Equations d'une droite

Dans ce chapitre, le plan est rapporté à un repère $\Rij$.

Equation réduite d'une droite

Soit $\mathcal{D}$ une droite du plan. On appelle équation réduite de $\mathcal{D}$ l'égalité: \[ y=mx+p\qquad,\qquad m\in\R,\ p\in\R \] où $M\coord{x}{y}$ est un point quelconque de $\mathcal{D}$.

$m$ est appelé le coefficient directeur de $\mathcal{D}$; on l'appelle aussi la pente de la droite.

$p$ est appelé l'ordonnée à l'origine de $\mathcal{D}$; c'est l'ordonnée du point d'intersection de $\mathcal{D}$ et de l'axe des ordonnées.

Soient $A\coord{x_A}{y_A}$ et $B\coord{x_B}{y_B}$ deux points du plan. L'équation de la droite $(AB)$ est $y=mx+p$, où: \[ m = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \] et \[ p=y_A-mx_A=y_B-mx_B. \]

Soient $A\coord{-1}{-3}$ et $B\coord{3}{5}$. Alors, l'équation réduite de $(AB)$ est $y=mx+p$ où : \[ m=\dfrac{5-(-3)}{3-(-1)}=\dfrac{8}{4}=2 \] et \[ p=y_B-mx_B=5-2\times3=-1. \] Ainsi, l'équation réduite de $(AB)$ est : $y=2x-1$.

si $m=0$ alors la droite est horizontale.
si $p=0$ alors la droite passe par l'origine du repère.

Equation cartésienne d'une droite

Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme : \[ ax+by+c=0 \] où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.

$3x-5y+2=0$ est une équation cartésienne d'une droite, où $a=3$, $b=-5$ et $c=2$.
$-4y+7=0$ est une équation cartésienne d'une droite, où $a=0$, $b=-4$ et $c=7$.
$3x+1=0$ est une équation cartésienne d'une droite, où $a=3$, $b=0$ et $c=1$.

Une équation cartésienne n'est pas unique (d'où l'article « une »).

En effet, $2x+2y+2=0 \iff x+y+1=0$ (en divisant tous les coefficients par 2).

interprétation d'une équation de droite

Qu'elle soit réduite ou cartésienne, une équation de droite représente toujours un lien entre les abscisses et les ordonnées des points de cette droite.

En écrivant $y=mx+p$, on signifie que n'importe quel point $M$ de la droite a pour ordonnée $mx+p$, où $x$ est son abscisse.

Ainsi, si on connaît l'abscisse d'un point de la droite, on peut connaître son ordonnée, et réciproquement.
En écrivant $ax+by+c=0$, on signifie que, quel que soit le point $M\coord{x}{y}$ sur la droite, on a nécessairement l'égalité $ax+by+c=0$.

On décrit ainsi, à l'aide d'une égalité (algébrique), un ensemble (géométrique).

C'est le français René Descartes qui, au XVII^e siècle, fait le lien entre la géométrie et l'algèbre.

Etablir une équation cartésienne d'une droite

Il existe deux façons principales d'obtenir une équation cartésienne d'une droite : à partir de son équation réduite ou à l'aide de vecteurs.

À partir de l'équation réduite

L'équation réduite d'une droite étant de la forme $y=mx+p$, on arrive à : \[ mx-y+p=0. \]

Soient $A\coord{-1}{-3}$ et $B\coord{3}{5}$. Alors, l'équation réduite de $(AB)$ est : \[ y=2x-1 \] d'après l'exemple précédent.

Une équation cartésienne de (AB) est donc : \[ 2x-y-1=0. \]

À l'aide de vecteurs

Considérons deux points $A\coord{x_A}{y_A}$ et $B\coord{x_B}{y_B}$, ainsi qu'un point $M\coord{x}{y}$ sur $(AB)$, où :

$x_A,\ y_A,\ x_B,\ y_B$ sont quatre réels fixés;
$x$ et $y$ sont deux réels variables (dont les valeurs peuvent changer).

Dire que $M$ appartient à $(AB)$ signifie que $\vv{AB}$ et $\vv{AM}$ sont colinéaires.

Or, deux vecteurs $\vv{u}\dbinom{x}{y}$ et $\vv{v}\dbinom{x'}{y'}$ sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$ (leur déterminant est nul).

Nous avons ainsi un moyen de passer de la géométrie (colinéarité) à l'algèbre (égalité), ce qui signifie que nous pouvons établir une équation cartésienne.

Soient$A\coord{-2}{5}$ et $B\coord{5}{-1}$. Posons alors $M\coord{x}{y}\in(AB)$.

$\vv{AB}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}=\dbinom{7}{-6}$ et $\vv{AM}\dbinom{x+2}{y-5}$.

Ainsi,

\begin{align}\vv{AM}\text{ et }\vv{AB}\text{ sont colinéaires} & \iff 7(y-5)-(-6)(x+2)=0\\ & \iff 7y-35+6x+12=0\\ & \iff 6x+7y-23=0.\end{align}

Une équation cartésienne de $(AB)$ est donc $6x+7y-23=0$.

Vecteur directeur d'une droite

Définition

Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur dont la direction est la même que celle de la droite.

Lien entre vecteur directeur et équations de droite

Equation réduite

équation réduite

Soit $(d)$ une droite d'équation réduite $y=mx+p$.

Alors $\vv{u}\dbinom{1}{m}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

Soit $A\coord{x_A}{y_A}$ un point de $(d)$.

Cherchons les coordonnées du point B dont l'abscisse vaut $x_B=x_A+1$ : \[ y_B=mx_B+p=m(x_A+1)+p=mx_A+p+m=y_A+m. \] D'où $B\coord{x_A+1}{y_A+m}$.

Ainsi, $\vv{AB}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}=\dbinom{(x_A+1)-x_A}{(y_A+m)-y_A}=\dbinom{1}{m}$.

Or $\vv{AB}$ est un vecteur directeur de $(d)$ car A et B sont sur $(d)$.

Donc le vecteur de coordonnées $\dbinom{1}{m}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

Equation cartésienne

vecteur directeur

Soit $(d)$ une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$.

Alors $\vv{u}\dbinom{-b}{a}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

$ax+by+c=0 \iff y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$.

Ainsi, l'équation réduite de $(d)$ est : $y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$, où $-\dfrac{a}{b}$ est le coefficient directeur.

D'après la propriété "équation réduite", le vecteur $\vv{v}\dbinom{1}{-\frac{a}{b}}$ est un vecteur directeur de $(d)$, comme tout vecteur colinéaire à $\vv{v}$.

Ainsi, $\vv{u}=-b\vv{v}$ est un vecteur directeur de $(d)$. Or, $-b\vv{v}\dbinom{-b\times1}{-b\times\left(-\frac{a}{b}\right)}=\dbinom{-b}{a}$.

Donc $\vv{u}\dbinom{-b}{a}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

Intersection de droites

Critère d'existence

Par définition, deux droites sécantes sont deux droites qui ne sont pas parallèles.

Ainsi, l'intersection de deux droites existe quand leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.

Soient ($d$) et $(d')$ deux droites d'équations cartésiennes respectives : \[ ax+by+c=0\qquad\text{et}\qquad a'x+b'y+c'=0. \] \[ (d)\text{ et }(d')\text{ sont parallèles} \iff ab'=ba' \]

$\vv{u}\dbinom{-b}{a}$ et $\vv{u'}\dbinom{-b'}{a'}$ sont deux vecteurs directeurs de $(d)$ et $(d')$.

\begin{align}\vv{u}\text{ et }\vv{u'}\text{ colinéaires } & \iff -b\times a' - a \times(-b')=0\\ & \iff -ba'+ab'=0\\ & \iff ab'=ba'.\end{align}

\begin{array}{cl} (d): & -3x+5y-2=0\\ (d'): & 8x+3y+1=0 \end{array}

$-3\times3=-9$ et $8\times5=40\neq-9$, donc $(d)$ et $(d')$ ne sont pas parallèles.

Calcul des coordonnées du point d'intersection

Soient $(d)\;:\; y=mx+p$ et $(d')\;:\; y=m'x+p'$. On suppose que $m\neq m'$, ce qui signifie que les deux droites sont sécantes.

Pour trouver les coordonnées du point d'intersection des deux droites, on recherche d'abord son abscisse en résolvant l'équation : \[ mx+p = m'x+p' \] puis on remplace $x$ dans l'équation $y=mx+p$ par la valeur trouvée.

\begin{array}{cl} (d): & y=-5x+2\\ (d'): & y=3x+10 \end{array}

On résoud l'équation : \begin{align} -5x+2 = 3x+10 & \iff -5x-3x=10-2 \\ & \iff -8x=8 \\ & \iff x=-1 \end{align}

On remplace $x$ par $-1$ dans l'équation $y=-5x+2$ : $y=-5\times(-1)+2=7$.

Les coordonnées du point d'intersection sont donc $\coord{-1}{7}$.

Si nous avons les équations cartésiennes des droites, nous pouvons les transformer de sorte à ce qu'elles deviennent des équations réduites.

Par exemple, $3x+2y-5=0 \iff y = -\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}$.

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Exercices

Pour chacune des droites représentées ci-dessous, donner une équation cartésienne.

La droite rouge est horizontale est passe par le point de coordonnées $\coord{0}{5}$. Tous les points de cette droite ont une ordonnée égale à 5, donc son équation est: \[ y=5. \]
La droite verte est verticale et tous les points de cette droite ont une même abscisse: $-3$. Son équation est donc: \[ x=-3. \]

Pour les autres droites, le principe consiste à trouver les coordonnées d'un point de la droite et d'un vecteur directeur, puis d'appliquer la « méthode du déterminant ».

Pour la droite bleue, le point $A\coord{0}{2}$ est sur cette droite, ainsi que le point $B\coord{1}{-1}$. Un vecteur directeur de cette droite est alors: \[ \vv{AB}\dbinom{1}{-3}. \] Alors, \begin{align} M\coord{x}{y}\in(AB) & \iff \vv{AB}\text{ et } \vv{AM}\text{ sont colinéaires}\\ & \iff \det\big(\vv{AB},\vv{AM}\big)=0\\ & \iff \begin{vmatrix} 1 & x-0 \\ -3 & y-2 \end{vmatrix} = 0\\ & \iff 1(y-2)-(-3)(x-0)=0\\ & \iff y-2+3x=0\\ & \iff 3x+y-2=0 \end{align}.

Une équation cartésienne de la droite bleue est alors $3x+y-2=0$.
Pour la droite orange, le point $C\coord{0}{-3}$ est sur cette droite, ainsi que le point $D\coord{2}{-2}$. Un vecteur directeur de cette droite est alors: \[ \vv{CD}\dbinom{2}{1}. \] Alors, \begin{align} M\coord{x}{y}\in(CD) & \iff \vv{CD}\text{ et } \vv{CM}\text{ sont colinéaires}\\ & \iff \det\big(\vv{CD},\vv{CM}\big)=0\\ & \iff \begin{vmatrix} 2 & x-0 \\ 1 & y-(-2) \end{vmatrix} = 0\\ & \iff 2(y+2)-1(x-0)=0\\ & \iff 2y+4-x=0\\ & \iff -x+2y+4=0 \end{align}.

Une équation cartésienne de la droite rouge est alors $-x+2y+4=0$.

Pour chacune des questions suivantes, dire si le point $A$, dont on donne les coordonnées, appartient à la droite $d$, dont on donne l'équation réduite.

$(d)$ : $y = -3x+7$ ; $A\coord{-3}{2}$.
$(d)$ : $y = 7x - 1$ ; $A\coord{-1}{-8}$.
$(d)$ : $y = -\dfrac{2}{5}x + 21$ ; $A\coord{10}{17}$.
$(d)$ : $y = -\dfrac{1}{3}x+8$ ; $A\coord{9}{5}$.
$(d)$ : $y = x\sqrt2 - 2$ ; $A\coord{\sqrt2}{0}$.
$(d)$ : $y = \dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}x + 5-\sqrt3$; $A\coord{1-\sqrt3}{2\sqrt3}$.

Un point appartient à une droite si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Il suffit donc de remplacer dans chaque équation $x$ par l'abscisse du point $A$ donné, et de vérifier si le calcul donne l'ordonnée de $A$.

$(d)$ : $y = -3x+7$ ; $A\coord{-3}{2}$. \[ -3x_A+7 = -3\times(-3) + 7 =9+7 = 16 \neq 2 (= y_A). \] Donc $A\not\in(d)$.
$(d)$ : $y = 7x - 1$ ; $A\coord{-1}{-8}$. \[ 7x_A-1 = 7\times(-1) - 1 = -7-1 = -8 = y_A. \] Donc $A\in(d)$.
$(d)$ : $y = -\dfrac{2}{5}x + 21$ ; $A\coord{10}{17}$. \[ -\frac{2}{5}x_A+21 = -\frac{2}{5}\times10+21 = -4+21=17=y_A. \] Donc $A\in(d)$.
$(d)$ : $y = -\dfrac{1}{3}x+8$ ; $A\coord{9}{5}$. \[ -\frac{1}{3}x_A+8 = -\frac{1}{3}\times9+8 = -3+8=5=y_A. \] Donc $A\in(d)$.
$(d)$ : $y = x\sqrt2 - 2$ ; $A\coord{\sqrt2}{0}$. \[ x_A\sqrt2-2 = \sqrt2 \times \sqrt2 - 2 = 2-2 = 0 = y_A. \] Donc $A\in(d)$.
$(d)$ : $y = \dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}x + 5-\sqrt3$; $A\coord{1-\sqrt3}{2\sqrt3}$.

\begin{align} \dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}x_A + 5-\sqrt3 & = \dfrac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}(1-\sqrt3) + 5-\sqrt3\\ & = \dfrac{(1-\sqrt3)^2}{1+\sqrt3} + 5-\sqrt3\\ & = \dfrac{1-2\sqrt3+3}{1+\sqrt3}+5-\sqrt3\\ & = \dfrac{4-2\sqrt3}{1+\sqrt3}\textcolor{red}{\times\dfrac{1-\sqrt3}{1-\sqrt3}}+5-\sqrt3\\ & = \dfrac{4-4\sqrt3-2\sqrt3+2\times3}{1^2-(\sqrt3)^2}+5-\sqrt3 \\ & = \dfrac{10-6\sqrt3}{-2}+5-\sqrt3\\ & = -5+3\sqrt3+5-\sqrt3\\ & = 2\sqrt3\\ & = y_A. \end{align}

Donc $A\in(d)$.

Pour chacune des questions suivantes, dire si le point $A$ appartient à la droite $(d)$.

$(d)$ : $3x + y - 5 = 0$ ; $A\coord{-2}{1}$.
$(d)$ : $-x + 5y + 6 = 0$ ; $A\coord{1}{-1}$.
$(d)$ : $-x\sqrt2 - y\sqrt3 + 5 = 0$ ; $A\coord{\sqrt2}{\sqrt3}$.
$(d)$ : $\dfrac{1}{2}x - 9y +5 = 0$ ; $A\coord{8}{1}$.

$(d)$ : $3x + y - 5 = 0$ ; $A\coord{-2}{1}$. \[ 3x_A+y_A-5 = 3\times(-2) + 1 - 5 = -6 + 1 - 5 = -10 \neq 0. \] Donc $A\not\in(d)$.
$(d)$ : $-x + 5y + 6 = 0$ ; $A\coord{1}{-1}$. \[ -x_A+5y_A+6 = -1 + 5\times(-1) + 6 = -1-5 + 6 = -6 + 6 = 0. \] Donc $A\in(d)$.
$(d)$ : $-x\sqrt2 - y\sqrt3 + 5 = 0$ ; $A\coord{\sqrt2}{\sqrt3}$. \[ -x_A\sqrt2 - y_A\sqrt3 + 5 = -\sqrt2\times\sqrt2 - \sqrt3\times\sqrt3+5 = -2-3+5 = 0. \] Donc $A\in(d)$.
$(d)$ : $\dfrac{1}{2}x - 9y +5 = 0$ ; $A\coord{8}{1}$. \[ \dfrac{1}{2}x_A - 9y_A +5 = \dfrac{1}{2}\times8 - 9\times1 +5 = 4-9+5 = -5+5=0. \] Donc $A\in(d)$.

Les droites suivantes sont-elles confondues ?

$(d)$ : $\dfrac{2}{3}x - \dfrac{3}{5}y + \dfrac{1}{10} = 0$ et $(d')$ : $20x-18y+3=0$.
$(d)$ : $\dfrac{1}{7}x + 2y - \dfrac{1}{5} = 0$ et $(d')$ : $5x+70y-7=0$.
$(d)$ : $\dfrac{3}{5}x - \dfrac{5}{3}y + 1 = 0$ et $(d')$ : $-9x+25y+15=0$.

Deux droites sont confondues si leurs équations cartésiennes sont équivalentes, c'est-à-dire si, en multipliant l'une, on obtient l'autre.

$(d)$ : $\dfrac{2}{3}x - \dfrac{3}{5}y + \dfrac{1}{10} = 0$ et $(d')$ : $20x-18y+3=0$.

\begin{align} M\coord{x}{y}\in(d) & \iff \dfrac{2}{3}x - \dfrac{3}{5}y + \dfrac{1}{10} = 0\\ & \iff 30\times\left(\dfrac{2}{3}x - \dfrac{3}{5}y + \dfrac{1}{10}\right) = 30 \times 0\\ & \iff 30\times\dfrac{2}{3}x - 30\times\dfrac{3}{5}y + 30\times\dfrac{1}{10} = 0\\ & \iff 20x - 18y + 3 = 0 \leftarrow\text{ équation de }(d')\\ & \iff M\coord{x}{y}\in(d').\end{align}

Ainsi, $(d)$ et $(d')$ sont confondues.

Comment obtenir le nombre « 30 » par lequel j'ai multiplié ? J'ai regardé les dénominateurs des fractions $\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{1}{10}$ et j'ai pris le plus petit nombre dans leurs tables (le ppcm de 3, 5 et 10 est égal à 30).
$(d)$ : $\dfrac{1}{7}x + 2y - \dfrac{1}{5} = 0$ et $(d')$ : $5x+70y-7=0$.

\begin{align} M\coord{x}{y}\in(d) & \iff \dfrac{1}{7}x + 2y - \dfrac{1}{5} = 0\\ & \iff 35 \times \left(\dfrac{1}{7}x + 2y - \dfrac{1}{5}\right) = 35 \times0\\ & \iff 5x+70y-7=0\leftarrow\text{ équation de }(d')\\ & \iff M\coord{x}{y}\in(d').\end{align}

Ainsi, $(d)$ et $(d')$ sont confondues.
$(d)$ : $\dfrac{3}{5}x - \dfrac{5}{3}y + 1 = 0$ et $(d')$ : $-9x+25y+15=0$.

\begin{align} M\coord{x}{y}\in(d) & \iff \dfrac{3}{5}x - \dfrac{5}{3}y + 1 = 0\\ & \iff 15\times\left(\dfrac{3}{5}x - \dfrac{5}{3}y + 1\right) = 0\\ & \iff 9x-25y+15=0\\ & \iff -9x+25y-15=0\text{ en multipliant par }(-1)\end{align}

Nous n'obtenons pas la même écriture que celle de l'équation de $(d')$ (le signe de « 15 » n'est pas le même) donc les deux droites ne sont pas confondues.

Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

$A\coord{-1}{2}$ et $B\coord{3}{-7}$.
$A\coord{3}{-2}$ et $\vv{u}\dbinom{2}{1}$ est un vecteur directeur de $(AB)$.
$A\coord{5}{-4}$ et $(AB)$ est parallèle à la droite d'équation cartésienne $x+y+1=0$.
$A\coord{3}{2}$ et $(AB)$ a pour coefficient directeur $-\dfrac{1}{2}$.

$A\coord{-1}{2}$ et $B\coord{3}{-7}$, donc $\vv{AB}\dbinom{3-(-1)}{-7-2}$, soit $\vv{AB}\dbinom{4}{-9}$.

\begin{align} M\coord{x}{y}\in(AB) & \Longleftrightarrow \vv{AM}\dbinom{x+1}{y-2} \text{et} \vv{AB}\dbinom{4}{-9} \text{sont colinéaires}\\ & \Longleftrightarrow -9(x+1)-4(y-2)=0\\ & \Longleftrightarrow -9x-4y-1=0.\end{align}

Une équation cartésienne de $(AB)$ est donc $9x+4y+1=0$.
$A\coord{3}{-2}$ et $\vv{u}\dbinom{2}{1}$ est un vecteur directeur de (AB).

\begin{align} M\coord{x}{y}\in(AB) & \Longleftrightarrow \vv{AM}\dbinom{x-3}{y+2} \text{et} \vv{u}\dbinom{2}{1} \text{sont colinéaires}\\ & \Longleftrightarrow 1(x-3)-2(y+2)=0\\ & \Longleftrightarrow x-2y-7=0.\end{align}

Une équation cartésienne de $(AB)$ est donc $x-2y-7=0$.
$A\coord{5}{-4}$ et $(AB)$ est parallèle à la droite d'équation cartésienne $x+y+1=0$.

La droite d'équation cartésienne $x+y+1=0$ a pour vecteur directeur $\vv{u}\dbinom{-1}{1}$ et $(AB)$ est parallèle à cette droite, donc $\vv{u}$ est aussi un vecteur directeur de $(AB)$. Donc :

\begin{align} M\coord{x}{y}\in(AB) & \Longleftrightarrow \vv{AM}\dbinom{x-5}{y+4} \text{et} \vv{u}\dbinom{-1}{1} \text{sont colinéaires}\\ & \Longleftrightarrow 1(x-5)-(-1)(y+4)=0\\ & \Longleftrightarrow x+y-1=0.\end{align}

Une équation cartésienne de $(AB)$ est donc $x+y-1=0$.
$A\coord{3}{2}$ et $(AB)$ a pour coefficient directeur $-\dfrac{1}{2}$.

Une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$ a pour vecteur directeur $\vv{u}\dbinom{1}{m}$, où $m$ est le coefficient directeur de la droite.

Donc un vecteur directeur de $(AB)$ est ici $\vv{u}\dbinom{1}{-\frac{1}{2}}$.

\begin{align} M\coord{x}{y}\in(AB) & \Longleftrightarrow \vv{AM}\dbinom{x-3}{y-2} \text{et} \vv{u}\dbinom{1}{-\frac{1}{2}} \text{sont colinéaires}\\[1.5em] & \Longleftrightarrow -\dfrac{1}{2}(x-3)-1(y-2)=0\\[1em] & \Longleftrightarrow -\dfrac{1}{2}x-y+\dfrac{7}{2}=0\\[1em] & \Longleftrightarrow x+2y-7=0. \end{align}

Une équation cartésienne de $(AB)$ est donc $x+2y-7=0$.

Dans chacun des cas suivants, donner un vecteur directeur de la droite dont on donne une équation cartésienne.

$3x-5y+2=0$
$-5x+9y-7=0$
$y=3x-1$
$y=5$

$3x-5y+2=0$. Un vecteur directeur est $\vv{u}\dbinom{5}{3}$ (propriété "vecteur directeur").
$-5x+9y-7=0$. Un vecteur directeur est $\vv{u}\dbinom{-9}{-5}$ (propriété "vecteur directeur").
$y=3x-1$. Un vecteur directeur est $\vv{u}\dbinom{1}{3}$ (propriété "équation réduite").
$y=5$. Un vecteur directeur est $\vv{u}\dbinom{1}{0}$ (propriété "équation réduite").

Dans chacun des cas suivants, donner un coefficient directeur de la droite dont on donne une équation cartésienne.

$3x-5y+2=0$
$-5x+9y-7=0$
$y=3x-1$
$y=5$

$3x-5y+2=0$. Un vecteur directeur est $\vv{u}\dbinom{5}{3}$ (propriété "vecteur directeur"). Donc le coefficient directeur est: \[ m = \frac{3}{5}. \]
$-5x+9y-7=0$. Un vecteur directeur est $\vv{u}\dbinom{-9}{-5}$ (propriété "vecteur directeur"). Donc le coefficient directeur est: \[ m = \frac{-5}{-9}=\frac{5}{9}. \]
$y=3x-1$. C'est une équation réduite, donc le coefficient directeur de la droite est le coefficient de $x$: \[ m=3. \]
$y=5$. La droite est horizontale, donc son coefficient directeur est nul (il n'y a aucune inclinaison par rapport à l'horizontale). Donc, $m = 0$.

Dans un repère orthonormé $\Rij$, on considère les points $A\coord{3}{1}$, $B\coord{1}{2}$, $C\coord{2}{-1}$ et $D\coord{-4}{2}$.

Montrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Montrer que O appartient à $(CD)$.
Soit $M\coord{x}{y}$. Exprimer les distances $BM$ et $CM$ en fonction de $x$ et $y$.

En déduire une équation de la droite $\Delta$, médiatrice de $[BC]$, puis montrer que $\Delta$ est la droite $(OA)$.

$\vv{AB}\dbinom{1-3}{2-1}=\dbinom{-2}{1}$ et $\vv{CD}\dbinom{-4-2}{2-(-1)}=\dbinom{-6}{3}=3\vv{AB}$. Ainsi, $\vv{AB}$ et $\vv{CD}$ sont colinéaires, donc $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
$\vv{OC}\dbinom{2}{-1}=-\vv{AB}$ donc $\vv{CD}=3\vv{AB}$. Ainsi, $\vv{OC}$ et $\vv{CD}$ sont colinéaires, donc $O$, $C$ et $D$ sont alignés.
$BM=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}$ et $CM=\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}$.

La médiatrice de $[BC]$ est l'ensemble des points $M\coord{x}{y}$ tels que $BM = CM$, donc $BM^2=CM^2$. On en déduit les équivalences suivantes:

\begin{align} (x-1)^2+(y-2)^2=(x-2)^2+(y+1)^2 & \Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2-4y+4=x^2-4x+4+y^2+2y+1\\ & \Leftrightarrow 2x-6y=0\\ & \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{3}x. \end{align}

L'équation réduite de $\Delta$ est donc $y=\dfrac{1}{3}x$.

Les coordonnées de $O$ et de $A$ vérifient cette équation (car $y_0=\dfrac{1}{3}x_O$ et $y_A=\dfrac{1}{3}x_A$) donc $O$ et $A$ appartiennent à cette droite. Ainsi, $\Delta=(OA)$.

Dans un repère, on considère la droite $\mathcal{D}_m$, $m\in\R$, dont une équation cartésienne est : \[ mx+(2m-1)y+4=0. \]

Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ la droite est-elle parallèle à l'axe des abscisses ?
Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ la droite est-elle parallèle à l'axe des ordonnées ?
Montrer que quelle que soit la valeur de $m$, la droite $\mathcal{D}_m$ passe par un point fixe dont on précisera les coordonnées.

La droite est parallèle à l'axe des abscisses lorsqu'un vecteur directeur est de la forme $\vv{u}\dbinom{k}{0}$, $k\in\R$. Or, on sait que la droite d'équation $ax+by+c=0$ a pour vecteur directeur $\dbinom{-b}{a}$. Ainsi, il faut que $m=0$ pour que $\mathcal{D}_m$ soit parallèle à l'axe des abscisses.
La droite est parallèle à l'axe des ordonnées lorsqu'un vecteur directeur est de la forme $\vv{u}\dbinom{0}{k}$, $k\in\R$. D'après ce que l'on a dit dans la question précédente, il faut donc que $1-2m=0$, soit $m=\dfrac{1}{2}$.

Ainsi, il faut que $m=\dfrac{1}{2}$ pour que $\mathcal{D}_m$ soit parallèle à l'axe des ordonnées.
Posons $A\coord{x_A}{y_A}$ le point fixe. Ainsi, $\text{A}\in\mathcal{D}_0$ et $\text{A}\in\mathcal{D}_{\frac{1}{2}}$ (on prend les valeurs de $m$ précédemment trouvées par exemple).

$\mathcal{D}_0$ : $y=4$. Donc $y_A=4$.

$\mathcal{D}_{\frac{1}{2}}$ : $x=-8$. Donc $x_A=-8$.

Le point fixe est donc $A\coord{-8}{4}$.

Dans un repère $\Rij$, on considère le triangle $ABC$ où $A\coord{-10}{-10}$, $B\coord{-1}{7}$ et $C\coord{5}{-2}$.

On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[AC]$.

Déterminer les coordonnées de $I$ et $J$.
En déduire une équation cartésienne des droites $(CI)$ et $(BJ)$.
Déterminer les coordonnées du centre de gravité du triangle $(ABC)$.