Définition

Introduction

On considère le programme de calcul suivant :

Choisir un nombre
l'élever au carré
soustraire 7

Si on note $x$ le nombre choisi au départ, ce programme donne à la fin le nombre $x^2-7$.

Si on décide de noter $r(x)$ le résultat (dépendant du nombre de départ $x$) alors : \[ r(x)=x^2-7. \] Si on avait noté $a$ le nombre de départ et $f(a)$ le nombre final obtenu (dépendant de $a$), alors on aurait noté: \[ f(a)=a^2-7. \] Ce qui compte est l'expression qui permet d'obtenir le nombre final en fonction du nombre de départ.

On dit qu'à tout nombre réel $x$, ce programme associe le nombre $x^2-7$, et on note : \[ x \longmapsto x^2-7. \] Il y a donc deux notations pour désigner le fait qu'un nombre est transformé en un autre.

Cette transformation est appelée une fonction.

Définition mathématique

Soit $x$ un nombre réel.

On appelle fonction toute opération sur $x$ qui le transforme en un autre nombre.

Si on note $f$ cette fonction alors le nombre final est noté $f(x)$.

$x$ est appelé un antécédent de $f(x)$.

$f(x)$ est appelé l'image de $x$ par la fonction $f$.

On note alors: \[ f\;:\;x\longmapsto f(x) \]

Ensemble de définition et ensemble image

Ensemble de définition

Soit $f$ une fonction.

L'ensemble de définition de $f$ (aussi appelé domaine de définition) est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe.

On le note en général $\mathcal{D}_f$.

Si $f\;:\;x\longmapsto x^2-7$ alors $\mathcal{D}_f=\R$ car on peut calculer $x^2-7$ pour toutes les valeurs réelles de $x$.
Si $g\;:\;x\longmapsto\dfrac{1}{x-1}$ alors $\mathcal{D}_g=\R\setminus\{1\}$ car on peut toujours calculer $\dfrac{1}{x-1}$ sauf si $x=1$ (car il est impossible de diviser par 0)

Ensemble image

Soit $f$ une fonction dont le domaine de définition est $\mathcal{D}_f$.

On appelle ensemble image de $f$ l'ensemble de toutes les valeurs que prend $f(x)$ pour $x\in\mathcal{D}_f$.

Soit $f\;:\;x\longmapsto x^2-7$. On sait que pour tout $x$ réel, $x^2\geqslant0$ donc $x^2-7\geqslant-7$.

De plus, $x$ pouvant prendre des valeurs de plus en plus grandes, $x^2$ peut aussi prendre des valeurs de plus en plus grandes, donc il n'y a pas de limite supérieure à $x^2$, donc à $x^2-7$ (on dit que $x^2-7$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ et quand $x$ tend vers $-\infty$).

Ainsi, l'ensemble image de $f$ est $\intervFO{-7}{+\infty}$.

Trouver l'ensemble image d'une fonction n'est pas immédiat. Il sera très souvent nécessaire d'étudier la fonction. C'est l'objet du reste de ce chapitre.

Représentation graphique

Tableau de valeurs

On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I=\intervFF{a}{b}$ de $\R$.

On appelle tableau de valeurs de $f$ un tableau constitué de deux lignes:

sur la 1^re, sont reportées plusieurs valeurs de $x$ comprises entre $a$ et $b$;
sur la 2^ème, sont reportées les images des valeurs de $x$ de la 1^ère ligne.

Le pas des valeurs de $x$, c'est-à-dire la différence entre chaque valeur de $x$, est arbitraire: c'est nous qui le choisissons selon le contexte dans lequel nous sommes.

Soit $f\;:\;x\longmapsto x^2-7$. Un tableau de valeurs de $f$ sur $\intervFF{-5}{5}$ est:

\begin{array}{|c|*{11}{c|}} \hline x & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline f(x) & 18 & 9 & 2 & -3 & -6 & -7 & -6 & -3 & 2 & 9 & 18\\ \hline \end{array}

Ici, j'ai pris la décision (ça n'a pas été simple, mais j'y suis tout de même arrivé...) de prendre un pas égal à 1 pour les valeurs de $x$, c'est-à-dire que je suis parti de la plus petite valeur de $x$ permise (donc $x=-5$ car la fonction est définie sur $\intervFF{-5}{5}$) et j'ai avancé en ajoutant 1 à chaque fois, jusqu'à arriver à la plus grande valeur de $x$ permise, donc jusqu'à $x=5$.

Pour chaque valeur de $x$, j'ai calculé $f(x)$ (donc $f(-5)$, $f(-4)$, $f(-3)$, ... jusqu'à $f(5)$).

Courbe représentative

Soit $f$ une fonction définie sur son domaine de définition $\mathcal{D}_f$.

On appelle courbe représentative de $f$ dans un repère cartésien l'ensemble de tous les points de coordonnées $\coord{x}{f(x)}$, pour $x\in\mathcal{D}_f$.

courbe représentative

On a représenté ci-contre la courbe représentative de la fonction: \[ f\;:\;x\mapsto x^2-7 \] Pour tracer cette courbe, on s'aide du tableau de valeurs établi précédemment en mettant dans le repère les points de coordonnées $\coord{-5}{18}$, $\coord{-4}{9}$, ..., $\coord{5}{18}$.

On les relie ensuite de sorte à ce que la courbe finale ne soit pas trop rectiligne.

La définition de la courbe représentative d'une fonction est très importante. En effet, elle nous permet de savoir l'ordonnée d'un de ses points si on en connaît l'abscisse.

Par exemple, sur la fonction $f\;:\:x\mapsto x^2-7$, on sait que le point de la courbe représentative de $f$ d'abscisse $x=2,5$ a pour ordonnée $y=f(2,5)=2,5^2-7=-0,75$.

La courbe représentative d'une fonction ne « retourne pas en arrière »; autrement dit, pour un $x$ donné, il n'y a qu'un seul point sur la courbe dont l'abscisse vaut $x$. Par exemple, le cercle suivant n'est pas la courbe représentative d'une fonction car pour l'abscisse $x$ indiquée, il y a deux points sur le cercle dont l'abscisse est $x$:

Variations d'une fonction

Sens de variation

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$. On considère deux nombres $a$ et $b$ quelconques dans $I$ tels que $a < b$.

On dit que $f$ est strictement croissante sur I si $f(a) < f(b)$.
On dit que $f$ est strictement décroissante sur I si $f(a) > f(b)$.
On dit que $f$ est constante sur I si $f(a)=f(b)$.

Si $f$ est strictement croissante sur un intervalle $I$ alors les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents.
Si $f$ est strictement décroissante sur un intervalle $I$ alors les images sont rangées dans l'ordre inverse des antécédents.
Une fonction constante sur un intervalle $I$ sera représentée par une droite (ou segment si l'intervalle est fini) horizontale :

Tableau de variations

Soit $f$ une fonction définie sur un domaine de définition $\mathcal{D}_f$.

Le tableau de variations de $f$ sur $\mathcal{D}_f$ est un tableau comportant deux lignes:

sur la 1^ère sont reportées toutes les valeurs de $x$ importantes (bornes du domaine de définition, valeurs interdites de la fonction, valeurs de $x$ où la fonction change de sens de variation);
sur la 2^ème sont représentées les variations de $f$ (une flèche montante quand $f$ est croissante, une flèche descendante quand $f$ est décroissante), ainsi éventuellement que la donnée de certaines images.

D'après la courbe représentative de la fonction $f\;:\;x\mapsto x^2-7$ donnée dans l'exemple "courbe représentative", ainsi que du tableau de valeurs de cette fonction, on peut dresser le tableau de variations suivant:

Minimum et maximum

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$.

On appelle minimum de $f$ sur $I$ la plus petite valeur atteinte par $f(x)$ pour $x\in I$.
On appelle maximum de $f$ sur $I$ la plus grande valeur atteinte par $f(x)$ pour $x\in I$.

D'après le tableau de variations précédent,

le minimum de la fonction $f\;:\;x\mapsto x^2-7$ sur $\intervFF{-5}{5}$ est $-7$;
le maximum de la fonction $f\;:\;x\mapsto x^2-7$ sur $\intervFF{-5}{5}$ est $18$.

Fonctions paires, fonctions impaires

Fonctions paires

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathcal{D}_f$.

On dit que $f$ est paire si:

$\forall x\in\mathcal{D}_f,\ -x\in\mathcal{D}_f$;
$f(-x)=f(x)$.

La fonction $f\;:\;x\mapsto x^2-7$ est paire car son domaine de définition est $\R$ (donc pour tout $x\in\R$, $-x\in\R$) et: \[ f(-x)=(-x)^2-7=x^2-7=f(x). \]

Si une fonction $f$ est paire alors, dans un repère orthogonal, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

En effet, on a la situation suivante:

$f$ est paire donc $f(x_1)=f(-x_1)$, $f(x_2)=f(-x_2)$, $f(x_3)=f(-x_3)$, etc.

Les points sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées

Fonctions impaires

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathcal{D}_f$.

On dit que $f$ est impaire si:

$\forall x\in\mathcal{D}_f,\ -x\in\mathcal{D}_f$;
$f(-x)=-f(x)$.

La fonction $f\;:\;x\mapsto x^3+x$ est impaire car son domaine de définition est $\R$ (donc pour tout $x\in\R$, $-x\in\R$) et: \[ f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x). \]

Si une fonction $f$ est impaire alors, dans un repère orthogonal, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine.

$f$ est impaire donc $f(-x_1)=-f(x_1)$, $f(-x_2)=-f(x_2)$, $f(-x_3)=-f(x_3)$, etc.

Les points sont symétriques par rapport à l'origine du repère.

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Exercices

Notion de fonctions

Dans chacune des situations suivantes, donner l'expression de la fonction associée.

Soit $ABCD$ un carré de côté $x$. $p$ est la fonction qui à $x$ associe le périmètre de $ABCD$.
Soit $ABCD$ un carré de côté $x$. $\mathcal{A}$ est la fonction qui à $x$ associe l'aire de $ABCD$.
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=10$ et $AC=x$. $f$ est la fonction qui à $x$ associe l'aire de $ABC$.
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=10$ et $AC=x$. $c$ est la fonction qui à $x$ associe la longueur $BC$.

Le périmètre d'un carré de côté $x$ est égal à $4x$. Donc: \[ \boxed{p\;:\;x\mapsto 4x\qquad\text{ou}\qquad p(x)=4x.} \]
L'aire d'un carré de côté $x$ est égale à $x^2$. Donc: \[ \boxed{\mathcal{A}\;:\;x\mapsto x^2\qquad\text{ou}\qquad \mathcal{A}(x)=x^2.} \]
L'aire de $ABC$ est égale à $\dfrac{AB \times AC}{2}$ car il est rectangle en $A$. \[ \dfrac{AB \times AC}{2}=\dfrac{10 \times x}{2}=5x. \] Donc: \[ \boxed{f\;:\;x\mapsto 5x\qquad\text{ou}\qquad f(x)=5x.} \]
D'après le théorème de Pythagore, \[ BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{10^2+x^2}=\sqrt{100+x^2}. \] Donc: \[ \boxed{c\;:\;x\mapsto \sqrt{100+x^2}\qquad\text{ou}\qquad c(x)=\sqrt{100+x^2}.} \]

Pour chacune des questions suivantes, exprimer $f(x)$ sous sa forme la plus simple, puis donner son domaine de définition.

Un complexe sportif est composé de plusieurs activités. Pour pouvoir y avoir accès, on doit payer un droit d'entrée de 5 € puis payer 2 € par heure.

$f(x)$ représente le prix à payer pour $x$ heures.
$f(x)$ représente l'aire hachurée dans le carré $ABCD$ suivant :
$f(x)$ représente l'aire du triangle $ABC$ inscrit dans le cercle de diamètre $[AB]$ :
On choisit un nombre $x$. $f(x)$ représente alors la différence entre le carré de son précédent et celui de son suivant.
$f(x)$ représente l'aire du domaine blanc de la figure suivante, où O est le centre du cercle de rayon 3 et $A$ le centre du cercle de rayon $x$ :

$f(x)=5+2x$. Son domaine de définition est $\intervFO{0}{+\infty}$ car $x$ ne peut pas être négatif (vu que $x$ représente un nombre d'heures).
- L'aire du carré $ABCD$ est : 9.
- L'aire des triangles $MBO$ et $NCO$ est : $\dfrac{x(3-x)}{2}$.
- L'aire du trapèze $AMND$ est la somme des aires des figures rouge clair et verte : \[ 3x+ \dfrac{3(3-2x)}{2}=\dfrac{6x+9-6x}{2}=\dfrac{9}{2} \] (soit la moitié de l'aire du carré $ABCD$... coïncidence ? Je ne crois pas...)
L'aire du triangle MON est donc : \[ f(x)=9-\dfrac{9}{2}-2\times\dfrac{x(3-x)}{2}=\dfrac{9}{2}-x(3-x)=x^2-3x+\dfrac{9}{2}. \] Son domaine de définition est $\intervFF{0}{3}$ car $x$ ne peut pas être négatif ni plus grand que la mesure d'un côté de ABCD.
Le triangle ABC est rectangle en C donc : \[ \cos x=\dfrac{AC}{5}\qquad ; \qquad \sin x=\dfrac{BC}{5} \] donc $AC=5\cos x$ et $BC=5\sin x$.

L'aire de ABC est donc $f(x)=\dfrac{AC\times BC}{2} = \dfrac{25}{2}\sin x\cos x$.

$x$ étant un angle aigu, le domaine de définition de $f$ est $\intervOO{0}{90}$, si $x$ est exprimé en degrés.
Le carré du précédent de $x$ est $(x-1)^2$.

Le carré du suivant de $x$ est $(x+1)^2$.

Ainsi, $f(x)=(x-1)^2-(x+1)^2=-4x$. C'est une fonction linéaire dont le domaine de définition est $\R$.
L'aire du disque de rayon 3 est : $9\pi$ (formule : $\pi \times r^2$).

L'aire du disque de rayon $x$ est : $\pi x^2$.

L'aire du « petit disque » est : $(3-x)^2\pi$.

Ainsi, l'aire blanche est : \begin{align} 9\pi-\pi x^2 - (3-x)^2\pi & = \big[9-x^2-(9-6x+x^2)\big]\pi\\ & = (6x-2x^2)\pi\\ f(x) & = 2x(3-x)\pi. \end{align}

Le domaine de définition de $f$ est $\intervFF{0}{3}$.

Soit $f$ une fonction impaire telle que $f(0)$ existe.

Montrer que $f(0)=0$.

$f$ est impaire donc pour tout $x$ de son domaine de définition, $f(-x)=-f(x)$.

$f(0)$ existe donc, en remplaçant $x$ par $0$ dans l'égalité $f(-x)=-f(x)$, on a les équivalences suivantes: \begin{align} f(-0)=-f(0) & \iff f(0)=-f(0)\\ & \iff f(0)+f(0)=0\\ & \iff 2f(0)=0\\ & \iff \dfrac{2f(0)}{2}=\dfrac{0}{2}\\ & \iff f(0)=0. \end{align}

Domaine de définition et tableau de valeurs

Pour chacune des fonctions suivantes, trouver leur domaine de définition.

$f_1\;:\;x\mapsto\dfrac{1}{x-8}$
$f_2\;:\;x\mapsto\dfrac{1}{x^2-4}$
$f_3\;:\;x\mapsto\sqrt{x-7}$
$f_4\;:\;x\mapsto\sqrt{x^2+1}$
$f_5\;:\;x\mapsto x^2-5x+1$
$f_6\;:\;x\mapsto\sqrt{\dfrac{-8}{x-1}}$

$f_1\;:\;x\mapsto\dfrac{1}{x-8}$ est définie pour toutes les valeurs de $x$ sauf quand $x-8=0$ car le dénominateur d'une fraction ne peut pas être égal à 0.

Or $x-8=0\iff x=8$; donc il faut enlever « 8 » à l'ensemble des nombre réels pour que $f_1(x)$ existe.

Donc $\mathcal{D}_{f_1}=\R\setminus\{8\}$.
$f_2\;:\;x\mapsto\dfrac{1}{x^2-4}$ est définie pour toutes les valeurs de $x$ sauf pour les valeurs telles que $x^2-4=0$.

Or, $x^2-4=0\iff (x-2)(x+2)=0\iff x=2\text{ ou }x=-2$.

On doit donc enlever à $\R$ les valeurs $-2$ et 2.

Donc $\mathcal{D}_{f_2}=\R\setminus\{-2~;2\}$.
$f_3\;:\;x\mapsto\sqrt{x-7}$ est définie uniquement si $x-7\geqslant0$, donc si $x\geqslant7$.

Ainsi, $\mathcal{D}_{f_3}=\intervFO{7}{+\infty}$.
$f_4\;:\;x\mapsto\sqrt{x^2+1}$ est définie uniquement si $x^2+1\geqslant0$. Or, pour toutes les valeurs de $x$ réelles, $x^2\geqslant0$ donc $x^2+1\geqslant1$. Donc $f_4(x)$ existe toujours, quelle que soit la valeur de $x$.

Donc $\mathcal{D}_{f_4}=\R$.
$f_5\;:\;x\mapsto x^2-5x+1$ est définie pour toutes les valeurs que $x$ peut prendre car on peut toujours calculer $x^2-5x+1$.

Donc $\mathcal{D}_{f_5}=\R$.
$f_6\;:\;x\mapsto\sqrt{\dfrac{-8}{x-1}}$ est définie uniquement si $\dfrac{-8}{x-1}\geqslant0$ et si $x-1\neq0$, c'est-à-dire si $x-1<0$, soit $x<1$.

Donc $\mathcal{D}_{f_6}=\intervOO{-\infty}{1}$.

En sciences physiques, la loi d'Ohm dit que la tension $U$ (en volts) entre les bornes d'un résistor de résistance $R$ est égale au produit de l'intensité du courant électrique $I$ (en ampères) et de la valeur de $R$: $U = R \times I$.

Si l'intensité reste constamment égale à 5 ampères, quelle est la fonction $f(R)$ donnant la tension en fonction de la résistance ?
Construire un tableau de valeurs de la fonction $f$ sur $\intervFF{1}{10}$ avec un pas de 1.
Construire la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

$f(R)=U=RI=5R$ d'après la loi d'Ohm.
Tableau de valeurs de la fonction $f$ sur $\intervFF{1}{10}$ avec un pas de 1: \begin{array} {|c|*{10}{c|}} \hline R & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ \hline f(R) & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 & 45 & 50\\ \hline \end{array}

C'est un tableau de proportionnalité de coefficient de proportionnalité égal à 5.
Courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé:

On reconnaît ici la représentation d'une fonction linéaire: c'est une droite qui passe par l'origine du repère.

À l'aide de votre calculatrice, compléter le tableau de valeurs donné pour chaque fonction.

$f(x)=x^2-3x+6$.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline f(x) & & & & & & & & & & & \\ \hline\end{array}
$g(x)=\dfrac{1}{x-3}$.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 2,25 & 2,5 & 2,75 & 3,25 & 3,5 & 3,75 & 4 & 5 & 6\\ \hline g(x) & & & & & & & & & & & & & \\ \hline\end{array}
$h(x)=\sqrt{4-x^2}$.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1,5 & -1 & -0,5 & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2\\ \hline h(x) & & & & & & & & & \\ \hline \end{array}

Sur CASIO, appuyer sur la touche [MENU], puis appuyer sur la touche [7] (ou sélectionner [TABLE]).

Ensuite, entrer l'expression de chaque fonction en Y1, Y2 et Y3. Noter que la touche [X,$t$,$\theta$,$n$] est à utiliser pour la variable X. Valider en appuyant sur la touche [EXE].

Pour construire le tableau de valeurs d'une fonction, positionnez-vous sur la ligne correspondant à la fonction souhaitée, puis appuyer sur la touche [F5] (SET) pour paramétrer la valeur initiale et la valeur finale de $x$, en précisant le pas (Step).

Sur TI, appuyer sur la touche [$f(x)$] pour rentrer l'expression des fonctions en Y1, Y2 et Y3. Noter que la touche [X,$t$,$\theta$,$n$] est à utiliser pour la variable X. Valider en appuyant sur la touche [ENTRER].

Pour paramétrer le tableau de valeurs, appuyer sur [2nd]+[F4] (afin de sélectionner "TblSet").

Sur NUMWORKS, c'est bien plus simple: après avoir entré l'expression de la fonction (en choisissant « Fonctions » dans le menu principal, sélectionner « Afficher les valeurs » et aller sur « Régler l'intervalle » au-dessus du tableau.

Ici, pour la CASIO, on entrera :
- Start: $-5$
- End: 5
- Step: 1
Pour la T.I., on entrera :
- TblStart : $-5$
- $\Delta$tbl : 1
On obtient :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline f(x) & 46 & 34 & 24 & 16 &10 &6 &4 &4 &6 &10 &16 \\ \hline \end{array}
Ici, pour la CASIO, on entrera :
- Start: $-1$
- End: 6
- Step: 0.25
Pour la T.I., on entrera :
- TblStart : $-1$
- $\Delta$tbl : 0.25
On obtient :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 & 2,25 & 2,5 & 2,75 & 3,25 & 3,5 & 3,75 & 4 & 5 & 6\\ \hline g(x) & -0,25 & -0,333 & -0,5 & -1 & -1,333 & -2 & -4 &4 &2 &1,333 &1 &0,5 &0,333 \\ \hline \end{array}
Ici, pour la CASIO, on entrera :
- Start: $-2$
- End: 2
- Step: 0.5
Pour la T.I., on entrera :
- TblStart : $-2$
- $\Delta$tbl : 0.5
On obtient :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1,5 & -1 & -0,5 & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2\\ \hline h(x) & 0&1,323 &1,732 & 1,936&2 &1,936 &1,732 &1,323 & 0 \\ \hline \end{array}

Soit $f$ une fonction et soit $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

Pour chacune des fonctions suivantes, dire si le point A (dont les coordonnées sont données à chaque fois) appartient ou non à $\mathcal{C}_f$.

$f(x)=-5x+2$, $A\coord{-1}{7}$
$f(x)=x^2+x+1$, $A\coord{-2}{3}$
$f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$, $A\coord{2}{0,25}$
$f(x)=\sqrt{x^2+1}$, $A\coord{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Pour voir si un point appartient à la courbe représentative d'une fonction $f$, on doit vérifier si son ordonnée est égale à l'image de son abscisse par la fonction $f$; autrement dit, \[ M\coord{x}{y}\in\mathcal{C}_f \iff y=f(x). \]

$f(x)=-5x+2$, $A\coord{-1}{7}$.

$f(-1)=-5\times(-1)+2=5+2=7=y_A$. Donc A$\in\mathcal{C}_f$.
$f(x)=x^2+x+1$, $A\coord{-2}{3}$.

$f(-2)=(-2)^2+(-2)+1=4-2+1=2+1=3=y_A$ donc A$\in\mathcal{C}_f$.
$f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$, $A\coord{2}{0,25}$.

$f(2)=\dfrac{1}{2^2+1}=\dfrac{1}{4+1}=\dfrac{1}{5}=0,2\neq y_A$. Donc A$\notin\mathcal{C}_f$.
$f(x)=\sqrt{x^2+1}$, $A\coord{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

$f\big(\sqrt{2}\big)=\sqrt{\sqrt{2}^2+1}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}=y_A$ donc A$\in\mathcal{C}_f$.

Soit $f(x)=-3x+2$.
1. Donner l'image des nombres $-1$, 0 et $\sqrt{2}$ par la fonction $f$.
2. $-1$ est-il un antécédent de 1 par la fonction $f$ ?
3. Trouver tous les antécédents de $-3$ par la fonction $f$.
Soit $g(x)=x^2-5x+2$.
1. Donner l'image des nombres $-1$, 1 et $\sqrt{2}$ par la fonction $g$.
2. $-2$ est-il un antécédent de 1 par la fonction $g$ ?
3. Donner tous les antécédents de 2 par la fonction $g$.

Soit $f(x)=-3x+2$.
1. Donner l'image des nombres $-1$, 0 et $\sqrt{2}$ par la fonction $f$.
  
  \[ f(-1)=-3\times(-1)+2=5\qquad;\qquad f(0)=-3\times0+2=2\qquad;\] \[ \underline{f\big(\sqrt{2}\big)=-3\sqrt{2}+2.} \]
2. $-1$ est-il un antécédent de 1 par la fonction $f$ ?
  
  $f(-1)=-3\times(-1)+2=3+2=5\neq1$.
  
  $-1$ n'est donc pas un antécédent de 1 par la fonction $f$.
3. Trouver tous les antécédents de $-3$ par la fonction $f$.
  
  Rechercher les antécédents de $-3$ par $f$ revient à trouver toutes les valeurs de $x$ telles que $f(x)=-3$. Il faut donc résoudre cette équation.
  
  \begin{align} f(x)=-3 & \Longleftrightarrow-3x+2=-3\\ & \Longleftrightarrow -3x=-5\\ & \Longleftrightarrow x=\dfrac{5}{3}. \end{align}
  
  Ainsi, le seul antécédent de $-3$ par $f$ est $\dfrac{5}{3}$.
$g(x)=x^2-5x+2$.
1. Donner l'image des nombres $-1$, 1 et $\sqrt{2}$ par la fonction $g$. \[ g(-1)=(-1)^2-5(-1)+2=8\qquad;\qquad g(1)=1^2-5\times1+2=-2\qquad;\] \[ g\big(\sqrt{2}\big)=\sqrt{2}^2-5\sqrt{2}+2=\underline{4-5\sqrt{2}}. \]
2. $-2$ est-il un antécédent de 1 par la fonction $g$ ?
  
  $g(-2)=(-2)^2-5(-2)+2=4+10+2=16\neq1$.
  
  $-2$ n'est donc pas un antécédent de 1 par $g$.
3. Donner tous les antécédents de 2 par la fonction $g$.
  
  \begin{align} g(x)=2 & \Longleftrightarrow x^2-5x+2=2\\ & \Longleftrightarrow x^2-5x=0\\ & \Longleftrightarrow x(x-5)=0\\ & \Longleftrightarrow x=0\text{ ou } x=5. \end{align}
  
  Les antécédents de 2 par $g$ sont donc 0 et 5.

Soit $f$ la fonction définie par: \[ f(x)=\frac{3x+2}{x-4}. \] On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Quel est le domaine de définition de $f$ ? Justifier votre réponse.
Calculer l'image de 2 par $f$, puis l'image de $-1$ par $f$.
Les points suivants sont-ils situés sur $\mathcal{C}$? Justifier votre réponse. \[ A\coord{0}{\frac{1}{2}}\qquad;\qquad B\coord{15}{4,27}\qquad;\qquad C\coord{\frac{1}{3}}{-\frac{9}{11}}. \]

Le nombre $f(x)$ est défini quand son dénominateur n'est pas égal à zéro.

Or, $x-4=0 \iff x=4$. Donc la fonction $f$ admet une valeur interdite: $x=4$.

Par conséquent, le domaine de définition de $f$ est : $\mathcal{D} = \R\setminus\{4\}$.
L'image de 2 par la fonction $f$ est: \[ f(2) = \frac{3\times2+2}{2-4}=\frac{8}{-2}=\boxed{-4} \] L'image de $-1$ par la fonction $f$ est: \[ f(-1)=\frac{3(-1)+2}{-1-4}=\frac{-1}{-5}=\boxed{\frac{1}{5}} \]
Un point de coordonnées $\coord{x}{y}$ appartient à $\mathcal{C}$ quand $y=f(x)$.
- $f(0)=\dfrac{3\times0+2}{0-4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$, donc $A\coord{0}{\dfrac{1}{2}} \in\mathcal{C}$.
- $f(15)=\dfrac{3\times15+2}{15-4}=\dfrac{47}{11}\approx4,272727\cdots \neq 4,27$, donc $B\coord{15}{4,27} \not\in\mathcal{C}$.
  
  Il faut que l'ordonnée du point soit exactement égale à l'image de son abscisse pour que le point appartienne à la courbe. Ici, l'image de 15 n'est pas exactement égale à 4,27, donc le point $B$ ne sera pas exactement sur la courbe, mais « juste à côté ».
- $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{3\times\tfrac{1}{3}+2}{\tfrac{1}{3}-4}=\dfrac{3}{\tfrac{-11}{3}}=\dfrac{-9}{11}$, donc $C\coord{\dfrac{1}{3}}{-\dfrac{9}{11}}\in\mathcal{C}$.

Tableau de variations

On considère la fonction $f$ définie sur \R par : \[ f(x)=\dfrac{1}{x-1} \] dont la courbe représentative dans un repère orthonormé (dessinée à l'aide d'un logiciel de tracé de courbes) est donnée ci-dessous.

Construire le tableau de variations de $f$ sur $\R$.

Avant de construire le tableau de variations de $f$, remarquons qu'il a été tracée une droite verticale en $x=1$. Cette droite ne fait pas partie de la courbe mais a été tracé par le logiciel automatiquement pour signifier qu'en $x=1$, il y a une valeur interdite. En effet, l'expression de la fonction montre que l'on divise par $x-1$ et que ce n'est pas possible de le faire quand $x-1=0$, soit quand $x=1$.

De plus, il semblerait que la courbe se rapproche de l'axe des abscisses aux infinis, donc que $f(x)$ se rapproche de 0 aux infinis.

Le tableau de variations de $f$ est donc le suivant :

On considère la fonction $f$ définie sur $\intervFF{-6}{5}$ dont le tableau de variations est le suivant :

Quel est le maximum de la fonction $f$ sur $\intervFF{-6}{5}$ ?
Quel est le minimum de la fonction $f$ sur $\intervFF{-6}{5}$ ?
Comparer $f(-5)$ et $f(-4)$. Justifier.
Peut-on comparer $f(-5)$ et $f(3)$ ? Justifier.
Peut-on comparer $f(-1)$ et $f(4)$ ? Justifier.

Le maximum de la fonction $f$ sur $\intervFF{-6}{5}$ est 5; il est atteint pour $x=-3$.
Le minimum de la fonction $f$ sur $\intervFF{-6}{5}$ est $-4$; il est atteint pour $x=5$.
$-6 < -5 < -4 < -3$. De plus, sur $\intervFF{-6}{-3}$, $f$ est strictement croissante donc $f(-6) < f(-5) < f(-4) < f(-3)$ (les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents quand la fonction est strictement croissante).

Ainsi, $f(-5) < f(-4)$.
$-6 < -5 < -3$ et $f$ est strictement croissante sur $\intervFF{-6}{-3}$ donc $f(-6) < f(-5) < f(-3)$, soit $2 < f(-5) < 5$.

De plus, $1 < 3 < 5$ et $f$ est strictement décroissante sur $\intervFF{1}{5}$ donc $f(1) > f(3) > f(5)$, soit $0 > f(3) > -4$, que l'on peut aussi écrire : $-4 < f(3) < 0$.

Donc $f(3)$ est négatif et $f(-5)$ est positif.

Ainsi, $f(-5) > f(3)$.
De la même manière, $-3 < f(-1) < 5$ et $-4 < f(4) < 0$. On ne peut donc pas comparer $f(-1)$ et $f(4)$ car les intervalles sur lesquels ils sont (à savoir $\intervOO{-3}{5}$ et $\intervOO{-4}{0}$) ne sont pas disjoints, c'est-à-dire que leur intersection n'est pas vide.

On considère la fonction $f$ définie sur $\intervFF{-6}{3}$ par : \[ f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{3}x^3+2x^2+1} \] dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.

Construire le tableau de variations de $f$ sur $\intervFF{-6}{3}$ en précisant les valeurs des extrema locaux (maximum et minimum dans cet intervalle).

Avant de construire le tableau de variations de $f$, calculons la valeur du minimum et du maximum:

il y a un maximum pour $x=-4$, et : \[ f(-4)=\sqrt{\dfrac{1}{3}\times(-4)^3+2\times(-4)^2+1}=\sqrt{-\dfrac{64}{3}+32+1}=\sqrt{\dfrac{35}{3}}. \]
il y a un minimum pour $x=0$ et $f(0)=1$.
$f(-6)=1$.
$f(3)=2\sqrt7$.

Le tableau de variations de $f$ est donc le suivant :

Résolution graphique d'équations et d'inéquations

On considère la fonction $f$ définie sur $\intervFF{-2}{2}$ représentée par la courbe ci-dessous :

À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes.

Résoudre l'équation : $f(x)=-1$ sur $\intervFF{-2}{2}$.
Résoudre l'inéquation : $f(x)\geqslant-1$ sur $\intervFF{-2}{2}$.
Résoudre l'inéquation : $f(x) < -2$ sur $\intervFF{-2}{2}$.

La droite horizontale passant par $y=-1$ coupe la courbe en 3 points d'abscisses respectives $-1$, 0 et 1. Ainsi, l'équation $f(x)=-1$ admet pour ensemble solution : \[ \boxed{S=\{-1~;0~;1\}} \]
Les parties de la courbe se trouvant au-dessus de la droite horizontale passant par $y=-1$ (ou sur cette droite) se trouvent respectivement sur $\intervFF{-2}{-1}$, $\intervFF{1}{2}$ et au point d'abscisse 0. L'inéquation $f(x)\geqslant-1$ admet donc pour ensemble solution : \[ \boxed{S=\intervFF{-2}{-1}\cup\{0\}\cup\intervFF{1}{2}} \]
La courbe n'est jamais sous la droite horizontale passant par $y=-2$ donc l'inéquation $f(x) < -2$ admet pour ensemble solution : \[ \boxed{S=\varnothing}\quad\text{(ensemble vide)} \]

On considère la fonction $f$ définie sur $\intervFF{-3}{3}$ représentée par la courbe ci-dessous :