.

Soient $\vv{u}\dbinom{x}{y}$ et $\vv{v}\dbinom{x'}{y'}$ deux vecteurs du plan rapportés à un repère $\Rij$.

Supposons que $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont colinéaires.

Alors, il existe un réel non nul $k$ tel que $\vv{v}=k\vv{u}$, et donc : \[ \begin{cases} x'=kx\\ y'=ky \end{cases} \] Ainsi, \[ xy'=x\times ky = k(xy)\qquad\text{et}\qquad x'y=kx \times y = k(xy). \] Donc $xy' = x'y$, soit $xy'-x'y=0$, ou encore $\det\big(\vv{u},\vv{v}\big)=0$.
Supposons maintenant que $xy' = x'y$, c'est-à-dire que $\det\big(\vv{u},\vv{v}\big)=0$.

Alors,
- si $x'$ et $y'$ sont tous deux différents de 0, \[ \dfrac{x}{x'}=\dfrac{y}{y'}. \] Notons $\lambda=\dfrac{x}{x'}=\dfrac{y}{y'}$. On a donc : \[ x = \lambda x'\qquad\text{ et }\qquad y = \lambda y'. \] Donc $\vv{u}\dbinom{\lambda x'}{\lambda y'}$, soit $\vv{u}=\lambda\vv{v}$. Les vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont donc colinéaires;
- si $x'=0$ et $y'\neq0$ alors : \[ xy' = x'y \iff xy'=0 \iff x=0\text{ ou } y'=0\text{ (ce qui est impossible par hypothèse)}. \] Donc $x=0$ et on a donc $\vv{u}\dbinom{0}{y}$ et $\vv{v}\dbinom{0}{y'}$. Les deux vecteurs sont donc colinéaires car il existe toujours un réel $k$ tel que $y'=ky$.
- si $x'\neq0$ et $y'=0$ alors, avec un raisonnement analogue, on obtient que $\vv{u}\dbinom{x}{0}$ et $\vv{v}\dbinom{x'}{0}$. Ainsi, les deux vecteurs sont colinéaires;
- si $x'=y'=0$ alors $x$ et $y$ peuvent être quelconques, l'égalité $xy'=x'y$ est toujours vraie. Dans ce cas, $\vv{v}\dbinom{0}{0}$ est le vecteur nul, et il est alors colinéaire à $\vv{u}$ car le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.

Coordonnées d'un barycentre

Soient $A\coord{x_A}{y_A}$, $B\coord{x_B}{y_B}$ et $C\coord{x_C}{y_C}$ trois points du plan rapporté à un repère $\Rij$. Soient $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ trois réels tels que $\alpha+\beta\neq0$ et $\alpha+\beta+\gamma\neq0$. Alors: \begin{align} G=\text{bar}\{(A,\alpha);(B,\beta)\} & \iff \begin{cases} x_G = \dfrac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha+\beta}\\ y_G = \dfrac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha+\beta} \end{cases} \\ G=\text{bar}\{(A,\alpha);(B,\beta);(C,\gamma)\} & \iff \begin{cases} x_G = \dfrac{\alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C}{\alpha+\beta+\gamma}\\ y_G = \dfrac{\alpha y_A + \beta y_B + \gamma y_C}{\alpha+\beta+\gamma} \end{cases} \end{align}

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Exercices

Géométrie vectorielle

Soit $ABC$ un triangle quelconque.

Placer le point $E$ tel que $\vv{AE}=\dfrac{1}{3}\vv{AB}$.
Placer le point $F$ tel que $\vv{AF}=3\vv{AC}$.
Démontrer que $(CE)$ et $(FB)$ sont parallèles.

On sait que $\vv{AE}=\dfrac{1}{3}\vv{AB}$ et que $\vv{AC}=\dfrac{1}{3}\vv{AF}$ par construction. Ainsi, $\dfrac{AC}{AF}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{1}{3}$.

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(CE)$ et $(BF)$ sont parallèles.

$ABCD$ est un parallélogramme.

Placer les points $E$ et $F$ tels que : \[\vv{DE}=\dfrac{1}{3}\vv{DB}\qquad\textrm{et}\qquad\vv{DF}=-\dfrac{1}{4}\vv{DB}\]
Placer les points $G$ et $H$ tels que $BAEG$ et $BAFH$ soient des parallélogrammes.
Démontrer que $\vv{CH}=\vv{DF}$ et $\vv{CG}=\vv{DE}$.
En déduire que les points $C$, $G$ et $H$ sont alignés.

On a la figure suivante :
On sait que $\vv{AB}=\vv{DC}=\vv{FH}$ car $ABCD$ et $BAFH$ sont des parallélogrammes.

Donc $CDFH$ est un parallélogramme.

Ainsi, $\vv{DF}=\vv{CH}$.

De même, $BAEG$ et $ABCD$ sont des parallélogrammes, donc $\vv{EG}=\vv{DC}$, ce qui implique que $GEDC$ est un parallélogramme.

Donc $\vv{DE}=\vv{CG}$.
On sait que $\vv{DE}=\dfrac{1}{3}\vv{DB}$ et que $\vv{DE}=\vv{CG}$ (d'après la question précédente).

Donc, $\dfrac{1}{3}\vv{DB}=\vv{CG}$.

De même, $\vv{DF}=-\dfrac{1}{4}\vv{DB}$ et $\vv{DF}=\vv{CH}$. Donc $-\dfrac{1}{4}\vv{DB}=\vv{CH}$.

Ainsi, $\vv{CH}$ et $\vv{CG}$ sont colinéaires. De plus, ils ont un point en commun donc $C$, $H$ et $G$ sont alignés.

Simplifier au maximum les écritures suivantes :

$\vv{u}=\vv{AC}+\vv{BA}+\vv{CB}$
$\vv{v}=\vv{DE}-\vv{DF}+\vv{EF}-\vv{ED}$
$\vv{w}=\vv{BA}+\vv{MA}-\vv{MB}$

$\vv{u}=\vv{AC}+\vv{BA}+\vv{CB}$
$\vv{u}=\vv{AC}+\vv{CB}+\vv{BA}$
$\vv{u}=\vv{AB}+\vv{BA}$
$\vv{u}=\vv{AA}$
$\vv{u}=\vv{0}$.
$\vv{v}=\vv{DE}-\vv{DF}+\vv{EF}-\vv{ED}$
$\vv{v}=\vv{DE}+\vv{FD}+\vv{EF}+\vv{DE}$
$\vv{v}=\vv{DE}+\vv{EF}+\vv{FD}+\vv{DE}$
$\vv{v}=\vv{DF}+\vv{FE}$
$\vv{v}=\vv{DE}$.
$\vv{w}=\vv{BA}+\vv{MA}-\vv{MB}$
$\vv{w}=\vv{BA}+\vv{MA}+\vv{BM}$
$\vv{w}=\vv{BA}+\vv{BM}+\vv{MA}$
$\vv{w}=\vv{BA}+\vv{BA}$
$\vv{w}=2\vv{BA}$.

Soient $A$ et $B$ deux points tels que $AB = 5$ cm.

Soit $M$ le point défini par : \[ -5\vv{MA}+3\vv{MB}=\vv{0}\;.\] Exprimer le vecteur $\vv{AM}$ en fonction de $\vv{AB}$ et construire le point $M$.

\[ -5\vv{MA}+3\vv{MB}=\vv{0}\]

\[ -5\vv{MA}+3\left(\vv{MA}+\vv{AB}\right)=\vv{0}\]

\[ -5\vv{MA}+3\vv{MA}+3\vv{AB}=\vv{0}\]

\[ -2\vv{MA}+3\vv{AB}=\vv{0}\]

\[ 2\vv{AM}=-3\vv{AB}\]

\[ \vv{AM}=-\frac{3}{2}\vv{AB}\]

Le segment suivant est partagé en 6 parties de même longueur.

Compléter les relations suivantes :

$\vv{E\ldots}=-2\vv{EF}$
$\vv{C\ldots}+\vv{\ldots G}=\vv{0}$
$\vv{AB}=\dfrac{3}{2}\vv{A\ldots}$
$\vv{CE}=\ldots\vv{AB}$
$\vv{AD}=\ldots\vv{BF}$
$\vv{DE}=\ldots\vv{BF}$

$\vv{E\textcolor{red}{C}}=-2\vv{EF}$.
$\vv{C\textcolor{red}{A}}+\vv{\textcolor{red}{F}G}=\vv{0}$.
$\vv{AB}=\dfrac{3}{2}\vv{A\textcolor{red}{F}}$.
$\vv{CE}=\textcolor{red}{\frac{1}{3}}\vv{AB}$.
$\vv{AD}=\textcolor{red}{-}\vv{BF}$.
$\vv{DE}=\textcolor{red}{-\frac{1}{2}}\vv{BF}$.

Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $I$.

Construire le point $M$ tel que : \[ \vv{IM}=\vv{IA}+\vv{ID} \] et le point $N$ tel que : \[ \vv{IN}=\vv{IB}+\vv{IC}. \]
Démontrer que $\vv{IM}+\vv{IN}=\vv{0}$. Que peut-on en déduire ?
Justifier que $\vv{BN}=\vv{IC}$ et que $\vv{IC}=\vv{AI}$.

En déduire la nature de $ABNI$.

$\vv{IM}+\vv{IN}=\vv{IA}+\vv{IB}+\vv{IC}+\vv{ID}$.
Or, $\vv{ID}=-\vv{IB}$ et $\vv{IC}=-\vv{IA}$.
Donc, $\vv{IM}+\vv{IN}=\vv{0}$.

On en déduit alors que $I$ est le milieu de $[MN]$.
On sait que $\vv{IN}=\vv{IB}+\vv{IC}$ (par construction) et que $\vv{IN}=\vv{IB}+\vv{BN}$ (d'après la relation de Chasles).

Ainsi, $\vv{IB}+\vv{BN}=\vv{IB}+\vv{IC}$ et donc $\vv{BN}=\vv{IC}$.

$I$ étant le milieu de $[AC]$, $\vv{IC}=\vv{AI}$.

Ainsi, $\vv{IC}=\vv{AI}=\vv{BN}$ donc $ABNI$ est un parallélogramme.

$ABC$ est un triangle quelconque. Soient $D$, $E$ et $F$ les points tels que : \[ \vv{CD}=-\vv{CB} \quad ; \quad \vv{AE}=\frac{3}{2}\vv{AC} \quad ; \quad \vv{BF}=-2\vv{BA} \] Démontrer que $D$, $E$ et $F$ sont alignés.

D'une part, nous avons : \begin{align} \vv {EF} & = \vv{EA}+\vv{AF}\\ \vv {EF}& = \dfrac{3}{2}\vv{CA}+\vv{AF}\\ \vv {EF}& = \dfrac{3}{2}\vv{CA}+\vv{AB}+\vv{BF}\\ \vv {EF}& = \dfrac{3}{2}\vv{CA}+\vv{AB}-2\vv{BA}\\ \vv {EF}& = \dfrac{3}{2}\vv{CA}+3\vv{AB}\\ 2\vv {EF}&=\textcolor{red}{3\vv{CA}+6\vv{AB}}. \end{align}

D'autre part, nous avons : \begin{align} \vv{DF} & = \vv{DC}+\vv{CF}\\ & = \vv{CB}+\vv{CB}+\vv{BF}\\ & = 2\vv{CB}-2\vv{BA}\\ & = 2\left(\vv{CA}+\vv{AB}\right)+2\vv{AB}\\ & = 2\vv{CA}+4\vv{AB}\\ & = \dfrac{2}{3}\left(\textcolor{red}{3\vv{CA}+6\vv{AB}}\right)\\ & = \dfrac{2}{3}\times2\vv{EF}\\ \vv{DF} & = \dfrac{4}{3}\vv{EF} \end{align}

Les vecteurs $\vv{DF}$ et $\vv{EF}$ sont donc colinéaires. Ils ont un point en commun, donc $D$, $E$ et $F$ sont alignés.

On considère un parallélogramme $ABCD$ puis les points $E$ et $F$ définis par : \[ \vv{BE}=\dfrac{3}{2}\vv{BD}\qquad\text{et}\qquad\vv{CF}=\vv{AB}-\dfrac{1}{3}\vv{AD}. \] On souhaite démontrer que les points $F$, $C$ et $E$ sont alignés.

Exprimer $\vv{CE}$ en fonction de $\vv{AB}$ et $\vv{AD}$.
Conclure.

Faisons une figure :
On a : \begin{align} \vv{CE} & = \vv{CB} + \vv{BE} & \text{d'après la relation de Chasles}\\ & = -\vv{AD} + \vv{BE} & \text{car $ABCD$ est un parallélogramme}\\ & = -\vv{AD} + \dfrac{3}{2}\vv{BD} & \text{d'après l'énoncé}\\ & = -\vv{AD} + \dfrac{3}{2}\big(\vv{BC} + \vv{CD}\big) & \text{d'après la relation de Chasles}\\ & = -\vv{AD} + \dfrac{3}{2}\big(\vv{AD}-\vv{AB}\big) & \text{car $ABCD$ est un parallélogramme}\\ & = -\vv{AD}+\dfrac{3}{2}\vv{AD} - \dfrac{3}{2}\vv{AB}\\ \vv{CE}& = -\dfrac{3}{2}\vv{AB} + \dfrac{1}{2}\vv{AD}. \end{align}
On sait désormais que : \begin{align} \vv{CE} & = \textcolor{courbe2}{-\dfrac{3}{2}}\vv{AB} + \textcolor{courbe4}{\dfrac{1}{2}}\vv{AD}\\ \vv{CF} & = \phantom{-\dfrac{3}{2}}\vv{AB} \textcolor{courbe3}{- \dfrac{1}{3}}\vv{AD}. \end{align}

Or, \[ \left(\textcolor{courbe2}{-\dfrac{3}{2}}\right)\times\left(\textcolor{courbe3}{-\dfrac{1}{3}}\right)-1\times\textcolor{courbe4}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0 \] donc $\vv{CE}$ et $\vv{CF}$ sont colinéaires. De plus, ils ont un point en commun (le point $C$) donc $C$, $E$ et $F$ sont alignés

Soit $ABC$ un triangle quelconque.

On définit le point $D$ par l'égalité : $\vv{AD}+\vv{BD}=\vv{AC}$.

Montrer que $D$ est le milieu de $[BC]$ après avoir construit le point $D$.

Le point $D$ étant défini par une égalité vectorielle où il apparaît deux fois, il est conseillé d'utiliser la relation de Chasles afin de simplifier cette dernière de sorte à ce que le point $D$ n'apparaisse qu'une seule fois. On peut donc, par exemple, écrire $\vv{BD}=\vv{BA}+\vv{AD}$ (ici, j'ai décomposé en utilisant le point $A$ car il apparaît dans l'autre vecteur qui s'écrit avec le point $D$).

On a ainsi: \begin{align} \vv{AD}+\vv{BD}=\vv{AC} & \iff \vv{AD} + \vv{BA}+\vv{AD} = \vv{AC}\\ & \iff 2\vv{AD} = \vv{AC} - \vv{BA}\\ & \iff 2\vv{AD} = \vv{AC} \textcolor{red}{+ \vv{AB}}\\ & \iff \vv{AD} = \dfrac{1}{2}\big(\textcolor{green!50!black}{\vv{AC} + \vv{AB}}\big). \end{align}

On a alors:

$\vv{AC} + \vv{AB}$ est le « vecteur diagonal » du parallélogramme $ABEC$. Les diagonales d'un parallélogrammes se coupent en leur milieu, et $D$ est défini comme le milieu du vecteur $\vv{AC} + \vv{AB}$; donc $D$ est le milieu de [BC].

On aurait pu aussi raisonner de façon purement vectorielle en continuant la suite des équivalences : \begin{align} \vv{AD}+\vv{BD}=\vv{AC} & \iff \vv{AD} = \dfrac{1}{2}\big(\textcolor{courbe4}{\vv{AC} + \vv{AB}}\big)\\ & \iff \vv{AB}+\vv{BD}=\dfrac{1}{2}\big(\vv{AB}+\vv{BC}+\vv{AB}\big)\\ & \iff \vv{AB}+\vv{BD}=\dfrac{1}{2}\big(2\vv{AB}+\vv{BC}\big)\\ & \iff \vv{AB}+\vv{BD}=\dfrac{1}{2}\times2\vv{AB}+\dfrac{1}{2}\times\vv{BC}\big)\\ & \iff \cancel{\vv{AB}}+\vv{BD}=\cancel{\vv{AB}}+\dfrac{1}{2}\vv{BC}\\ & \iff \boxed{\vv{BD}=\dfrac{1}{2}\vv{BC}}\end{align}

Cette dernière égalité montre bien que $D$ est le milieu de $[BC]$.

Soit $ABCD$ un parallélogramme. On définit les points $E$ et $F$ par les égalités suivantes : \[ \vv{AE}=\dfrac{3}{2}\vv{AB}+\dfrac{1}{2}\vv{BC}\qquad;\qquad\vv{BF}=\dfrac{1}{3}\vv{BC}. \] Montrer que $A$, $E$ et $F$ sont alignés.

On a d'une part: \[ \vv{AE}=\dfrac{3}{2}\vv{AB}+\dfrac{1}{2}\vv{BC}=\dfrac{3}{2}\vv{AB}+\dfrac{1}{2}\vv{AD} \] et d'autre part: \[ \vv{AF}=\vv{AB}+\vv{BF}=\vv{AB}+\dfrac{1}{3}\vv{BC}=\vv{AB}+\frac{1}{3}\vv{AD}. \] On a donc: \[ \dfrac{3}{2}\vv{AF}=\dfrac{3}{2}\vv{AB}+\dfrac{\cancel{3}}{2}\times\dfrac{1}{\cancel{3}}\vv{AD}=\vv{AE}.\] Ainsi, $\vv{AF}$ et $\vv{AE}$ sont colinéaires, donc les points $A$, $E$ et $F$ sont alignés.

On considère deux points quelconques $A$ et $B$ du plan.

Construire le point $M$ tel que $\vv{MA}+\vv{MB}=\vv{0}$.
Construire le point $N$ tel que $2\vv{NA}-3\vv{NB}=\vv{0}$.
Construire le point $P$ tel que $-3\vv{PA}+5\vv{PB}=\vv{0}$.
Construire le point $R$ tel que $2\vv{RA}+3\vv{RB}=\vv{0}$.
Construire le point $S$ tel que $3\vv{SA}-2\vv{SB}=\vv{0}$.
Construire le point $T$ tel que $5\vv{TA}-2\vv{TB}=\vv{0}$.

On souhaite construire le point M tel que $\vv{MA}+\vv{MB}=\vv{0}$.

Utilisons la relation de Chasles pour écrire :

\begin{align} \vv{MA}+\vv{MB} & = \vv{MA} + \big(\vv{MA} + \vv{AB}\big)\\ & = 2\vv{MA} + \vv{AB}.\end{align}

Ainsi,\begin{align} \vv{MA}+\vv{MB}=\vv{0} & \iff 2\vv{MA} + \vv{AB} = \vv{0}\\ & \iff 2\vv{MA} = -\vv{AB}\\ & \iff -2\vv{AM} = \vv{BA}\\ & \iff \vv{AM} = -\dfrac{1}{2}\vv{BA}\\ & \iff \vv{AM} = \dfrac{1}{2}\vv{AB}.\end{align}

Ainsi, $M$ est le milieu de $[AB]$.

Quand on souhaite construire un point inconnu défini par une égalité vectorielle (comme ici), on utilise la relation de Chasles de sorte à faire apparaître un seul vecteur qui dépend du point inconnu (ici, $\vv{MA}$).

Il faut arriver à une égalité vectorielle de la forme $\vv{AM} = k\vv{AB}$, où $k\in\R$.
On souhaite construire le point $N$ tel que $2\vv{NA}-3\vv{NB}=\vv{0}$.

\begin{align} 2\vv{NA}-3\vv{NB} & = 2\vv{NA}-3\big(\vv{NA}+\vv{AB}\big)\\ & = 2\vv{NA}-3\vv{NA}-3\vv{AB}\\ & = -\vv{NA}-3\vv{AB}\\ & = \vv{AN}-3\vv{AB}.\end{align}

Ainsi, \begin{align} 2\vv{NA}-3\vv{NB}=\vv{0} & \iff \vv{AN}-3\vv{AB} = \vv{0}\\ & \iff \vv{AN} = 3\vv{AB}. \end{align}
On souhaite construire le point $P$ tel que $-3\vv{PA}+5\vv{PB}=\vv{0}$.

\begin{align} -3\vv{PA}+5\vv{PB} & = -3\vv{PA}+5\big(\vv{PA}+\vv{AB}\big)\\ & = -3\vv{PA}+5\vv{PA}+5\vv{AB}\\ & = 2\vv{PA} + 5\vv{AB}. \end{align}

Ainsi, \begin{align} -3\vv{PA}+5\vv{PB}=\vv{0} & \iff 2\vv{PA} + 5\vv{AB} = \vv{0}\\ & \iff -2\vv{AP} = -5\vv{AB}\\ & \iff \vv{AP} = \dfrac{5}{2}\vv{AB}.\end{align}

On divise donc $[AB]$ en deux et on reporte 5 fois cette moitié :
On souhaite construire le point $R$ tel que $2\vv{RA}+3\vv{RB}=\vv{0}$.

\begin{align} 2\vv{RA}+3\vv{RB} & = 2\vv{RA}+3\big(\vv{RA}+\vv{AB}\big)=\vv{0}\\ & = 2\vv{RA}+3\vv{RB} + 3\vv{AB}\\ & = 5\vv{RA}+3\vv{AB}.\end{align}

Ainsi,\begin{align} 2\vv{RA}+3\vv{RB} = \vv{0} & \iff 5\vv{RA}+3\vv{AB} = \vv{0}\\ & \iff 5\vv{RA}=-3\vv{AB}\\ & \iff \vv{RA} = -\dfrac{3}{5}\vv{AB}\\ & \iff -\vv{AR} = -\dfrac{3}{5}\vv{AB}\\ & \iff \vv{AR} = \dfrac{3}{5}\vv{AB}.\end{align}

Il faut donc couper en 5 le segment $[AB]$ :
On souhaite construire le point $S$ tel que $3\vv{SA}-2\vv{SB}=\vv{0}$.

\begin{align} 3\vv{SA}-2\vv{SB} & = 3\vv{SA}-2\big(\vv{SA} + \vv{AB}\big)\\ & = 3\vv{SA}-2\vv{SA} -2\vv{AB}\\ & = \vv{SA}-2\vv{AB}.\end{align}

Ainsi,\begin{align} 3\vv{SA}-2\vv{SB}=\vv{0} & \iff \vv{SA}-2\vv{AB} = \vv{0}\\ & \iff \vv{SA}=2\vv{AB}\\ & \iff \vv{AS} = 2\vv{BA}.\end{align}
On souhaite construire le point $T$ tel que $5\vv{TA}-2\vv{TB}=\vv{0}$.

\begin{align} 5\vv{TA}-2\vv{TB} & = 5\vv{TA}-2\big(\vv{TA}+\vv{AB}\big)\\ & = 5\vv{TA}-2\vv{TA}-2\vv{AB}\\ & = 3\vv{TA} - 2\vv{AB}.\end{align}

Ainsi,\begin{align} 5\vv{TA}-2\vv{TB}=\vv{0} & \iff 3\vv{TA} - 2\vv{AB}= \vv{0} \\ & \iff 3\vv{TA} = 2\vv{AB}\\ & \iff \vv{TA} = \dfrac{2}{3}\vv{AB}\\ & \iff \vv{AT} = \dfrac{2}{3}\vv{BA}.\end{align}

Il faut donc couper $[AB]$ en 3 et reporter les deux tiers de l'autre côté du point A :

On considère un triangle $ABC$. On définit les points $D$, $E$ et $F$ par les égalités vectorielles suivantes: \[ \vv{AD} = 3\vv{BA} \quad;\quad 3\vv{CE} = 2\vv{BE}+3\vv{AB} \quad;\quad 3\vv{FC}=2\vv{FB}. \]

Montrer que $\vv{CE} = 2\vv{BC} + 3\vv{AB}$ et que $\vv{CF} = 2\vv{BC}$.
Montrer que $ADFE$ est un parallélogramme.

- On a: \begin{align} 3\vv{CE} = 2\vv{BE}+3\vv{AB} & \iff 3\vv{CE} = 2\big(\vv{BC}+\vv{CE}\big)+3\vv{AB}\\& \iff 3\vv{CE} = 2\vv{BC}+2\vv{CE}+3\vv{AB}\\ & \iff \boxed{\vv{CE} = 2\vv{BC} + 3\vv{AB}} \end{align}
- On a:\begin{align} 3\vv{FC}=2\vv{FB} & \iff 3\vv{FC} = 2\big(\vv{FC}+\vv{CB}\big)\\ & \iff 3\vv{FC} = 2\vv{FC}+2\vv{CB}\\ & \iff \vv{FC} = 2\vv{CB}\\ & \iff \boxed{\vv{CF} = 2\vv{BC}}\end{align}
On a: \begin{align} \vv{AE} & = \vv{AD} + \vv{DF} + \vv{FC} + \vv{CE}\\ & = 3\vv{BA} + \vv{DF} - 2\vv{BC} + 3\vv{AB} + 2\vv{BC}\\ & = \underbrace{ 3\vv{BA} + 3\vv{AB} }_{=\vv{0}} \underbrace{- 2\vv{BC} + 2\vv{BC}}_{=\vv{0}} + \vv{DF}\\ & = \vv{DF}.\end{align}

Ainsi, $ADFE$ est un parallélogramme.

On considère un triangle ABC. On définit les points $D$, $E$ et $F$ par les égalités vectorielles suivantes: \[ \vv{AD} = \vv{AB}+2\vv{AC} \quad;\quad \vv{AE} + 2\vv{BE}-\vv{CE}=\vv{0} \quad;\quad \vv{BF}=\vv{AF}+\vv{CF}. \]

Construire une figure avec les points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$.
Montrer que $ABCF$ est un parallélogramme.

- On a: \begin{align} \vv{AE} + 2\vv{BE}-\vv{CE}=\vv{0} & \iff \vv{AE} + 2\big(\vv{BA}+\vv{AE}\big)-\big(\vv{CA}+\vv{AE}\big)=\vv{0}\\ & \iff 2\vv{AE} = 2\vv{AB} + \vv{CA}\\ & \iff \boxed{\vv{AE} = \vv{AB} + \frac{1}{2}\vv{CA}}\end{align}
- On a: \begin{align} \vv{BF}=\vv{AF}+\vv{CF} & \iff \vv{BF} = \big(\vv{AB}+\vv{BF}\big) + \big(\vv{CB}+\vv{BF}\big)\\ & \iff \vv{0} = \vv{AB}+\vv{BF} + \vv{CB}\\ & \iff \boxed{\vv{BF} = \vv{BA} + \vv{BC}}\end{align}
On a alors la figure suivante:
Par construction, $\vv{BC} = \vv{AF}$. Ainsi, $ABCF$ est un parallélogramme.

Soit $ABC$ un triangle. On définit les points $M$ et $N$ par les égalités: \[ 4\vv{AM}-5\vv{MB}=\vv{0}\qquad;\qquad 9\vv{BN}+4\vv{AB}-5\vv{BC}=\vv{0}. \] Montrer que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$.

On a: \begin{align} 4\vv{AM}-5\vv{MB}=\vv{0} & \iff 4\vv{AM}-5\big(\vv{MA}+\vv{AB}\big)=\vv{0}\\ & \iff 4\vv{AM}-5\vv{MA}-5\vv{AB}=\vv{0}\\ & \iff 4\vv{AM}+5\vv{AM}-5\vv{AB}=\vv{0}\\ & \iff 9\vv{AM}=5\vv{AB}.\end{align}
On a: \begin{align} 9\vv{BN}+4\vv{AB}-5\vv{BC}=\vv{0} & \iff 9\big(\vv{BA}+\vv{AN}\big)+4\vv{AB}-5\big(\vv{BA}+\vv{AC}\big)=\vv{0}\\ & \iff 9\vv{BA}+9\vv{AN}+4\vv{AB}-5\vv{BA}-5\vv{AC}=\vv{0}\\ & \iff -9\vv{AB}+9\vv{AN}+4\vv{AB}+5\vv{AB}-5\vv{AC}=\vv{0}\\ & \iff 9\vv{AN} = 5\vv{AC}.\end{align}

Donc :\begin{align} \vv{MN} & = 9\vv{MA} + 9\vv{AN}\\ & = 5\vv{BA} + 5\vv{AC}\\ & = 5\vv{BC}.\end{align}

Ainsi, $\vv{MN}$ et $\vv{BC}$ sont colinéaires. Par conséquent, $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Géométrie repérée

Le plan est rapporté à un repère $\Rij$.

Pour chaque question, dire si les vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont colinéaires.

$\vv{u}\dbinom{-1}{5}$ et $\vv{v}\dbinom{3}{2}$.
$\vv{u}\dbinom{-3}{7}$ et $\vv{v}\dbinom{-7}{3}$.
$\vv{u}\dbinom{2}{3}$ et $\vv{v}\dbinom{\frac{10}{3}}{5}$.
$\vv{u}\dbinom{\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}}$ et $\vv{v}\dbinom{2}{\sqrt{2}+1}$.

$\vv{u}\dbinom{-1}{5}$ et $\vv{v}\dbinom{3}{2}$. \[ \det\big(\vv{u},\vv{v}\big)=-1\times2-5\times3=-2-15=-17\neq0. \] Donc $\vv{u}$ et $\vv{v}$ ne sont pas colinéaires.
$\vv{u}\dbinom{-3}{7}$ et $\vv{v}\dbinom{-7}{3}$. \[ \det\big(\vv{u},\vv{v}\big)=-3\times3-7\times(-7)=-9+49=40\neq0. \] Donc $\vv{u}$ et $\vv{v}$ ne sont pas colinéaires.
$\vv{u}\dbinom{2}{3}$ et $\vv{v}\dbinom{\frac{10}{3}}{5}$. \[ \det\big(\vv{u},\vv{v}\big)=2\times5-\dfrac{10}{3}\times3=10-10=0. \] Donc $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont colinéaires.
$\vv{u}\dbinom{\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}}$ et $\vv{v}\dbinom{2}{\sqrt{2}+1}$. \[ \det\big(\vv{u},\vv{v}\big)=\big(\sqrt{2}-1\big)\big(\sqrt{2}+1\big)-\dfrac{1}{2}\times2=2-1-1=0. \] Donc $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont colinéaires.

$ABCD$, $CEFD$ et $EGHF$ sont trois carrés de même côtés.

$I$ est le milieu de $[AC]$ et $J$ est le point d'intersection de $(BC)$ et $(AH)$.

En considérant le repère $\big(A~;~\vv{AB}~;~\vv{AD}\big)$, montrer que $E$, $J$ et $I$ sont alignés.

On considère le repère $\big(A~;~\vv{AB}~;~\vv{AD}\big)$.

Dans ce repère, on a : $A\coord{0}{0}~;~ B\coord{1}{0}~;~ H\coord{3}{1}~;~ I\coord{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}~;~ E\coord{2}{0}$.

D'après le théorème de Thalès, $J\coord{1}{\frac{1}{3}}$ (car $AB$ représente un tiers de $AG$). Donc, $\vv{EJ}\dbinom{-1}{\frac{1}{3}}\qquad\text{et}\qquad\vv{EI}\dbinom{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}$. \[ \det\big(\vv{EJ},\vv{EI} \big) = -1\times\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times\left(-\frac{3}{2}\right) =-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0. \] Par conséquent, $\vv{EJ}$ et $\vv{EI}$ sont colinéaires, ce qui implique que $E$, $I$ et $J$ sont alignés.

On considère les points $A\coord{2}{-1}$, $B\coord{1}{1}$, $C\coord{-\frac{1}{2}}{2}$ et $D\coord{3}{0}$ dans un repère orthonormé.

Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
Quelle est la nature du triangle $ABD$ ?

$\vv{AB}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}$. Donc $\vv{AB}\dbinom{1-2}{1-(-1)}$, soit $\vv{AB}\dbinom{-1}{2}$.

$\vv{AC}\dbinom{-\frac{1}{2}-2}{2-(-1)}$ donc $\vv{AC}\dbinom{-\frac{5}{2}}{3}$.

$x_{\vv{AC}}=\textcolor{red}{\dfrac{5}{2}}x_{\vv{AB}}$ et $y_{\vv{AC}}=\textcolor{blue}{\dfrac{3}{2}}y_{\vv{AB}}$.

Donc $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$ ne sont pas colinéaires.

Par conséquent, les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$AB^2=x_{\vv{AB}}^2+y_{\vv{AB}}^2=1+4=5$.

$AD^2=\left(x_D-x_A\right)^2+\left(y_D-y_A\right)^2=1+1=2$.

$BD^2=\left(x_D-x_B\right)^2+\left(y_D-y_B\right)^2=4+1=5$.

Donc le triangle $ABD$ est isocèle en $B$ sans être rectangle.

Dans un repère orthonormé $\Rij$, on considère les points $A\coord{-2}{-3}$, $B\coord{4}{-1}$ et $C\coord{-7}{2}$.

1. Déterminer les coordonnées du vecteur $\vv{AB}+\vv{AC}$.
2. En déduire les coordonnées du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.
Déterminer les coordonnées du milieu $I$ de $[AD]$.

Dans un repère orthonormé $\Rij$, on considère les points $A\coord{-2}{-3}$, $B\coord{4}{-1}$ et $C\coord{-7}{2}$.

1. $\vv{AB}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}\Leftrightarrow \vv{AB}\dbinom{4-(-2)}{-1-(-3)} \Leftrightarrow \vv{AB}\dbinom{6}{2}$.
  
  $\vv{AC}\dbinom{x_C-x_A}{y_C-y_A}\Leftrightarrow \vv{AC}\dbinom{-7-(-2)}{2-(-3)} \Leftrightarrow \vv{AC}\dbinom{-5}{5}$.
  
  Ainsi, $\vv{AB}+\vv{AC}\dbinom{6+(-5)}{2+5}\Leftrightarrow\boxed{\vv{AB}+\vv{AC}\dbinom{1}{7}}$.
2. On a : \begin{align} \text{$ABDC$ est un parallélogramme} & \Longleftrightarrow \vv{AB}+\vv{AC}=\vv{\text{AD}}\\ & \Longleftrightarrow\dbinom{1}{7}=\dbinom{x_D-(-2)}{y_D-(-3)}\\ & \Longleftrightarrow\dbinom{1}{7}=\dbinom{x_D+2}{y_D+3}\\ & \Longleftrightarrow \begin{cases} 1=x_D+2\\ 7=y_D+3 \end{cases} \\ & \Longleftrightarrow \begin{cases}x_D=1-2=-1\\ y_D=7-3=4\end{cases} \end{align}
  
  Ainsi, $D\coord{-1}{4}$.
On a: \begin{align} \text{$I$ milieu de $[AD]$} & \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}\vv{AD}=\vv{AI} \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}\dbinom{1}{7}= \dbinom{x_I-(-2)}{y_I-(-3)}\\ & \Longleftrightarrow\dbinom{\frac{1}{2}}{\frac{7}{2}}=\dbinom{x_I+2}{y_I+3} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_I=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}\\ y_I=\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}\end{cases} \end{align}

Ainsi, $I\coord{-\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}$.

On considère le repère $\Rij$ dans lequel on place les points $A\coord{-2}{-1}$, $B\coord{1}{2}$ et $C\coord{5}{-2}$.

Quelles sont les coordonnées du milieu $I$ de $[AC]$ ?
Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
On considère un point $M\coord{5}{y}$, où $y\in\R$.

Déterminer la valeur de $y$ telle que $A$, $B$ et $M$ soient alignés.

$I$ milieu de $[AC]$ donc : \[ x_I=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{-2+5}{2}=\dfrac{3}{2} \] et \[ y_I=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{-1-2}{2}=-\dfrac{3}{2}, \]

donc $\boxed{I\coord{\dfrac{3}{2}}{-\dfrac{3}{2}}}$.
On a: \begin{align}ABCD\text{ est un parallélogramme} & \iff \vv{AB}=\vv{DC}\\ & \iff \dbinom{1-(-2)}{2-(-1)}=\dbinom{5-x_D}{-2-y_D}\\[8pt] & \iff \dbinom{3}{3}=\dbinom{5-x_D}{-2-y_D}\\[8pt] & \iff \begin{cases} 3 & = 5-x_D\\ 3 & = -2-y_D \end{cases} \\[8pt] & \iff \begin{cases} x_D & = 5-3=2\\ y_D & = -2-3 = -5 \end{cases} \end{align}

Finalement, $D\coord{2}{-5}$.
On a: \begin{align} A,\ B,\ M\text{ sont alignés} & \iff \vv{AB}\dbinom{3}{3}\text{ et }\vv{AM}\dbinom{7}{y+1}\text{ sont colinéaires}\\[8pt] & \iff 3(y+1)-3\times7=0\\[8pt] & \iff 3y+3-21=0\\[8pt] & \iff 3y=18\\[8pt] & \iff y=6. \end{align}

On considère un triangle $ABC$ isocèle en $B$.

Soient $D$ et $E$ deux points définis par les égalités suivantes : \[ \vv{CD}=2\vv{AC}\qquad\text{et}\qquad\vv{AE}=\vv{AC}+\dfrac{2}{3}\vv{AB}. \] On souhaite montrer que les points $B$, $E$ et $D$ sont alignés. Pour cela, on se place dans le repère $\big(A;\vv{AC},\vv{AB}\big)$.

Quelles sont les coordonnées des vecteurs $\vv{AC}$ et $\vv{AB}$ ?
Quelles sont les coordonnées des points $D$ et $E$ ?
Calculer les coordonnées des vecteurs $\vv{BE}$ et $\vv{BD}$.
Conclure.

Faisons une figure :

$\vv{AC}$ est le premier vecteur unitaire du repère dans lequel on se place donc $\vv{AC}\dbinom{1}{0}$.

$\vv{AB}$ est le second vecteur unitaire du repère dans lequel on se place donc $\vv{AB}\dbinom{0}{1}$.
$\vv{AD}=3\vv{AC}$ donc $D\coord{3}{0}$.

$\vv{AE} = \vv{AC}+\dfrac{2}{3}\vv{AB}$ donc $E\coord{1}{\dfrac{2}{3}}$.
$\vv{BE}\dbinom{1-0}{\frac{2}{3}-1}=\dbinom{1}{-\frac{1}{3}}$ et $\vv{BD}\dbinom{3-0}{0-1}=\dbinom{3}{-1}$.
$1\times(-1)-3\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-1+1=0$ donc $\vv{BE}$ et $\vv{BD}$ sont colinéaires. De plus, ils ont un point en commun (le point $B$) donc $B$, $E$ et $D$ sont alignés.

Soit $ABC$ un triangle. On considère alors les points $E$, $F$ et $H$ tels que : \[ \vv{EC}=\dfrac{3}{5}\vv{AC}\qquad;\qquad\vv{AF}=\dfrac{3}{4}\vv{AB}\qquad;\qquad \vv{CH}=-\dfrac{9}{7}\vv{BC}. \]

Faire une figure.
Exprimer $\vv{EF}$ en fonction de $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$.
Exprimer le vecteur $\vv{EH}$ en fonction des vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$.

En déduire que les points $E$, $F$ et $H$ sont alignés (on pourra se placer dans le repère $\big(\text{A}~;~\vv{AB}~;~\vv{AC}\big)$.

On a la figure suivante :
- $\vv{EC}=\dfrac{3}{5}\vv{AC}$ donc $\vv{CE}=\dfrac{3}{5}\vv{CA}$ (il est plus simple de partir d'un point que l'on connaît (ici, le point $C$) pour construire le point $E$.
- $\vv{CH}=-\dfrac{9}{7}\vv{BC}$ donc $\vv{CH}=\dfrac{9}{7}\vv{CB}=\vv{CB}+\dfrac{2}{7}\vv{CB}$.
On a: \begin{align} \vv{EF} & = \vv{EC}+\vv{CA}+\vv{AB}+\vv{BF}\\[8pt] & = \dfrac{3}{5}\vv{AC}-\vv{AC}+\vv{AB}-\dfrac{1}{4}\vv{AB}\\[8pt] \vv{EF} & = \dfrac{3}{4}\vv{AB}-\dfrac{2}{5}\vv{AC}. \end{align}
On a: \begin{align} \vv{EH} & = \vv{EC}+\vv{CH}\\[8pt] & = \dfrac{3}{5}\vv{AC}+\dfrac{9}{7}\vv{\text{CB}}\\[8pt] & = \dfrac{3}{5}\vv{AC}+\dfrac{9}{7}\left(\vv{\text{CA}}+\vv{AB}\right)\\[8pt] & = \dfrac{3}{5}\vv{AC}-\dfrac{9}{7}\vv{AC}+\dfrac{9}{7}\vv{AB}\\[8pt] \vv{EH}& = \dfrac{9}{7}\vv{AB}-\dfrac{24}{35}\vv{AC}. \end{align}

Dans le repère $\big(A~;~\vv{AB}~;~\vv{AC}\big)$, on a : \[ \vv{EF}\dbinom{\frac{3}{4}}{-\frac{2}{5}}\qquad\text{et}\qquad\vv{EH}\dbinom{\frac{9}{7}}{-\frac{24}{35}}. \]

\[ \det\big(\vv{EF},\vv{EH}\big)=\dfrac{3}{4}\times\left(-\dfrac{24}{35}\right)-\dfrac{9}{7}\times\left(-\dfrac{2}{5}\right)=-\dfrac{18}{35}+\dfrac{18}{35}=0. \]

Ainsi, $\vv{EF}$ et $\vv{EH}$ sont colinéaires; ils ont un point en commun ($E$), donc les points $E$, $F$ et $H$ sont alignés.

Barycentres

Dans chacun des cas suivants, trouver les plus petites valeurs de $\alpha$ et $\beta$ de sorte que $G$ soit le barycentre du système $\{(A,\alpha);(B,\beta)\}$.

On a: \begin{align} \vv{GA}=-\dfrac{1}{10}\vv{AB} \text{ et } \vv{GB}=\dfrac{9}{10}\vv{AB} & \iff 10\vv{GA}=-1\vv{AB}\text{ et } 10\vv{GB}=9\vv{AB} \\ & \iff 90\vv{GA}=-9\vv{AB}\text{ et } 10\vv{GB}=9\vv{AB} \\ & \iff 90\vv{GA}+10\vv{GB}=\vv{0}\\ & \iff 9\vv{GA}+1\vv{GB}=\vv{0}\\ & \iff \boxed{G=\text{bar}\{(A,9);(B,1)\}} \end{align}
On a: \begin{align} \vv{GA}=-\dfrac{3}{10}\vv{AB} \text{ et } \vv{GB}=\dfrac{7}{10}\vv{AB} & \iff 10\vv{GA}=-3\vv{AB}\text{ et } 10\vv{GB}=7\vv{AB} \\ & \iff 70\vv{GA}=-21\vv{AB}\text{ et } 30\vv{GB}=21\vv{AB} \\ & \iff 70\vv{GA}+30\vv{GB}=\vv{0}\\ & \iff 7\vv{GA}+3\vv{GB}=\vv{0}\\ & \iff \boxed{G=\text{bar}\{(A,7);(B,3)\}}\end{align}

Dans le cas suivant:

on a toujours: \[ G=\text{bar}\{(A,\alpha);(B,\beta)\}. \]
On a ici:

Donc, d'après la remarque précédente, \[ G=\text{bar}\{(A,6);(B,3)\} \] que l'on peut aussi simplifier (en divisant toutes les pondérations par 3): \[ \boxed{G=\text{bar}\{(A,2);(B,1)\}} \]

Soient $A$ et $B$ deux points du plan et $G=\text{bar}\{(A,\alpha);(B,\beta)\}$.

Trouver les valeurs minimales de $\alpha$ et $\beta$ dans chacun des cas suivants.

$\vv{BG}=\dfrac{-1}{5}\vv{AB}$
$\vv{AG}=\dfrac{2}{3}\vv{AB}$
$\vv{BG}=\dfrac{3}{7}\vv{AB}$