Les nombres réels ✅

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Nombres réels


Des entiers naturels aux nombres réels

ensembles de nombres

  • L'ensemble des entiers naturels est l'ensemble des nombres : 0, 1, 2, ...

    On le note $\N$: \[ \N=\{0;1;2;3;\ldots\} \]

  • L'ensemble des entiers relatifs est l'ensemble composé des entiers naturels et de leurs opposés.

    On le note $\Z$: \[ \Z=\{\ldots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\ldots\} \]

  • L'ensemble des nombres décimaux est l'ensemble de tous les nombres qui s'écrivent sous la forme $a \times 10^n$, où $a$ et $n$ sont deux entiers relatifs.

    On le note $\D$. C'est l'ensemble des nombres à virgule à écriture finie. \[ \D=\{a \times 10^n~, a\in\Z,\ n\in\Z\} \]

  • L'ensemble des nombres rationnels est l'ensemble de tous les nombres pouvant s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs, avec $b\neq0$.

    On le note $\Q$: \[ \Q = \left\{\frac{a}{b},\ a\in\Z,\ b\in\Z,\ b\neq0\right\} \]

  • L'ensemble des nombres réels est l'ensemble de tous les nombres pouvant représenter une quantité réelle.

    On le note $\R$.

Représentations des ensembles

La droite des réels

L'ensemble des nombres réels est représenté par une droite graduée sur laquelle on peut mettre n'importe quel nombre réel:

Diagramme de Venn

symbole d'inclusion

Soient $E$ et $F$ deux ensembles quelconques. Si tous les éléments de $F$ sont aussi dans $E$, on dit que $F$ est inclus dans $E$, et on note: \begin{align} F \subset E & \text{ si $E$ est plus grand que $F$}\\ F \subseteq E & \text{ si $F$ peut être confondu avec $E$} \end{align}

  • Tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs, donc $\N\subset\Z$.
  • Tous les entiers relatifs sont aussi des nombres décimaux, donc $\Z\subset\D$.
  • Tous les nombres décimaux sont aussi des nombres rationnels, donc $\D\subset\Q$.
  • Tous les nombres rationnels sont aussi des nombres réels, donc $\Q\subset\R$.

On a donc: \[ \N\subset\Z\subset\D\subset\Q\subset\R. \]

Cette dernière propriété se représente par le diagramme de Venn suivant:

Si un nombre est réel mais n'est pas rationnel, on dit qu'il est irrationnel.

Intervalles


Définitions et notations

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a

intervalle fermé

On notera $\intervFF{a}{b}$ l'ensemble des nombres réels compris entre $a$ et $b$. Ici, $a$ et $b$ sont \emph{compris} dans l'intervalle car les crochets sont dirigés vers l'intérieur.

On dira que $\intervFF{a}{b}$ est un intervalle fermé.

On représentera $\intervFF{-3}{4}$ ainsi :

intervalle ouvert

On notera $\intervOO{a}{b}$ l'ensemble des nombres compris entre $a$ et $b$, avec $a$ et $b$ qui ne sont pas compris dans l'intervalle car les crochets sont dirigés vers l'extérieur.

On dira que $\intervOO{a}{b}$ est un intervalle ouvert

On représentera $\intervOO{-3}{4}$ ainsi :

intervalle semi-ouvert à gauche

On notera $\intervOF{a}{b}$ l'ensemble des nombres compris entre $a$ et $b$, avec $a$ non compris dans l'intervalle (car le crochet est dirigé vers l'extérieur du côté de $a$) et $b$ compris dans l'intervalle (car le crochet est dirigé vers l'intérieur du côté de $b$).

On représentera $\intervOF{-3}{4}$ ainsi :

intervalle semi-ouvert à droite

On notera $\intervFO{a}{b}$ l'ensemble des nombres compris entre $a$ et $b$, avec $a$ compris dans l'intervalle (car le crochet est dirigé vers l'intérieur du côté de $a$) et $b$ non compris dans l'intervalle (car le crochet est dirigé vers l'extérieur du côté de $b$).

On représentera $\intervFO{-3}{4}$ ainsi :

intervalle infini
  • On notera $\intervOO{-\infty}{a}$ l'ensemble des nombres strictement plus petits que $a$.
  • On notera $\intervOF{-\infty}{a}$ l'ensemble des nombres plus petits que $a$ ou égaux à $a$.
  • On notera $\intervOO{a}{+\infty}$ l'ensemble des nombres strictement plus grands que $a$.
  • On notera $\intervFO{a}{+\infty}$ l'ensemble des nombres plus grands que $a$ ou égaux à $a$.

Le crochet est toujours ouvert du côté de l'infini (car on ne peut jamais atteindre l'infini).

Appartenance à un intervalle

Pour écrire qu'un nombre $x$ appartient à un intervalle $\intervFF{a}{b}$, on écrira : \[ x\in\intervFF{a}{b}.\] Cela signifie que $x$ est compris entre $a$ et $b$ et on pourra donc l'écrire aussi : \[ a \leqslant x \leqslant b.\]

Les signes d'inégalité sont choisis en fonction du sens des crochets de l'intervalle :

Pour écrire qu'un nombre $x$ n'appartient pas à un intervalle $\intervFF{a}{b}$, on écrira : $x\notin\intervFF{a}{b}$.

Union et intersection d'intervalles

  • Pour écrire qu'un nombre $x$ appartient à un intervalle $\intervFF{a}{b}$ ou à un intervalle $\intervFF{c}{d}$, on écrira : \[ x\in\intervFF{a}{b}\cup\intervFF{c}{d}.\] On représentera l'union ainsi :

    Si les deux intervalles se chevauchent,

    Dans ce cas (et uniquement dans ce cas), $\intervFF{a}{b}\cup\intervFF{c}{d}=\intervFF{a}{d}$.

  • Pour écrire qu'un nombre $x$ appartient à un intervalle $\intervFF{a}{b}$ et à un intervalle $\intervFF{c}{d}$, on écrira : \[ x\in\intervFF{a}{b}\cap\intervFF{c}{d}.\]

    • Si les deux intervalles ne se chevauchent pas, l'intersection est \emph{vide} (n'existe pas).

      On notera alors : \[ \intervFF{a}{b}\cap\intervFF{c}{d}=\varnothing.\]

    • Si les deux intervalles se chevauchent, l'intersection est l'ensemble en commun aux deux intervalles :

Inclusion d'intervalles

Si un intervalle $\intervFF{c}{d}$ est \emph{inclus} dans un autre intervalle $\intervFF{a}{b}$, on écrira : \[ \intervFF{c}{d}\subset\intervFF{a}{b}.\] Cela se schématise de la façon suivante :

Notations particulières

L'ensemble des nombres réels auquel on enlève le nombre 0 est noté: $\Rstar$ ou $\R\setminus\{0\}$.

L'ensemble des nombres réels auquel on enlève le nombre $a$ est noté: $\R\setminus\{a\}$.

De plus, on notera: \[ \intervOF{-\infty}{0}=\R_-\quad;\quad \intervOO{-\infty}{0}=\R_-^*\quad;\quad \intervFO{0}{+\infty}=\R_+\quad;\quad\intervOO{0}{+\infty}=\R_+^*. \]

L'étoile est toujours en haut, tout comme les étoiles sont toujours en haut, dans le ciel... (poétique non ?)

Valeur absolue d'un nombre réel


Définition

Soit $a$ un nombre réel. On appelle valeur absolue de $a$ la distance qui sépare $a$ de 0 sur la droite des réels. On la note $|a|$.

On a donc : $\begin{align}|a| & =a & \text{ si }a\geqslant0\\ |a| & =-a & \text{ si }a<0. \end{align}$

Distance entre deux nombres réels

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.

La distance entre $a$ et $b$ est égale à $|a-b|$ (ou $|b-a|$, ce qui est la même chose).

$-3$ et 4 sont distants de 7 unités car $|-3-4|=|-7|=7$.

Résolution de l'équation |x-a| $\leqslant$ r

Soient $a$ et $r$ deux nombres réels, avec $r>0$. \[ |x-a|\leqslant r \iff x \in\intervFF{a-r}{a+r}. \] \[ |x-a|< r \iff x \in\intervOO{a-r}{a+r}. \]

En effet, dire que $|x-a|\leqslant r$ signifie que la distance entre $x$ et $a$ est inférieure ou égale à $r$:

$\begin{align}|x+5|\leqslant3 & \iff |x-(-5)|\leqslant3 \\ & \iff x\in\intervFF{-5-3}{-5+3}\\ & \iff x\in\intervFF{-8}{-2}.\end{align}$

Encadrement décimal

Soient $x$ un nombre réel et $n$ un entier naturel.

\boldmath Trouver un encadrement décimal de $x$ à $10^{-n}$ près signifie trouver un intervalle \intervFF{a}{b} tel que $|x-a|\leqslant10^{-n}$ et $|x-b|\leqslant10^{-n}$.

  1. Un encadrement de $\pi$ à $10^{-2}$ près est: \[ 3,14 \leqslant \pi \leqslant 3,15 \] car $|\pi-3,14|\approx0,0016\leqslant10^{-2}$ et $|\pi-3,15|\approx0,008\leqslant10^{-2}$.
  2. Un encadrement de $\sqrt2$ à $10^{-3}$ près est: \[ 1,414 \leqslant \sqrt2 \leqslant 1,415 \] car $|\sqrt2-1,414|\approx0,0002\leqslant10^{-3}$ et $|\sqrt2-1,415|\approx0,0008\leqslant10^{-3}$.

Trouver un encadrement décimal à $10^{-n}$ près de la forme $\intervFF{a}{b}$ revient à écrire $a$ et $b$ sous la forme décimale avec $n$ chiffres après la virgule.

Quand on connaît une valeur approchée de $x$, pour obtenir un encadrement décimal à $10^{-n}$ près,

  • $a$ est la troncature de la partie décimale de $x$ avec $n$ chiffres après la virgule;
  • $b$ est obtenu à partir de $a$ en ajoutant « 1 »{} au dernier chiffre de la partie décimale.

Par exemple, pour $\pi\approx3,14159\ldots$, pour un encadrement à $10^{-3}$, on prend 3 chiffres après la virgule pour obtenir $a$ ($a=3,141$) et on ajoute 1 au dernier chiffre de la partie décimale de $a$ pour obtenir $b$ ($141+1=142$ donc $b=3,142$). On obtient alors: \[ 3,141\leqslant\pi\leqslant3,142. \]

Racines carrées


Définition

Soit $x$ un nombre réel positif ou nul.

On dit que $y$ est la racine carrée de $x$, et on écrit $\pmb{y=\sqrt{x}}$, si $y^2=x$ et $y\geqslant0$.

  1. 3 est la racine carrée de 9 car $3^2=9$ : $\sqrt9=3$.
  2. 10 est la racine carrée de 100 car $10^2=100$ : $\sqrt{100}=10$.

$(-3)^2=9$ mais $-3$ n'est pas la racine carrée de 9 car la définition dit bien que la racine carrée d'un nombre est positive ou nulle ($y\geqslant0$).

Quel que soit le nombre réel $a$, \[ \sqrt{a^2} = |a|. \]

  1. $\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$.
  2. $\sqrt{(-8)^2}=|-8|=8$.
  3. $\sqrt{7^2}=|7|=7$.

Règles de calculs

Quels que soient les nombres réels $a$ et $b$ positifs ou nuls, \[ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}. \]

Nous avons d'une part : \[ \big(\sqrt{ab}\big)^2=ab~; \] d'autre part, \[ \big(\sqrt{a}\times\sqrt{b}\big)^2=\big(\sqrt{a}\big)^2 \times \big(\sqrt{b}\big)^2 = a \times b=ab. \] Or, $\sqrt{ab}\geqslant0$ et $\sqrt{a}\times\sqrt{b}\geqslant0$ $^{(*)}$, donc: \[ \big(\sqrt{ab}\big)^2=\big(\sqrt{a}\times\sqrt{b}\big)^2 \iff \sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}. \]

Il fallait ici préciser les conditions (*) car dans un cas général, ce n'est pas parce que l'on a $x^2=y^2$ que $x=y$.

Par exemple, $(-3)^2=3^2$. Les conditions de positivité sont donc ici nécessaires car si $x\geqslant0$ et $y\geqslant0$ alors on peut dire que $x^2=y^2$ implique que $x=y$.

Nous en dirons plus sur cela dans le chapitre qui traitera de la fonction carré.

  1. $\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=\sqrt4\times\sqrt2=2\sqrt2.$
  2. $\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=\sqrt{25}\times\sqrt3=5\sqrt3$.

Quels que soient les nombres réels $a$ et $b$ positifs, avec $b\neq0$, \[ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}. \]

On a d'une part: $\left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)^2=\dfrac{a}{b}$ ; d'autre part, $\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)=\dfrac{\big(\sqrt{a}\big)^2}{\big(\sqrt{b}\big)^2}=\dfrac{a}{b}$.

Or, $\sqrt{\dfrac{a}{b}}\geqslant0$ et $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\geqslant0$ donc $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

  1. $\sqrt{\dfrac{25}{9}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt9}=\dfrac{5}{3}$.
  2. $\sqrt{\dfrac{16}{36}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{36}}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.

\[ \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}. \] Pour s'en convaincre, il suffit de calculer par exemple : \begin{align} \sqrt{1+4}=\sqrt{5}\\ \sqrt1+\sqrt4=1+2=3 \end{align} On voit alors que les deux résultats ne sont pas égaux.

Le symbole du radical (c'est-à-dire le symbole « $\sqrt{\phantom{T}}$ »{} est dû au mathématicien allemand Christoff Rudolff (1499 - 1545).

Dans l'écriture $\sqrt{a}$, « $a$ »{} est appelé le radicande.

Simplifier un radical par décomposition en produit de facteurs premiers Pour simplifier $\sqrt{17146080}$ (par exemple), on peut avant tout décomposer le radicande en produit de facteurs premiers:

  • $17146080$ est divisible par 2 donc on commence par diviser par 2:

  • Le quotient obtenu est encore divisible par 2 donc on continue:

  • Le quotient est encore divisible par 2 donc on continue jusqu'à obtenir un quotient impair. On obtient alors: \[ 17146080=2^5\times 535815. \]

  • $535815$ est divisible par 3 (car la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3) donc on divise par 3:

  • Le quotient obtenu est encore divisible par 3 donc on continue jusqu'à obtenir un quotient non multiple de 3. On obtient alors: \[ 535815=3^7\times245. \]
  • On passe au nombre premier qui suit 3 : c'est 5. 245 est divisible par 5, et: \[ 245 = 5\times49=5\times7^2. \]

  • Finalement, le radicande s'écrit : \[ 17146080=2^5\times3^7\times5\times7^2. \] Comme nous souhaitons simplifier une racine carrée, seuls les exposants pairs nous intéressent; on écrit donc: \[ 17146080=2^4\times2\times3^6\times3\times5\times7^2. \] Ainsi,\begin{align} \sqrt{17146080} & = \sqrt{2^4} \times \sqrt{3^6} \times \sqrt{7^2} \times \sqrt{2\times3\times5}\\ & = 2^2 \times3^3 \times 7^1 \times \sqrt{30} \\ & = \underline{756\sqrt{30}}. \end{align}

Puissances


Définition

Soient $a$ un nombre réel et $n$ un entier naturel non nul.

  • $a^n=\underbrace{a\times a\times a\times \cdots \times a}_{n\text{ facteurs}}$.
  • Si $a\neq0$, $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$.
  • Si $a\neq0$, $a^0=1$.
  • $7^3=7\times7\times7$.
  • $7^{-3}=\dfrac{1}{7^3}$.
  • $7^0=1$.
  • $\dfrac{1}{7}=7^{-1}$.

Règles de calculs

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls, $n$ et $m$ deux entiers relatifs.

  • $a^m \times a^n = a^{m+n}$.
  • $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.
  • $(a^m)^n=a^{m \times n}$.
  • $a^n \times b^n = (a \times b)^n$.
  • $\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$.
  • $7^2 \times 7^8 = 7^{2+8} = 7^{10}$.
  • $\dfrac{7^8}{7^{-3}}=7^{8-(-3)}=7^{8+3}=7^{11}$.
  • $(7^2)^3=7^{2\times3}=7^6$.
  • $7^2 \times 3^2 = (7\times3)^2=21^2$.
  • $\left(\dfrac{7}{3}\right)^4=\dfrac{7^4}{3^4}$.

Ecriture scientifique d'un nombre

Une écriture scientifique d'un nombre est une écriture de ce nombre sous la forme: \[ a \times 10^n\qquad,\qquad\text{ avec }1\leqslant |a|<10,\ n\in\Z. \]

  • $1,78 \times 10^2$ est l'écriture scientifique de 178.
  • $3,049 \times 10^{-2}$ est l'écriture scientifique de 304,9.
  • $4,05 \times 10^{-8}$ est l'écriture scientifique de $0,0000000405$.

Raisonnement par l'absurde

Un raisonnement par l'absurde est un raisonnement dans lequel on part d'une donnée contraire à ce que l'on veut démontrer afin d'arriver à une contradiction mathématique.

$\pmb{\frac{1}{3}}$ n'est pas décimal

On considère la propriété: \[ (P)\quad:\quad \text{" $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal ".} \]

  • Etape 1: on suppose que le contraire de (P) est vrai.

    On suppose alors que $\dfrac{1}{3}$ est décimal.

  • Etape 2: on exploite cette supposition pour arriver à une absurdité.

    Si $\dfrac{1}{3}$ est décimal alors, par définition d'un nombre décimal, \[ \dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^n},\quad \text{où }a\in\N,\ n\in\N \] car $0<\dfrac{1}{3}<1$.

    Ainsi, les produits en croix sont égaux: \[ 1 \times 10^n = 3 \times a\qquad\text{soit}\qquad10^n=3a. \] Ce qui signifie que $10^n$ est un multiple de 3, ce qui n'est pas le cas car un nombre est multiple de 3 uniquement si la somme de ses chiffres est elle-même un multiple de 3.

    Or, $10^n=1000\ldots$ donc la somme des chiffres de $10^n$ est égale à 1, qui n'est pas un multiple de 3.

  • Etape 3: conclusion.

    Supposer que $\dfrac{1}{3}$ est un décimal implique que $10^n$ est un multiple de 3, ce qui est absurde. Par conséquent, $\dfrac{1}{3}$ n'est pas un décimal.

$\pmb{\sqrt2}$ est irrationnel

Supposons que $\sqrt2$ soit rationnel. Alors, il existe deux nombres $p$ et $q$ premiers entre eux tels que : \[ \sqrt2=\dfrac{p}{q}. \] Ainsi, en élevant au carré, on a: \[ \big(\sqrt2\big)^2 = \left(\dfrac{p}{q}\right)^2\qquad\text{soit}\qquad2=\dfrac{p^2}{q^2}. \] Donc, \[ p^2=2q^2. \] $p^2$ est donc un nombre pair, ce qui signifie que $p$ est aussi un nombre pair (en effet, si $p$ était impair, en l'élevant au carré, on obtiendrait encore un nombre impair).

Donc: \[ p=2k. \] Alors, \[ (2k)^2=2q^2\qquad\text{soit}\qquad4k^2=2q^2. \] En divisant par 2 à droite et à gauche du signe « $=$ », on obtient: \[ 2k^2=q^2. \] Cela signifie que $q^2$ est pair, et donc que $q$ est aussi pair.

On arrive alors au fait que $p$ et $q$ sont tous les deux pairs, ce qui est impossible car on a supposé que $p$ et $q$ étaient premiers entre eux.

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Ainsi, $\sqrt2$ ne peut pas s'écrire sous la forme $\dfrac{p}{q}$; $\sqrt2$ n'est donc pas rationnel.

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Exercices

Nombres réels, intervalles

À quel ensemble les nombres suivants appartiennent-ils ? Donner le plus petit ensemble possible.

  1. $\sqrt\pi$
  2. $\dfrac{7}{4}$
  3. $\sqrt{(-5)^2}$
  4. $\dfrac{1}{\pi}$
  5. $\dfrac{5}{3}$
  6. $\pi^2$
  7. $\sqrt{3^2+4^2}$
  8. $-\dfrac{48}{4}$
  9. $\dfrac{7}{10^8}$
  10. $\dfrac{7}{6}$

  1. $\sqrt\pi\in\R$ car il ne peut pas s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$; il n'est donc pas rationnel.
  2. $\dfrac{7}{4}=7\div4=1,75$; sa partie décimale est finie donc $\dfrac{7}{4}\in\D$.
  3. $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5\in\N$.
  4. $\dfrac{1}{\pi}\in\R$ (quand on voit $\pi$ dans un calcul, en général, le nombre est irrationnel, donc réel).
  5. $\dfrac{5}{3}\in\Q$ car $\dfrac{5}{3}\notin\D$ (en effet, $5\div3\approx1,666\ldots$ donc sa partie décimale est infinie; il n'est donc pas décimal).
  6. $\pi^2\in\R$.
  7. $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\in\N$.
  8. $-\dfrac{48}{4}=-48\div4=-12\in\Z$.
  9. $\dfrac{7}{10^8}\in\D$ car il s'écrit sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$.
  10. $\dfrac{7}{6}$ n'est pas simplifiable (car 7 et 6 n'ont pas de facteurs communs) donc $\dfrac{7}{6}\in\Q$.

Compléter les affirmations suivantes avec l'un des symboles : $\in$ ou $\notin$.

  1. $\dfrac{1}{3}\ldots\intervFF{-1}{\dfrac{1}{2}}$
  2. $\dfrac{7}{5}\ldots\intervFF{0}{1}$
  3. $\dfrac{8}{9}\ldots\intervFF{0}{1}$
  4. $-\dfrac{9}{7}\ldots\intervFF{-2}{-1}$
  5. $\dfrac{9}{4}\ldots\intervFF{2}{3}$
  6. $\dfrac{8}{5}\ldots\intervOO{1,6}{1,7}$
  7. $\dfrac{1}{\pi}\ldots\intervFF{\pi}{\pi+1}$
  8. $\dfrac{15}{14}\ldots\intervFF{1,06}{1,07}$
  9. $-\dfrac{20}{21}\ldots\intervFF{-1}{-0,9}$
  10. $-\dfrac{78}{79}\ldots\intervOO{-0,99}{-0,98}$

  1. $\dfrac{1}{3}\in\intervFF{-1}{\dfrac{1}{2}}$ car $\dfrac{1}{3}\approx0,333\ldots$
  2. $\dfrac{7}{5}\notin\intervFF{0}{1}$ car $\dfrac{7}{5}=1,4$.
  3. $\dfrac{8}{9}\in\intervFF{0}{1}$ car $0<8<9$.
  4. $-\dfrac{9}{7}\in\intervFF{-2}{-1}$ car $-\dfrac{9}{7}\approx-1,2857\ldots$
  5. $\dfrac{9}{4}\in\intervFF{2}{3}$ car $\dfrac{9}{4}=2,25$.
  6. $\dfrac{8}{5}\notin\intervOO{1,6}{1,7}$ car $\dfrac{8}{5}=1,6$ (attention aux crochets ouverts !)
  7. $\dfrac{1}{\pi}\notin\intervFF{\pi}{\pi+1}$ car $0<\dfrac{1}{\pi}<1$ et $\pi>1$.
  8. $\dfrac{15}{14}\notin\intervFF{1,06}{1,07}$ car $\dfrac{15}{14}\approx1,0714\ldots$
  9. $-\dfrac{20}{21}\in\intervFF{-1}{-0,9}$ car $-\dfrac{20}{21}\approx-0,95\ldots$
  10. $-\dfrac{78}{79}\in\intervOO{-0,99}{-0,98}$ car $-\dfrac{78}{79}\approx-0,987\ldots$

Donner un encadrement décimal des nombres suivants à $10^{-n}$.

  1. $\pi^2$, $n=4$
  2. $\sqrt3$, $n=3$
  3. $\sqrt5$, $n=5$
  4. $\dfrac{1}{\pi}$, $n=1$
  5. $\sqrt7+\sqrt{11}$, $n=0$
  6. $\dfrac{2}{3}$, $n=2$
  7. $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}$, $n=4$
  8. $-\dfrac{7}{11}$, $n=5$

  1. $\pi^2\approx9,86960440109$ donc $9,8696 < \pi^2 < 9,8697$.
  2. $\sqrt3\approx1,73205080757$ donc $1,732 < \sqrt3 < 1,733$.
  3. $\sqrt5\approx2,2360679775$ donc $2,23606 < \sqrt5 < 2,23607$.
  4. $\dfrac{1}{\pi}\approx0,318309886184$ donc $0,3 < \dfrac{1}{\pi} < 0,4$.
  5. $\sqrt7+\sqrt{11}\approx5,96237610142$ donc $5 < \sqrt7+\sqrt{11} < 6$.
  6. $\dfrac{2}{3}\approx0,666\ldots$ donc $0,66 < \dfrac{2}{3} < 0,67$.
  7. $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\approx0,816496580928$ donc $0,8164 < \dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}<0,8165$.
  8. $-\dfrac{7}{11}\approx-0,636363636364$ donc $-0,63637 < -\dfrac{7}{11} < -0,63636$.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

  1. $-\dfrac{13}{7}$ est un nombre rationnel.
  2. $\dfrac{1,7}{3,4} \in\Q$.
  3. $0,123$ est un nombre rationnel.
  4. $-\dfrac{7}{3}\in\D$.
  5. $\dfrac{30}{6}$ est un entier relatif.
  6. $\dfrac{\sqrt2}{2}\in\Q$.

  1. L'affirmation est vraie. En effet, toute fraction de deux entiers relatifs représente un nombre rationnel.
  2. L'affirmation est vraie. En effet, $\dfrac{1,7}{3,4} = \dfrac{17}{34}=\dfrac{1}{2}$, et $\dfrac{1}{2}$ est un nombre rationnel.
  3. L'affirmation est vraie. En effet, $0,123=\dfrac{123}{100}$, qui est bien le quotient de deux entiers relatifs.
  4. L'affirmation est fausse. En effet, 3 n'est pas une puissance de 10.
  5. L'affirmation est vraie. En effet, $\dfrac{30}{6}=5$, qui est un entier relatif.
  6. L'affirmation est fausse. En effet, $\sqrt2$ n'est pas un rationnel (d'après le cours), donc sa moitié non plus.

Traduire les inégalités ou les encadrements suivants à l'aide d'un intervalle.

  1. $-9 < x \leqslant 12$
  2. $x>2$
  3. $-5,5 \leqslant x \leqslant 5,5$
  4. $x\leqslant3$

  1. $-9 < x \leqslant 12 \iff x\in\intervOF{-9}{12}$.
  2. $x>2 \iff x\in\intervOO{2}{+\infty}$.
  3. $-5,5 \leqslant x \leqslant 5,5 \iff x\in\intervFF{-5,5}{5,5}$.
  4. $x\leqslant3 \iff x\in\intervFO{3}{+\infty}$.

On pose $x=0,999\ldots$.

  1. Justifier que $10x=9+x$.
  2. En déduire que $x=1$.


  1. $x=0,999\ldots$ donc: \[\begin{align}10x & =10\times0,999\ldots\\ & =9,999\ldots\\ & =9+0,999\ldots\\ 10x & =9+x\end{align} \]
  2. De l'égalité $10x=9+x$ on déduit : $10x-x=9$, soit: $9x=9$. En divisant par 9 de part et d'autre du signe « $=$ » : \[ x=\dfrac{9}{9}=1. \] On déduit donc que: \[ 0,999\ldots=1. \]

Il n'est pas rare de voir un nombre avec différentes écritures. Par exemple, $1=\sqrt1$.

On pose $x=0,718718718\ldots$.

  1. Justifier que $1000x=718+x$.
  2. En déduire l'écriture rationnelle de $x$.


  1. $\begin{align}x & =0,718718718\ldots\\ \iff 1000x & =1000\times0,718718718\ldots\\ \iff 1000x & =718,718718718\ldots\\ \iff 1000x & = 718 + 0,718718718\ldots\\ \iff 1000x & = 718 +x\end{align}$

  2. $\begin{align}1000x & = 718 +x \\ \iff 1000x-x&=718\\ \iff 999x & = 718\\ \iff x & =\dfrac{718}{999}.\end{align}$

Pour chacun des intervalles $I$ et $J$ suivants, décrire $I \cap J$ et $I \cup J$ de la manière la plus simple possible.

  1. $I=\intervOF{-3}{7}$ et $J=\intervFO{-1}{+\infty}$
  2. $I=\intervOO{-\infty}{4}$ et $J=\intervFF{4}{10}$
  3. $I=\intervFF{-10}{2}$ et $J=\intervFF{-3}{7}$
  4. $I=\intervOF{-\infty}{3}$ et $J=\intervFO{-6}{+\infty}$
  5. $I=\intervFO{7}{+\infty}$ et $J=\intervFO{-5}{+\infty}$
  6. $I=\intervOF{3}{18}$ et $J=\intervOF{17}{20}$
  7. $I=\intervFF{-3}{0}$ et $J=\intervFO{-1}{+\infty}$
  8. $I=\intervFO{-2}{0}$ et $J=\intervFO{0}{+\infty}$
  9. $I=\intervOO{7}{18}$ et $J=\intervFO{10}{+\infty}$
  10. $I=\intervOO{-4}{2}$ et $J=\intervFF{2}{5}$
  11. $I=\intervOO{-4}{2}$ et $J=\intervOF{2}{5}$
  12. $I=\intervFO{-3}{+\infty}$ et $J=\intervOO{-5}{+\infty}$

  1. $I=\intervOF{-3}{7}$ et $J=\intervFO{-1}{+\infty}$

    Donc $I \cap J = \intervFF{-1}{7}$ et $I \cup J = \intervOO{-3}{+\infty}$.

    %

  2. $I=\intervOO{-\infty}{4}$ et $J=\intervFF{4}{10}$

    Donc $I \cap J = \varnothing$ et $I \cup J = \intervOF{-\infty}{10}$.

  3. $I=\intervFF{-10}{2}$ et $J=\intervFF{-3}{7}$

    Donc $I \cap J = \intervFF{-3}{2}$ et $I \cup J = \intervFF{-10}{7}$.

  4. $I=\intervOF{-\infty}{3}$ et $J=\intervFO{-6}{+\infty}$

    Donc $I \cap J = \intervFF{-6}{3}$ et $I \cup J = \R$.

  5. $I=\intervFO{7}{+\infty}$ et $J=\intervFO{-5}{+\infty}$

    Donc $I \cap J = \intervFO{7}{+\infty}$ et $I \cup J = \intervFO{-5}{+\infty}$.

    %

  6. $I=\intervOF{3}{18}$ et $J=\intervOF{17}{20}$

    Donc $I \cap J = \intervOF{17}{18}$ et $I \cup J = \intervOF{3}{20}$.

  7. $I=\intervFF{-3}{0}$ et $J=\intervFO{-1}{+\infty}$ % 7

    Donc $I \cap J = \intervFF{-1}{0}$ et $I \cup J = \intervFO{-3}{+\infty}$.

  8. $I=\intervFO{-2}{0}$ et $J=\intervFO{0}{+\infty}$ % 8

    Donc $I \cap J = \varnothing$ et $I \cup J = \intervFO{-2}{+\infty}$.

  9. $I=\intervOO{7}{18}$ et $J=\intervFO{10}{+\infty}$ %9

    Donc $I \cap J = \intervFO{10}{18}$ et $I \cup J = \intervOO{7}{+\infty}$.

  10. $I=\intervOO{-4}{2}$ et $J=\intervFF{2}{5}$ % 10

    Donc $I \cap J = \varnothing$ et $I \cup J = \intervOF{-4}{5}$.

  11. $I=\intervOO{-4}{2}$ et $J=\intervOF{2}{5}$

  12. $I=\intervFO{-3}{+\infty}$ et $J=\intervOO{-5}{+\infty}$

    Donc $I \cap J = \intervFO{-3}{+\infty}$ et $I \cup J = \intervOO{-5}{+\infty}$.

Valeur absolue

Exprimer sans valeur absolue les nombres suivants:

  1. $|\pi-3|$
  2. $|2\pi+7|$
  3. $|7-3\pi|$
  4. $|\pi-4|$

  1. $\pi\approx3,14$ donc $\pi>3$; ainsi, $\pi-3>0$ et donc $|\pi-3|=\pi-3$.
  2. $2\pi+7>0$ donc $|2\pi+7|=2\pi+7$.
  3. $3\pi\approx10$ donc $7-3\pi<0$. Ainsi, $|7-3\pi|=-(7-3\pi)$, c'est-à-dire $|7-3\pi|=3\pi-7$.
  4. $\pi\approx3,14$ donc $|\pi-4|<0$. Ainsi, $|\pi-4|=4-\pi$.

Exprimer sans valeur absolue les nombres suivants:

  1. $|\pi^2-\pi|$
  2. $|2\pi-\pi^2|$
  3. $\left|7-\dfrac{1}{7}\right|$
  4. $\left|\pi-\dfrac{1}{4}\right|$

  1. $\pi^2>\pi$ donc $|\pi^2-\pi|=\pi^2-\pi$.
  2. $\pi^2>2\pi$ donc $|2\pi-\pi^2|=-(2\pi-\pi^2)$, c'est-à-dire $|2\pi-\pi^2|=\pi^2-2\pi$.
  3. $7>\dfrac{1}{7}$ donc $7-\dfrac{1}{7}>0$. Ainsi, $\left|7-\dfrac{1}{7}\right|=7-\dfrac{1}{7}$. Il n'était pas demandé de calculer, mais nous aurions pu aussi écrire : $\left|7-\dfrac{1}{7}\right|=7-\dfrac{1}{7}=\dfrac{49}{7}-\dfrac{1}{7}=\dfrac{48}{7}$.
  4. $\pi>\dfrac{1}{4}$ donc $\pi-\dfrac{1}{4}>0$. Ainsi, $\left|\pi-\dfrac{1}{4}\right|=\pi-\dfrac{1}{4}$.

Calculer:

  1. $\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right|$
  2. $\left|\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}\right|$
  3. $\left|\dfrac{2}{7}-\dfrac{7}{2}\right|$
  4. $\left|\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}\right|$


  1. $\begin{align} \left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right| & = \left|\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}\right|\\ & = \left|\dfrac{1}{6}\right|\\ \left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right|& = \dfrac{1}{6}\end{align}$

  2. $\begin{align} \left|\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}\right| & = \left|\dfrac{3}{15}-\dfrac{5}{15}\right|\\ & = \left|-\dfrac{2}{15}\right|\\ \left|\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}\right| & = \dfrac{2}{15}\end{align}$

  3. $\begin{align} \left|\dfrac{2}{7}-\dfrac{7}{2}\right| & = \left|\dfrac{4}{14}-\dfrac{49}{14}\right| \\ & = \left|-\dfrac{45}{14}\right| \\ \left|\dfrac{2}{7}-\dfrac{7}{2}\right| & = \dfrac{45}{14}\end{align}$

  4. $\begin{align} \left|\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}\right| & = \left|\dfrac{10}{15}-\dfrac{6}{15}\right|\\ & = \left|\dfrac{4}{15}\right|\\ \left|\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}\right| & = \dfrac{4}{15}\end{align}$

Calculer:

  1. $\left|\sqrt2 - 4\right|$
  2. $\left|2\sqrt3- \pi\right|$
  3. $\left|\dfrac{2}{7}-\sqrt7\right|$
  4. $\left|\sqrt2-\sqrt3\right|$

  1. $\sqrt2<4$ donc $\sqrt2-4<0$. Ainsi, $\left|\sqrt2 - 4\right|=-(\sqrt2-4)$, soit $\left|\sqrt2 - 4\right|=4-\sqrt2$.
  2. $2\sqrt3\approx2\times1,732\approx3,4$ donc $2\sqrt3>\pi$ et donc $2\sqrt3-\pi>0$. Ainsi, $\left|2\sqrt3- \pi\right|=2\sqrt3-\pi$.
  3. $\sqrt7\approx 2,6$ et $\dfrac{2}{7}<1$ donc $\dfrac{2}{7}<\sqrt7$, d'où $\dfrac{2}{7}-\sqrt7<0$. Ainsi, $\left|\dfrac{2}{7}-\sqrt7\right|=-\left(\dfrac{2}{7}-\sqrt7\right)$, c'est-à-dire $\left|\dfrac{2}{7}-\sqrt7\right|=\sqrt7-\dfrac{2}{7}$.
  4. $\sqrt2<\sqrt3$ donc $\sqrt2-\sqrt3<0$. Ainsi, $\left|\sqrt2-\sqrt3\right|=\sqrt3-\sqrt2$.

Traduire les inégalités suivantes à l'aide d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles dans lequel ou laquelle se trouve $x$.

  1. $|x-2| \leqslant 10^{-3}$
  2. $|x+3| > 2$
  3. $|x-7| \geqslant 11$
  4. $|x+1| < 1$

  1. $|x-2| \leqslant 10^{-3}$: la distance entre $x$ et 2 est inférieure ou égale à $10^{-3}$, donc $x$ se trouve entre:

    • $2-10^{-3}=2-0,001=1,999$ et
    • $2+10^{-3}=2+0,001=2,001$.
    \[ |x-2| \leqslant 10^{-3} \iff 1,999 \leqslant x \leqslant 2,001 \iff \boxed{ x\in\intervFF{1,999}{2,001} } \]
  2. $|x+3| > 2 \iff |x-(-3)|>2$ signifie que la distance entre $x$ et $-3$ est strictement supérieure à 2, donc $x$ se trouve à plus de 2 unités de $-3$, soit avant $-3-2=-5$ ou après $-3+2=-1$. \[ |x+3| > 2 \iff x<-5\text{ ou }x>-1 \iff \boxed{ x\in\intervOO{-\infty}{-5} \cup \intervOO{-1}{+\infty} } \]
  3. $|x-7| \geqslant 11$ signifie que la distance entre $x$ et 7 est supérieure ou égale à 11, soit que $x$ est avant $7-11=-4$ ou après $7+11=18$. \[ |x-7| \geqslant 11 \iff x\leqslant-4\text{ ou }x\geqslant18 \iff \boxed{ x\in\intervOF{-\infty}{-4}\cup\intervFO{18}{+\infty} } \]
  4. $|x+1| < 1 \iff |x-(-1)|<1$ signifie que la distance entre $x$ et $-1$ est strictement inférieure à 1, donc que $x$ se trouve entre $-1-1=-2$ et $-1+1=0$. \[ |x+1| < 1 \iff -2 < x < 0 \iff \boxed{ x\in\intervOO{-2}{0} } \]

Exprimer sans valeur absolue les nombres suivants:

  1. $\left|x + 4\right|$, si $x \in \intervFF{-10}{-5}$.
  2. $\left|8-x\right|$, si $x\in\intervFF{2}{7}$.
  3. $|2x-3|$, si $x\in\intervOO{2}{5}$.
  4. $|7-5x|$, si $x\in\intervFF{5}{7}$

  1. $x \in \intervFF{-10}{-5}$ donc $x<-4$, d'où $x+4<0$. Ainsi, $|x+4|=-(x+4)$ ou encore $|x+4|=-x-4$.
  2. $x\in\intervFF{2}{7}$ donc $x<8$, d'où $8-x>0$. Ainsi, $|8-x|=8-x$.
  3. $x\in\intervOO{2}{5}$ donc $2 < x < 5$. En multipliant par 2, on obtient: $ 4 < 2x < 10 $ et en soustrayant 3, on arrive à: \[ 4-3 < 2x-3 < 10-3\] c'est-à-dire: \[ 1 < 2x-3 < 7. \] Ainsi, $2x-3>0$ et donc $|2x-3|=2x-3$.

  4. $\begin{align} x\in\intervFF{5}{7}& \iff 5 \leqslant x \leqslant 7\\ & \iff -5\times7 \leqslant -5x \leqslant -5\times5\\ & \iff -35 \leqslant -5x \leqslant -25\\ & \iff -35+7 \leqslant -5x+7 \leqslant-25+7\\ & \iff -28 \leqslant 7-5x \leqslant -18\end{align}$

    Ainsi, $7-5x<0$ et donc $|7-5x|=-(7-5x)$, soit $|7-5x|=5x-7$.

Racines carrées

Compléter les égalités suivantes:

$\sqrt1=\ldots$

$\sqrt{16}=\ldots$

$\sqrt4=\ldots$

$\sqrt{81}=\ldots$

$\sqrt9=\ldots$

$\sqrt{100}=\ldots$

$\sqrt{36}=\ldots$

$\sqrt{49}=\ldots$

$\sqrt{25}=\ldots$

$\sqrt{64}=\ldots$

$\sqrt1=1$

$\sqrt{16}=4$

$\sqrt4=2$

$\sqrt{81}=9$

$\sqrt9=3$

$\sqrt{100}=10$

$\sqrt{36}=6$

$\sqrt{49}=7$

$\sqrt{25}=5$

$\sqrt{64}=8$

Il est très important de connaître ces valeurs.

Simplifier au maximum les racines carrées suivantes:

  1. $\sqrt{175}$
  2. $\sqrt{117}$
  3. $\sqrt{48}$
  4. $\sqrt{98}$
  5. $\sqrt{44}$
  6. $\sqrt{500}$

  1. $\sqrt{175}=\sqrt{25\times7}=\sqrt{25}\times\sqrt7=5\sqrt7$.
  2. $\sqrt{117}=\sqrt{9\times13}=\sqrt9\times\sqrt{13}=3\sqrt{13}$.
  3. $\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=\sqrt{16}\times\sqrt3=4\sqrt3$.
  4. $\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=\sqrt{49}\times\sqrt2=7\sqrt2$.
  5. $\sqrt{44}=\sqrt{4\times11}=\sqrt4\times\sqrt{11}=2\sqrt{11}$.
  6. $\sqrt{500}=\sqrt{100\times5}=\sqrt{100}\times\sqrt5=10\sqrt5$.

Simplifier les radicaux suivants de sorte que les résultats finaux soient sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a\in\Q$ et $b\in\N$.

  1. $\sqrt{\dfrac{50}{49}}$
  2. $\sqrt{\dfrac{75}{36}}$
  3. $\sqrt{\dfrac{128}{25}}$
  4. $\sqrt{\dfrac{48}{735}}$
  5. $\sqrt{\dfrac{343}{448}}$
  6. $\sqrt{\dfrac{320}{150}}$
  7. $\sqrt{\dfrac{114}{78}}$
  8. $\sqrt{\dfrac{1575}{224}}$

  1. $\sqrt{\dfrac{50}{49}}=\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{49}}=\dfrac{\sqrt{25\times2}}{7}=\boxed{\dfrac{5}{7}\sqrt2}$.
  2. $\sqrt{\dfrac{75}{36}}=\dfrac{\sqrt{25\times3}}{\sqrt{36}}=\boxed{\dfrac{5}{6}\sqrt3}$.
  3. $\sqrt{\dfrac{128}{25}}=\dfrac{\sqrt{64\times2}}{\sqrt{25}}=\boxed{\dfrac{8}{5}\sqrt2}$.

  4. $\sqrt{\dfrac{48}{735}}=\dfrac{\sqrt{16\times3}}{\sqrt{49\times15}}=\dfrac{4\sqrt3}{7\sqrt{15}}$.

    On ne peut pas s'arrêter à ce dernier résultat car il n'est pas sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $a\in\Q$ et $b\in\N$.

    Quand on a un radical au dénominateur d'une fraction, on multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction par ce radical afin d'avoir un nombre entier au dénominateur.

    On a donc : \[ \sqrt{\dfrac{48}{735}}=\dfrac{4\sqrt3\textcolor{red}{\times\sqrt{15}}}{7\sqrt{15}\textcolor{red}{\times\sqrt{15}}}=\dfrac{4\sqrt{45}}{7\times15}=\dfrac{4\sqrt{9\times5}}{7\times3\times5}=\dfrac{4\times\cancel{3}\sqrt5}{7\times\cancel{3}\times5}=\boxed{\dfrac{4\sqrt5}{35}} \]

    On peut aussi simplifier le radicande avant de simplifier le radical: \[ \sqrt{\dfrac{48}{735}}=\sqrt{\dfrac{\cancel{3}\times16}{\cancel{3}\times245}}=\dfrac{4}{7\sqrt5}\times\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}=\dfrac{4\sqrt5}{35}. \]

  5. $\sqrt{\dfrac{343}{448}}=\sqrt{\dfrac{\cancel{7}\times49}{\cancel{7}\times64}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\boxed{\dfrac{7}{8}}$.
  6. $\sqrt{\dfrac{320}{150}}=\sqrt{\dfrac{\cancel{10}\times32}{\cancel{10}\times15}}=\dfrac{\sqrt{16\times2}}{\sqrt{15}}=\dfrac{4\sqrt2}{\sqrt{15}}\textcolor{red}{\times\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}}=\boxed{\dfrac{4}{15}\sqrt{30}}$.
  7. $\sqrt{\dfrac{114}{78}}=\sqrt{\dfrac{19}{13}}=\dfrac{\sqrt{19}}{\sqrt{13}}\textcolor{red}{\times\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}}=\boxed{\dfrac{1}{13}\sqrt{247}}$.
  8. $\sqrt{\dfrac{1575}{224}}=\sqrt{\dfrac{9\times25\times\cancel{7}}{16\times\cancel{7}\times2}}=\dfrac{3\times5}{4\sqrt{2}}\textcolor{red}{\times\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}=\boxed{\dfrac{15}{8}\sqrt2}$.

Développer les expressions suivantes de sorte à obtenir une expression de la forme $a+b\sqrt{n}$, où $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs, et $n$ un entier naturel.

  1. $\big(5+\sqrt3\big)^2$
  2. $\big(7-\sqrt2\big)^2$
  3. $\big(-1+2\sqrt7\big)^2$
  4. $\big(-3-4\sqrt2\big)^2$

Pour cet exercice, il faut se souvenir des identités remarquables: \[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\qquad\text{et}\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]


  1. $\begin{align} \big(5+\sqrt3\big)^2 & = 5^2 + 2\times5\times\sqrt3 + \big(\sqrt3\big)^2\\ & = 25 + 10\sqrt3 + 3\\ & = 28 + 10\sqrt3.\end{align}$

  2. $\begin{align} \big(7-\sqrt2\big)^2 & = 7^2 - 2\times7\times\sqrt2 + \big(\sqrt2\big)^2\\ & = 49 - 14\sqrt2 + 2\\ & = 51 - 14\sqrt2.\end{align}$

  3. $\begin{align} \big(-1+2\sqrt7\big)^2 & = (-1)^2 + 2\times(-1)\times2\sqrt7 + \big(2\sqrt7\big)^2\\ & = 1 - 4\sqrt7 + 2^2\big(\sqrt7\big)^2\\ & = 1 - 4\sqrt7 + 4\times7\\ & = 1 - 4\sqrt7 + 28\\ & = 29 - 4\sqrt7.\end{align}$

  4. $\begin{align} \big(-3-4\sqrt2\big)^2 & = \big[(-1)(3+4\sqrt2)\big]^2\\ & = (-1)^2\big(3+4\sqrt2\big)^2\\ & = \big(3+4\sqrt2\big)^2\\ & = 3^2 + 2\times3\times4\sqrt2 + \big(4\sqrt2\big)^2\\ & = 9 + 24\sqrt2 + 4^2\big(\sqrt2)^2\\ & = 9 + 24\sqrt2+16\times2\\ & = 9 + 24\sqrt2 + 32\\ & = 41 + 24\sqrt2.\end{align}$

On appelle expression conjuguée de $a+b\sqrt{n}$ le nombre $a-b\sqrt{n}$.

En utilisant l'expression conjuguée du dénominateur, écrire les fractions suivantes de sorte qu'il n'y ait plus de racine carrée au dénominateur.

  1. $\dfrac{5}{1+\sqrt2}$
  2. $\dfrac{8}{3-\sqrt7}$
  3. $\dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}$
  4. $\dfrac{5+2\sqrt2}{3-\sqrt2}$


  1. $\begin{align} \dfrac{5}{1+\sqrt2} & = \dfrac{5\big(1-\sqrt2\big)}{\big(1+\sqrt2\big)\big(1-\sqrt2\big)}\\ & = \dfrac{5\big(1-\sqrt2\big)}{1^2 - \big(\sqrt2\big)^2} = \dfrac{5\big(1-\sqrt2\big)}{1-2}\\ & = \dfrac{5\big(1-\sqrt2\big)}{-1}\\ \dfrac{5}{1+\sqrt2} & = -5\big(1-\sqrt2\big).\end{align} $

    L'intérêt de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression conjuguée de son dénominateur est de faire apparaître en bas (au dénominateur) une identité de la forme $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, qui supprime la racine carrée (en élevant au carré), rendant ainsi le dénominateur entier.


  2. $\begin{align} \dfrac{8}{3-\sqrt7} & = \dfrac{8\big(3+\sqrt7\big)}{\big(3-\sqrt7\big)\big(3+\sqrt7\big)}\\ & = \dfrac{8\big(3+\sqrt7\big)}{3^2 - \big(\sqrt7\big)^2}\\ & = \dfrac{8\big(3+\sqrt7\big)}{9-7}\\ & = \dfrac{8\big(3+\sqrt7\big)}{2}\\ \dfrac{8}{3-\sqrt7} & = 4\big(3 + \sqrt7\big).\end{align}$

  3. $\begin{align} \dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3} & = \dfrac{\big(1-\sqrt3\big)\big(1-\sqrt3\big)}{\big(1+\sqrt3\big)\big(1-\sqrt3\big)}\\ & = \dfrac{\big(1-\sqrt3\big)^2}{1^2 - \big(\sqrt3\big)^2}\\ & = \dfrac{\big(1-\sqrt3\big)^2}{1-3}\\ & = \dfrac{\big(1-\sqrt3\big)^2}{-2}\\ & = \dfrac{1^2 - 2\times1\times\sqrt3+\big(\sqrt3\big)^2}{-2}\\ & = \dfrac{1-2\sqrt3+3}{-2}\\ & = \dfrac{4-2\sqrt3}{-2}\\ & = \dfrac{-2(-2+\sqrt3)}{-2}\\ \dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3} & = -2+\sqrt3.\end{align}$

  4. $\begin{align} \dfrac{5+2\sqrt2}{3-\sqrt2} & = \dfrac{\big(5+2\sqrt2\big)\big(3+\sqrt2\big)}{\big(3-\sqrt2\big)\big(3+\sqrt2\big)}\\ & = \dfrac{5\times3 + 5\times\sqrt2 + 2\sqrt2\times3 + 2\sqrt2\times\sqrt2}{3^2 - \big(\sqrt2\big)^2}\\ & = \dfrac{15+5\sqrt2+6\sqrt2+4}{9-2}\\ \dfrac{5+2\sqrt2}{3-\sqrt2} & = \dfrac{19+11\sqrt2}{7}\end{align}$
    1. Ecrire $\big(7 - 3\sqrt2\big)^2$ sous la forme $a+b\sqrt2$, où $a$ et $b$ sont deux entiers.
    2. Quel est le signe de $7-3\sqrt2$ ?
    3. En déduire une autre écriture du nombre $\sqrt{67-42\sqrt2}$.
    1. Ecrire $\big(1 - 5\sqrt3\big)^2$ sous la forme $a+b\sqrt3$, où $a$ et $b$ sont deux entiers.
    2. Quel est le signe de $1-5\sqrt3$ ?
    3. En déduire une autre écriture du nombre $\sqrt{76-10\sqrt3}$.

    1. Pour développer $\big(7 - 3\sqrt2\big)^2$, on utilise l'identité remarquable: \[ (a-b)^2 = a^2-2ab + b^2 \] en prenant $a=7$ et $b=3\sqrt2$, ce qui donne: \[ \begin{align} \big(7 - 3\sqrt2\big)^2 & = 7^2 - 2 \times 7 \times 3\sqrt2 + \big(3\sqrt2)^2\\ & = 49 - 42\sqrt2 + 3^2\big(\sqrt2\big)^2\\ & = 49-42\sqrt2+9\times2\\ & = 49-42\sqrt2+18\\ \big(7 - 3\sqrt2\big)^2 & = 67 - 42\sqrt2.\end{align} \]

    2. On cherche à trouver le signe de $7-3\sqrt2$.

      On sait que $2 < 4$ donc $\sqrt2 < \sqrt4$, c'est-à-dire $\sqrt2 < 2$. En multipliant par $-3$, on obtient: \[ -3\sqrt2 > -3\times2\qquad\text{soit}\qquad -3\sqrt2 > -6 \] et en ajoutant 7, on arrive à: \[ 7-3\sqrt2 > 1 \] donc $7-3\sqrt2 > 0$.

    3. Du calcul de la question 1(a), on déduit: \[ \sqrt{\big(7 - 3\sqrt2\big)^2} = \sqrt{67 - 42\sqrt2}. \] Or, $7-3\sqrt2 > 0$ donc $\sqrt{\big(7 - 3\sqrt2\big)^2}=7-3\sqrt2$.

      Finalement, on obtient: \[ \boxed{\sqrt{67 - 42\sqrt2} = 7-3\sqrt2} \]

    1. On a: \[ \begin{align} \big(1 - 5\sqrt3\big)^2 & = 1^2 - 2 \times 1 \times 5\sqrt3 + \big(5\sqrt3\big)^2\\ & = 1-10\sqrt3 + 25\times3\\ \big(1 - 5\sqrt3\big)^2 & = 76 - 10\sqrt3.\end{align} \]
    2. Il est assez flagrant que $5\sqrt3 > 1$ donc $1-5\sqrt3 < 0$.
    3. De la question 2(a), on déduit: \[ \sqrt{\big(1 - 5\sqrt3\big)^2} = \sqrt{76 - 10\sqrt3}. \] Or, $1-5\sqrt3<0$ donc $\sqrt{\big(1 - 5\sqrt3\big)^2}=|1-5\sqrt3|=5\sqrt3-1$. Ainsi, \[ \boxed{5\sqrt3-1 = \sqrt{76 - 10\sqrt3}} \]

Puissances

Simplifier les expressions suivantes.

  1. $A=\big( 2^3 \times 3^3 \big)^2$
  2. $B=\dfrac{3^2}{3^{-8}}$
  3. $C=\left( \dfrac{5^2 \times 5^3}{5^4} \right)^{-1}$

  1. $A=\big( 2^3 \times 3^3 \big)^2 = 2^{3\times2} \times 3^{3\times 2} = 2^6 \times 3^6 = (2\times3)^6 = \boxed{ 6^6 }$.
  2. $B=\dfrac{3^2}{3^{-8}} = 3^{2-(-8)} = 3^{2+8} = \boxed{ 3^{10} }$.
  3. $C=\left( \dfrac{5^2 \times 5^3}{5^4} \right)^{-1} = \left(\dfrac{5^{2+3}}{5^4}\right)^{-1}=\big(5^{5-4}\big)^{-1}=\boxed{ 5^{-1}=\dfrac{1}{5} }$.

Simplifier les expressions suivantes.

  1. $A=\big( 2,1^3 \times 3,1^3 \big)^2$
  2. $B=\dfrac{3,7^2}{3,7^{-8}}$
  3. $C=\left( \dfrac{5,4^2 \times 5,4^3}{5,4^4} \right)^{-1}$

  1. $A=\big( 2,1^3 \times 3,1^3 \big)^2 = 2,1^{3\times2} \times 3,1^{3\times 2} = 2,1^6 \times 3,1^6 = (2,1\times3,1)^6 = \boxed{ 6,51^6 }$.
  2. $B=\dfrac{3,7^2}{3,7^{-8}} = 3,7^{2-(-8)} = 3,7^{2+8} = \boxed{ 3,7^{10} }$.
  3. $C=\left( \dfrac{5,4^2 \times 5,4^3}{5,4^4} \right)^{-1} = \left(\dfrac{5,4^{2+3}}{5,4^4}\right)^{-1}=\big(5,4^{5-4}\big)^{-1}=\boxed{ 5,4^{-1} }$.

Donner l'écriture scientifique des nombres suivants.

  1. 718
  2. 0,718
  3. 0,00718
  4. $548,78\times10^6$
  5. $0,012\times10^{-3}$
  6. $0,000666\times10^{28}$

  1. $718 = \boxed{ 7,18 \times 10^2 }$
  2. $0,718 = \boxed{ 7,18 \times 10^{-1} }$
  3. $0,00718=\boxed{7,18\times10^{-3}}$
  4. $548,78\times10^6 = \big(5,48\times10^2\big)\times10^6=\boxed{5,48\times10^8}$
  5. $0,012\times10^{-3} = \big(1,2\times10^{-2}\big)\times10^{-3}=\boxed{1,2\times10^{-5}}$
  6. $0,000666\times10^{28}= \big(6,66\times10^{-4}\big)\times10^{28}=\boxed{6,66\times10^{24}}$

La distance de la Terre à la Lune est égale à 384400 km.

En supposant que l'épaisseur d'un billet de 100 € est 0,1 millimètre, calculer le nombre de billets de 100 € à empiler pour atteindre cette distance.

La question revient à se demander: combien de fois peut-on mettre 0,1 millimètre dans 384400 km. L'opération à faire est donc une division, mais à condition de mettre les deux nombres dans la même unité.

Exprimons tout en millimètre par exemple.

  • 0,1 millimètre = $10^{-1}$ millimètre.
  • $384400 km = 384400 \times 1000 m = 384400 \times 1000 \times 1000 mm = 3,844 \times 10^{8} mm$.

Le nombre de billets à empiler afin que l'épaisseur totale soit égale à 384400 km est donc égale à: \[ \dfrac{3,844\times10^8}{10^{-1}}=3,844\times10^8\times10^1=3,844\times10^9. \] Il en faudrait donc 3844000000 (3 milliards 844 millions).

Une capture d'écran de calculatrice a été faite:

Écrire le résultat à l'aide d'une puissance de 10.

L'affichage « 1.22915E12 » signifie que le résultat de l'opération est égal à $1,22915\times10^{12}$.

Soient $x$ un nombre réel et $n$ un entier relatif.

Écrire les expressions suivantes sous la forme $x^p$ où $p$ est un entier relatif.

  1. $\dfrac{x^{2n+7}}{\big(x^n\big)^5}$
  2. $\dfrac{x^{3n}\times x^{7}}{x \times x^{7n}}$
  3. $\dfrac{x^{n+1}}{x^{4n-3}}$

  1. $\dfrac{x^{2n+7}}{\big(x^n\big)^5} = \dfrac{x^{2n+7}}{x^{5n}} = x^{2n+7-5n} = \boxed{x^{-3n+7}}$
  2. $\dfrac{x^{3n}\times x^{7}}{x \times x^{7n}} = \dfrac{x^{3n+7}}{x^{1+7n}} = x^{3n+7-(1+7n)} = x^{3n+7-1-7n} = \boxed{x^{-4n+6}}$
  3. $\dfrac{x^{n+1}}{x^{4n-3}} = x^{n+1-(4n-3)} = x^{n+1-4n+3} = \boxed{x^{-3n+4}}$

Le tableau ci-dessous donne la masse des planètes de notre système solaire.

Nom de la planète Masse en kg
Mercure $3,302 \times 10^{23}$
Vénus$4,869 \times 10^{24}$
Terre $5,974 \times 10^{24}$
Mars$6,419 \times 10^{23}$
Jupiter $1,899 \times 10^{27}$
Saturne$5,685 \times 10^{26}$
Uranus$8,663 \times 10^{25}$
Neptune$1,028 \times 10^{26}$

Classez ces planètes de la plus légère à la plus lourde.

On regarde d'abord les puissances de 10:

  • Exposant 23: Mercure ($3,302 \times 10^{23}$), Mars ($6,419 \times 10^{23}$);
  • Exposant 24: Vénus ($4,869 \times 10^{24}$), Terre ($5,974 \times 10^{24}$);
  • Exposant 25: Uranus ($8,663 \times 10^{25}$);
  • Exposant 26: Saturne ($5,685 \times 10^{26}$), Neptune ($1,028 \times 10^{26}$);
  • Exposant 27: Jupiter ($1,899 \times 10^{27}$).

Dans chaque catégorie, on met dans l'ordre croissant les coefficients des puissances de 10.

Par exemple, $3,302 < 6,419$ donc $3,302 \times 10^{23} < 6,419 \times 10^{23}$.

On obtient alors:

Mercure $<$ Mars $<$ Vénus $<$ Terre $<$ Uranus $<$ Neptune $<$ Saturne $<$ Jupiter

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