Repère

Définition générale

Soient $O$, $I$ et $J$ trois points du plan euclidien tels que $I\notin(OJ)$.

Alors, on dit que $(O~;I,J)$ est un repère cartésien du plan.

Cela signifie que l'on fait un maillage du plan en traçant des droites parallèles à $(OI)$ et parallèles à $(OJ)$ comme ceci :

Afin de faciliter les représentations futures, on fera en sorte que $(OI)$ et $(OJ)$ soient perpendiculaires, ce qui rend le repère orthogonal.

Si de plus $OI=OJ$ alors le repère est dit orthonormé (orthos = « droit » et normé signifie que $OI=OJ$).

Les droites $(OI)$ et $(OJ)$ sont orientées (comme la droite graduée représentant les nombres réels). Un repère est donc constitué de deux droites graduées qui se coupent en « 0 ». Ces deux droites sont alors appelées les axes du repère.

Dans la suite de ce chapitre, on se placera dans un repère orthonormé.

Coordonnées d'un point

On considère que le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,I,J)$.

Soit $M$ un point quelconque du plan.

Par $M$, on trace la parallèle à $(OJ)$; elle coupe $(OI)$ en $x$.

Par $M$, on trace la parallèle à $(OI)$; elle coupe $(OJ)$ en $y$.

Alors, $x$ est appelé l'abscisse de $M$ et $y$, son ordonnée.

Le couple \coord{x}{y} représente les coordonnées du point $M$, et on note : $M\coord{x}{y}$.

Ici, $M\coord{4}{2}$. Son abscisse est 4, son ordonnée est 2.

Distance entre deux points

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

Dans ce repère, soient $A\coord{x_A}{y_A}$ et $B\coord{x_B}{y_B}$ deux points quelconques.

Alors, la distance entre $A$ et $B$ est donnée par la formule : \[ AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A \right)^2}. \]

Soient $A\coord{-3}{2}$ et $B\coord{5}{-7}$. Alors,

\[ \begin{align} AB &= \sqrt{(5-(-3))^2+(-7-2)^2}\\ & AB = \sqrt{8^2+(-9)^2}\\ AB & = \sqrt{145} \end{align} \]

Le repère est orthonormé donc le triangle ABC tracé en bleu est rectangle en C.

Ainsi, d'après le théorème de Pythagore, \[ AB^2 = AC^2+BC^2. \] Or, \[ AC = |x_B-x_A|,\ \text{donc }AC^2=|x_B-x_A|^2=(x_B-x_A)^2 \] et \[ BC = |y_B-y_A|,\ \text{donc }BC^2=|y_B-y_A|^2=(y_B-y_A)^2. \] Donc, \[ AB^2=\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2. \] En prenant la racine carrée de chacun des membres de cette dernière égalité, on a : \[ AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}. \]

Milieu d'un segment

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

Dans ce repère, soient $A\coord{x_A}{y_A}$ et $B\coord{x_B}{y_B}$ deux points quelconques.

Soit $M\coord{x_M}{y_M}$ le milieu du segment $[AB]$. Alors, \[ x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\qquad\text{et}\qquad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}. \]

Soient $A\coord{1}{7}$ et $B\coord{3}{-1}$. Soit $M$ le milieu de $[AB]$; donc : \[ x_M=\dfrac{1+3}{2}=2\qquad\text{et}\qquad y_M=\dfrac{7+(-1)}{2}=3. \]

On construit le triangle $ABC$ rectangle en $C$ comme indiqué ci-dessous :

On trace la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ ; elle coupe $[AC]$ en $N$.

On trace la parallèle à $(AC)$ passant par $M$ ; elle coupe $[BC]$ en $P$.

D'après le théorème de Thalès, $P$ est le milieu de $[BC]$ et $N$ celui de $[AC]$.

Ainsi, \[ \begin{align} AN & =\dfrac{1}{2}AC\\ AN & = \dfrac{1}{2}\left(x_C-x_A\right)\\ AN & = \dfrac{1}{2}x_C-\dfrac{1}{2}x_A \end{align} \] et donc : \[ \begin{align} x_\text{N} & = x_A+AN\\ x_\text{N} & = x_A+\dfrac{1}{2}x_C-\dfrac{1}{2}x_A\\ x_\text{N} & = \dfrac{1}{2}x_A+\dfrac{1}{2}x_C\\ x_\text{M}=x_N &= \dfrac{x_A+x_B}{2}\text{ car }x_C=x_B. \end{align} \]

\[ \begin{align} PC & =\dfrac{1}{2}BC\\ PC & = \dfrac{1}{2}\left(y_B-y_C\right)\text{ (il faut que }PC\geqslant0)\\ PC & = \dfrac{1}{2}y_B-\dfrac{1}{2}y_C \end{align} \] et donc : \[ \begin{align} y_P & = y_C+PC\\ y_P & = y_C+\dfrac{1}{2}y_B-\dfrac{1}{2}y_C\\ y_P & = \dfrac{1}{2}y_B+\dfrac{1}{2}y_C\\ y_M=y_P &= \dfrac{y_A+y_B}{2}\text{ car }y_C=y_A.\end{align} \]

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Exercices

Dans le repère suivant, donner les coordonnées de tous les points.

$A\coord{-3}{3}$
$B\coord{-6}{-5}$
$C\coord{3}{-3}$
$D\coord{7}{9}$
$E\coord{4}{-3}$
$F\coord{0}{-4}$
$G\coord{-1}{-8}$
$H\coord{-4}{0}$

Pour chaque question, déterminer la longueur $AB$.

$A\coord{-2}{3}$ et $B\coord{-3}{5}$
$A\coord{3}{2}$ et $B\coord{8}{1}$
$A\coord{-1}{-3}$ et $B\coord{-4}{-6}$
$A\coord{3}{-2}$ et $B\coord{-2}{7}$
$A\coord{1}{-2}$ et $B\coord{7}{-5}$
$A\coord{1}{4}$ et $B\coord{-2}{-1}$

$A\coord{-2}{3}$ et $B\coord{-3}{5}$.

\[ \begin{align} AB &= \sqrt{\big(-3-(-2)\big)^2+(5-3)^2}\\ & = \sqrt{(-3+2)^2+2^2}\\ & = \sqrt{(-1)^2+2^2}\\ & = \sqrt{1+4}\\ \ AB & = \sqrt{5}. \end{align} \]
$A\coord{3}{2}$ et $B\coord{8}{1}$.

\[ \begin{align} AB & = \sqrt{(8-3)^2+(1-2)^2}\\ & = \sqrt{5^2+(-1)^2}\\ & = \sqrt{25+1}\\ AB & = \sqrt{26}. \end{align} \]
$A\coord{-1}{-3}$ et $B\coord{-4}{-6}$.

\[ \begin{align} AB & = \sqrt{\big(-4-(-1)\big)^2+\big(-6-(-3)\big)^2}\\ & = \sqrt{(-3)^2+(-3)^2}\\ & = \sqrt{9+9}\\ & = \sqrt{18}\\ AB & = 3\sqrt{2}. \end{align} \]
$A\coord{3}{-2}$ et $B\coord{-2}{7}$.

\[ \begin{align} AB & = \sqrt{(-2-3)^2+\big(7-(-2)\big)^2}\\ & = \sqrt{(-5)^2+9^2}\\ & = \sqrt{25+81}\\ AB & = \sqrt{106}. \end{align} \]
$A\coord{1}{-2}$ et $B\coord{7}{-5}$.

\[ \begin{align} AB & = \sqrt{(7-1)^2+\big(-5-(-2)\big)^2}\\ & = \sqrt{6^2+(-3)^2}\\ & = \sqrt{36+9}\\ & = \sqrt{45}\\ & = \sqrt{9\times5}\\ & = \sqrt{9}\times\sqrt{5}\\ AB & = 3\sqrt{5}. \end{align} \]
$A\coord{1}{4}$ et $B\coord{-2}{-1}$.

\[ \begin{align} AB & = \sqrt{(-2-1)^2+(-1-4)^2}\\ & = \sqrt{9+25}\\ & = \sqrt{34}\\ AB & = \sqrt{34}. \end{align} \]

Pour chacun des points $A$ et $B$ suivants, calculer les coordonnées du point $I$, milieu de $[AB]$.

$A\coord{1}{2}$ et $B\coord{3}{4}$
$A\coord{-1}{2}$ et $B\coord{-3}{4}$
$A\coord{2}{-1}$ et $B\coord{4}{-5}$
$A\coord{-1}{-1}$ et $B\coord{5}{-7}$

$A\coord{1}{2}$ et $B\coord{3}{4}$.

\[ \begin{align} x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{1+3}{2}=\dfrac{4}{2}=2.\\y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{2+4}{2}=\dfrac{6}{2}=3.\end{align} \]

Ainsi, $\boxed{M\coord{2}{3}}$
$A\coord{-1}{2}$ et $B\coord{-3}{4}$.

\[ \begin{align} x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{-1+(-3)}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2.\\y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{2+4}{2}=\dfrac{6}{2}=3. \end{align} \]

Ainsi, $\boxed{M\coord{-2}{3}}$.
$A\coord{2}{-1}$ et $B\coord{4}{-5}$.

\[ \begin{align} x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{2+4}{2}=\dfrac{6}{2}=3.\\y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{-1+(-5)}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3. \end{align} \]

Ainsi, $\boxed{M\coord{3}{-3}}$.
$A\coord{-1}{-1}$ et $B\coord{5}{-7}$.

\[ \begin{align} x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{-1+5}{2}=\dfrac{4}{2}=2.\\y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{-1+(-7)}{2}=\dfrac{-8}{2}=-4.\end{align} \]

Ainsi, $\boxed{M\coord{2}{-4}}.$

Pour chacune des questions suivantes, on a les coordonnées d'un point $A$ ainsi que celles du point $M$, milieu de $[AB]$.

Déterminer les coordonnées du point $B$.

$A\coord{1}{2}$ et $M\coord{3}{4}$
$A\coord{-1}{2}$ et $M\coord{-3}{4}$
$A\coord{2}{-1}$ et $M\coord{4}{-5}$
$A\coord{-1}{-1}$ et $M\coord{5}{-7}$

$A\coord{1}{2}$ et $M\coord{3}{4}$.

\[ \begin{cases} x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\\ y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases} \iff \begin{cases} x_B=2x_M-x_A=2\times3-1=5.\\ y_B=2y_M-y_A=2\times4-2=6. \end{cases} \]

Donc $\boxed{\text{B}\coord{5}{6}}$
$A\coord{-1}{2}$ et $M\coord{-3}{4}$.

\[ \begin{cases} x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\\ y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases} \iff \begin{cases} x_B=2x_M-x_A=2\times(-3)-(-1)=-6+1=-5.\\ y_B=2y_M-y_A=2\times4-2=6.\end{cases} \]

Donc $\boxed{\text{B}\coord{-5}{6}}$
$A\coord{2}{-1}$ et $M\coord{4}{-5}$.

\[ \begin{cases} x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\\ y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases} \iff \begin{cases} x_B=2x_M-x_A=2\times4-2=6. \\ y_B=2y_M-y_A=2\times(-5)-(-1)=-10+1=-9.\end{cases} \]

Donc $\boxed{\text{B}\coord{6}{-9}}$
$A\coord{-1}{-1}$ et $M\coord{5}{-7}$.

\[ \begin{cases} x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\\ y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases} \iff \begin{cases} x_B=2x_M-x_A=2\times5-(-1)=11.\\ y_B=2y_M-y_A=2\times(-7)-(-1)=-13.\end{cases} \]

Donc $\boxed{\text{B}\coord{11}{-13}}$

Dans le repère orthonormé $(O,I,J)$, on considère les points $A\coord{-1}{1}$, $B\coord{5}{-3}$ et $C\coord{4}{2}$.

Placer les points $A$, $B$ et $C$. Vous compléterez au fur et à mesure la figure.
Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
Déterminer les coordonnées du point $F$, centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
Calculer les coordonnées du milieu $E$ de $[AC]$.
En déduire les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Sans calcul, donner la longueur $EF$.
Déterminer les coordonnées de $G$, symétrique de $C$ par rapport à $F$.

La figure complétée est la suivante:
Calculons la longueur des côtés du triangle $ABC$ :

\[ \begin{align} AB^2 & = \big(x_B-x_A\big)^2 + \big(y_B-y_A\big)^2\\ & = \big(5-(-1)\big)^2 + \big(-3-1\big)^2\\ & = 6^2+(-4)^2\\ & = 36+16\\ AB^2 & = 52. \end{align} \]

\[ \begin{align} AC^2 & = \big(x_C-x_A\big)^2 + \big(y_C-y_A\big)^2\\ & = \big(4-(-1)\big)^2 + \big(2-1\big)^2\\ & = 5^2+1^2\\ & = 25+1\\ AC^2 & = 26. \end{align} \]

\[ \begin{align} BC^2 & = \big(x_C-x_B\big)^2 + \big(y_C-y_B\big)^2\\ & = \big(4-5\big)^2 + \big(2-(-3)\big)^2\\ & = 1^2+5^2\\ & = 1+25\\ BC^2 & = 26.\end{align} \]

On remarque ainsi que $AB^2=AC^2+BC^2$ et que $AC^2=BC^2$ (donc que $AC=BC$).

Le triangle ABC est donc rectangle isocèle en $C$.
Le triangle $ABC$ étant rectangle en $C$, le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse, à savoir $[AB]$.

Ainsi, $F\coord{\dfrac{x_A+x_B}{2}}{\dfrac{y_A+y_B}{2}}$, soit $F\coord{\dfrac{-1+5}{2}}{\dfrac{1-3}{2}}$, et donc $F\coord{2}{-1}$.
$E$ est le milieu de $[AC]$ donc $E\coord{\dfrac{x_A+x_C}{2}}{\dfrac{y_A+y_C}{2}}$, soit $E\coord{\dfrac{-1+4}{2}}{\dfrac{1+2}{2}}$, et donc $E\coord{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}}$.
Si $ABCD$ est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Ainsi, $E$ (qui est le milieu de $[AC]$) est le milieu de $[BD]$. On en déduit alors les égalités suivantes : \[ \begin{cases} x_E=\dfrac{x_B+x_D}{2}\\ y_E=\dfrac{y_B+y_D}{2} \end{cases} \] D'où, en remplaçant les lettres par leur valeur : \[ \begin{cases} \dfrac{3}{2}=\dfrac{5+x_D}{2}\\ \dfrac{3}{2}=\dfrac{-3+y_D}{2}\end{cases} \] ou encore : \[ \begin{cases} 3=5+x_D\\ 3=-3+y_D \end{cases} \] On en déduit alors que $x_D=3-5=-2$ et $y_D=3+3=6$.

Ainsi, $D\coord{-2}{6}$.
$E$ et $F$ sont les milieux respectifs de $[AC]$ et $[AB]$.

Ainsi, d'après le théorème des milieux appliqué au triangle ABC, $EF = \dfrac{BC}{2}$, soit $\boxed{EF=\dfrac{\sqrt{26}}{2}}$.
$G$ est le symétrique de $C$ par rapport à $F$ donc $F$ est le milieu de $[CG]$. Ainsi : \[ \begin{cases} x_F=\dfrac{x_C+x_G}{2}\\ y_F=\dfrac{y_C+y_G}{2}\end{cases} \] et donc : \[ \begin{cases} 2=\dfrac{4+x_G}{2}\\ -1=\dfrac{2+y_G}{2}\end{cases} \] ou encore, en multipliant par 2 de chaque côté du signe « $=$ » : \[ \begin{cases} 4=4+x_G\\ -2=2+y_G\end{cases} \] soit: \[ \begin{cases}x_G=0\\ y_G=-4\end{cases} \] Ainsi, $G\coord{0}{-4}$.