1. On a: \[ \begin{align}d=v \times t & \iff d = 50 \times 5\\ & \iff \boxed{d = 250\text{ m}.}\end{align} \]

2. On a: \[ \begin{align} d = v \times t & \iff t = \dfrac{d}{v}\\ & \iff t = \dfrac{10}{80}\\ & \iff t=\dfrac18\text{ h}\\ & \iff t=\dfrac{1}{8}\times60\text{ min}\\ & \iff \boxed{ t=7,5\text{ min} } \end{align} \]

3. On a: \[ \begin{align}d = v \times t & \iff v = \dfrac{d}{t}\\ & \iff v = \dfrac{\numprint{10000}\text{ m}}{5\times60\text{ s}}\\ & \iff \boxed{v \approx 33,33\ \rm m\cdot s^{-1}.} \end{align} \]

On a: \[ \begin{align} F=\dfrac{9}{5}C+32 & \iff F-32 = \dfrac{9}{5}C\\ & \iff \textcolor{red}{\dfrac{5}{9}\times}(F-32)=\textcolor{red}{\dfrac{5}{9}\times}\dfrac{9}{5}C\text{ (on multiplie par l'inverse de $\dfrac{9}{5}$ pour supprimer cette fraction)}\\ & \iff \boxed{C=\dfrac{5}{9}(F-32)} \end{align} \]

On a: \[ \begin{align} IMC = \dfrac{m}{T^2} & \iff 32=\dfrac{75}{T^2}\\ & \iff T^2 \times 32= 75\text{ (égalité des produits en croix)}\\ & \iff T^2 = \dfrac{75}{32}\\ & \iff T = \sqrt{\dfrac{75}{32}}\\ & \iff \boxed{T\approx1,53} \end{align} \]

La personne mesure donc environ 1,53 mètre.

\[ \begin{align} \mathcal{V}=\pi r^2 h & \iff \dfrac{\mathcal{V}}{\pi h}=r^2\\ & \iff \boxed{r = \sqrt{\dfrac{\mathcal{V}}{\pi h}}} \end{align} \]

On a: \[ \begin{align} ax+by+c=0 & \iff by = -ax-c\\ & \iff \boxed{y = \dfrac{-ax-c}{b}} \end{align} \]

1. On a: \[ \begin{align} A & =(x+2)(x+3)\\ & = x^2+3x+2x+6\\ A & = x^2+5x+6. \end{align} \]

2. On a: \[ \begin{align} B & =(3x+2)(5x+3)\\ & = 15x^2+9x+10x+6\\ B & = 15x^2+19x+6. \end{align} \]

3. On a: \[ \begin{align} C & =(3-5x)(2x-7)\\ & = 6x-21-10x^2+35x\\ C & = -10x^2+41x-21. \end{align} \]

4. On a: \[ \begin{align} D & =(5x-4)(-3x-2)\\ & = -15x^2-10x+12x+8\\ D & = -15x^2+2x+8.\end{align} \]

5. On a: \[ \begin{align} E & =(4x-1)(2x+4)+(2x-1)(5x+3)\\ & = (8x^2+16x-2x-4)+(10x^2+6x-5x-3)\\ E & = 18x^2 + 15x-7.\end{align} \]

6. On a: \[ \begin{align} F & =(x-4)(x+3)-2(x+1)(x-2)\\ & = (x^2+3x-4x-12)-2(x^2-2x+x-2)\\ & = x^2-x-12-2x^2+2x+4\\ F&=-x^2+x-8. \end{align} \]

7. On a: \[ \begin{align} G & =(x+5)(2x-1)-5(x+7)(x+1)\\ & = (2x^2-x+10x-5)-5(x^2+x+7x+7)\\ & = 2x^2+9x-5-5x^2-40x-35\\ G&=-3x^2-31x-40. \end{align} \]

1. $A=(x+2)^2=x^2+2\times2\times x+2^2=\boxed{x^2+4x+4}$
2. $B=(3x+2)^2=(3x)^2+2\times2\times3x+2^2=\boxed{9x^2+12x+4}$
3. $C=(3-5x)^2=3^2-2\times3\times5x+(5x)^2=\boxed{9-30x+25x^2}$
4. $D=(5x-4)^2=(5x)^2-2\times4\times5x+4^2=\boxed{25x^2-40x+16}$
5. $E=(4x-1)^2=(4x)^2-2\times1\times4x+1^2=\boxed{16x^2-8x+1}$
6. $F=(x-4)(x+4)=x^2-4^2=\boxed{x^2-16}$
7. $G=(2x+5)(2x-5)=(2x)^2-5^2=\boxed{4x^2-25}$
8. $H=(3x-7)(3x+7)=(3x)^2-7^2=\boxed{9x^2-49}$

1. On a: \[ \begin{align} A & =(2x-5)(x+3)+(x+6)^2\\ &=(2x^2+6x-5x-15)+(x^2+2\times6\times x+6^2)\\ &=2x^2+x-15+x^2+12x+36\\ A&=3x^2+13x+21. \end{align} \]

2. On a: \[ \begin{align} B & =(3x+4)^2-(x-1)(x+1)\\ &=(3x)^2+2\times4\times3x+4^2-(x^2-1^2)\\ & = 9x^2+24x+16-x^2+1\\ B&=8x^2+24x+17. \end{align} \]

3. On a: \[ \begin{align} C & =(5x-4)(5x+4)-2(x+3)(x-3)\\ & = (5x)^2-4^2-2(x^2-3^2)\\ &=25x^2-16-2x^2+18\\ C&=23x^2+2. \end{align} \]

4. On a: \[ \begin{align} D & =(8x+3)(3x-8)-3(x+9)^2\\ & = 24x^2-64x+9x-24-3(x^2+2\times9\times x+9^2)\\ & = 24x^2-55x-24-3(x^2+18x+81)\\ & = 24x^2-55x-24-3x^2-54x-243\\ D & = 21x^2-109x-267. \end{align} \]

5. On a: \[ \begin{align} E& =(7x-1)(7x+1)-5(3x-2)^2\\ & = (7x)^2-1^2-5\big[(3x)^2-2\times2\times3x+2^2\big]\\ & = 49x^2-1-5(9x^2-12x+4)\\ & = 49x^2-1-45x^2+60x-20\\ E & = 4x^2+60x-21. \end{align} \]

6. On a: \[ \begin{align} F & =3(2x-1)^2+(5x-3)^2\\ & = 3(4x^2-4x+1)+(25x^2-30x+9)\\ & = 12x^2-12x+3+25x^2-30x+9\\ F & = 37x^2-42x+12. \end{align} \]

Pour développer $(a+b+c)^2$, on peut voir ce calcul sous la forme:

\[ \begin{align} (a+b+c)^2 & = (\textcolor{red}{a+b}+\textcolor{green}{c})(a+b+c)\\ & = \big[(\textcolor{red}{a+b})(\textcolor{blue}{a+b}+\textcolor{orange}{c})\big] + \textcolor{green}{c}(a+b+c)\\ & = \big[\textcolor{red}{(a+b)}\textcolor{blue}{(a+b)}+ \textcolor{orange}{c}\textcolor{red}{(a+b)}\big] + \textcolor{green}{c}(a+b+c)\\ & = a^2+2ab+b^2 + ac+bc + ac+bc+c^2\\ (a+b+c)^2 & = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc. \end{align} \]

• On a: \[ \begin{align} (a+b)^3 & = (a+b)(a+b)^2\\ & = (a+b)(a^2+2ab+b^2)\\ & = \underbrace{(a^3+2a^2b+ab^2)}_{=a(a^2+2ab+b^2)} + \underbrace{(a^2b+2ab^2+b^3)}_{=b(a^2+2ab+b^2)}\\ (a+b)^3 & = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. \end{align} \]

• On a: \[ \begin{align} (a+b)^4 & = (a+b)(a+b)^3\\ & = (a+b)(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)\\ & = (a^4 + 3a^3b + 3a^2b^2 + ab^3) + (a^3b + 3a^2b^2 + 3ab^3 + b^4)\\ (a+b)^4& = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4. \end{align} \]

• On a: \[ \begin{align} (a+b)^5 & = (a+b)(a+b)^4\\ & = (a+b)(a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4)\\ & = (a^5+4a^4b+6a^3b^2+4a^2b^3+ab^4) + (a^4b+4a^3b^2+6a^2b^3+4ab^4+b^5)\\ (a+b)^5 & = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5. \end{align} \]

Premier constat: les deux membres de l'égalité à démontrer sont positifs. Ainsi, démontrer l'égalité entre leur carré est équivalent. En d'autres termes, démontrer l'égalité: \[ \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}=\sqrt{a+\sqrt{b}} \] est équivalent à démontrer l'égalité: \[ \left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 = \left( \sqrt{a+\sqrt{b}} \right)^2 \] c'est-à-dire: \[ \left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 = a+\sqrt{b}. \] C'est ce que nous allons faire.

Développons le membre de gauche à l'aide de l'identité remarquable: \[ (A+B)^2=A^2+2AB+B^2. \]

\[ \begin{align} & \left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 \\ =\ & \left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 + 2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\times\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} + \left(\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 \\ =\ & \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2} + 2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\times\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} + \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}\\ =\ & \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2} + \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}+ 2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\times\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\\ & \text{(on a réorganisé les termes)}\\ =\ & a + 2\sqrt{\frac{\big(a+\sqrt{a^2-b}\big)\big(a-\sqrt{a^2-b}\big)}{4}}\\ =\ & a + 2\frac{\sqrt{a^2-\big( \sqrt{a^2-b} \big)^2}}{\sqrt4}\\ =\ & a + \sqrt{a^2-(a^2-b)}\\ =\ & a + \sqrt{b}.\text{ (nous avons démontré l'égalité souhaitée)}\end{align} \]

\[ \begin{align} A & =(2x+1)\textcolor{red}{(x+3)}-2\textcolor{red}{(x+3)}(5x+6) &\\ & =\textcolor{red}{(x+3)}[(2x+1)-2(5x+6)] & \text{ le facteur commun est $(x+3)$}\\ & =(x+3)(2x+1-10x-12) & \text{ on enlève les parenthèses dans les crochets en multipliant par $-2$ le $5x$ et le $6$}\\ & =(x+3)(-8x-11) & \text{ on réduit l'expression dans la deuxième paire de parenthèses}\\ & =-(x+3)(8x+11) & \text{ on met en facteur « $-1$ » pour la lisibilité} \end{align} \]

\[ \begin{align} B & =\textcolor{red}{(x-4)}(2x+9)+3\textcolor{red}{(x-4)}(7x+3) &\\ & =\textcolor{red}{(x-4)}[(2x+9)+3(7x+3)] & \text{ le facteur commun est $(x-4)$}\\ & =(x-4)(2x+9+21x+9) & \text{ on enlève les parenthèses dans les crochets en multipliant par $3$ le $7x$ et le $3$}\\ & =(x-4)(23x+18) & \text{ on réduit l'expression dans la deuxième paire de parenthèses} \end{align} \]

\[ \begin{align} C & =(3x-1)\textcolor{red}{(5x+2)}-\textcolor{red}{(5x+2)}(9x+8) &\\ & =\textcolor{red}{(5x+2)}[(3x-1)-(9x+8)] & \text{ le facteur commun est $(5x+2)$}\\ & =(5x+2)(3x-1-9x-8) & \text{ on enlève les parenthèses dans les crochets en multipliant par $-1$ le $9x$ et le $8$}\\ & =(5x+2)(-6x-9) & \text{ on réduit l'expression dans la deuxième paire de parenthèses}\\ & =-3(5x+2)(2x+3) & \text{ on factorise par $-3$ ce qu'il y a dans la deuxième paire de parenthèses}\end{align} \]

\[ \begin{align} D & =\textcolor{blue}{(9x+6)}(4x+1)+(3x+2)(1-4x) &\\ & =\textcolor{blue}{3\underline{(3x+2)}}(4x+1)+\underline{(3x+2)}(1-4x) & \text{ on factorise $(9x+6)$ par 3} \\ & =(3x+2)[3(4x+1)+(1-4x)] & \text{ on factorise par $(3x+2)$}\\ & =(3x+2)(12x+3+1-4x) & \text{ on enlève les parenthèses dans les crochets}\\ & =(3x+2)(8x+4) & \text{ on réduit l'expression} \\ & =4(3x+2)(2x+1) & \text{ on factorise par 4 dans le deuxième facteur} \end{align} \]

\[ \begin{align} E & =(2x+3)\textcolor{blue}{(5x-10)}-3(x-2)(5x+9) &\\ & =\textcolor{blue}{5\underline{(x-2)}}(2x+3)-3\underline{(x-2)}(5x+9) & \text{ on factorise $(5x-10)$ par 5} \\ & =(x-2)[5(2x+3)-3(5x+9)] & \text{ on factorise par $(x-2)$}\\ & =(x-2)(10x+15-15x-27) & \text{ on enlève les parenthèses dans les crochets}\\ & =(x-2)(-5x-12) & \text{ on réduit l'expression dans le second facteur}\\ & =-(x-2)(5x+12) & \text{ on factorise par $-1$ dans le deuxième facteur} \end{align} \]

\[ \begin{align} F & =(3x-1)(2x+7)-4\textcolor{blue}{(1-3x)}(7-2x) &\\ & =(3x-1)(2x+7)\textcolor{blue}{+}4\textcolor{blue}{(3x-1)}(7-2x) & \text{ on factorise $(1-3x)$ par $(-1)$}\\ & =(3x-1)[(2x+7)+4(7-2x)] & \text{ on factorise par $(3x-1)$}\\ & =(3x-1)(2x+7+28-8x) & \text{ on enlève les parenthèses dans les crochets}\\ & =(3x-1)(-6x+35) & \text{ on réduit l'expression dans le second facteur} \end{align} \]

1. $A=(x+1)^2-(x-1)^2$.

   $A$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=(x+1)$ et $b=(x-1)$, d'où :

   \[ \begin{align} A & = \big[(x+1)-(x-1)\big]\big[(x+1)+(x-1)\big]\\ & = (x+1-x+1)(x+1+x-1)\\ & = 2 \times 2x\\ A & = 4x. \end{align} \]

2. $B=(2x+3)^2-(3x-2)^2$.

   $B$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=(2x+3)$ et $b=(3x-2)$, d'où :

   \[ \begin{align} B & = \big[(2x+3)-(3x-2)\big]\big[(2x+3)+(3x-2)\big]\\ & = (2x+3-3x+2)(2x+3+3x-2)\\ B & = (-x+5)(5x+1). \end{align} \]

3. $C=(3-4x)^2-(5x+1)^2$.

   $C$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=(3-4x)$ et $b=(5x+1)$, d'où :

   \[ \begin{align} C & = \big[(3-4x)-(5x+1)\big]\big[(3-4x)+(5x+1)\big]\\ & = (3-4x-5x-1)(3-4x+5x+1)\\ C & = (2-9x)(x+4). \end{align} \]

4. $D=(8-4x)^2-(6x+4)^2$.

   $D$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=(8-4x)$ et $b=(6x+4)$, d'où :

   \[ \begin{align} D & = \big[(8-4x)-(6x+4)\big]\big[(8-4x)+(6x+4)\big]\\ & = (8-4x-6x-4)(8-4x+6x+4)\\ D & = (4-10x)(2x+12). \end{align} \]

   On pourrait continuer à factoriser $D$ en écrivant :

   \[ \begin{align} D &= 2(2-5x) \times 2(x+6)\\ D & = 4(2-5x)(x+6). \end{align} \]

   Les deux résultats encadrés sont corrects.

5. $E=36(x-4)^2-64(x+3)^2$.

   $E$ peut s'écrire : \[ E = \big[6(x-4)\big]^2-\big[8(x+3)\big]^2. \] Ainsi, $E$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=6(x-4)$ et $b=8(x+3)$, d'où :

   \[ \begin{align} E & = \big[6(x-4)-8(x+3)\big]\big[6(x-4)+8(x+3)\big]\\ & = (6x-24-8x-24)(6x-24+8x+24)\\ & = (-2x-48)(14x)\\ E &=14x(-2x-48)\\ & = 14x \times (-2)(x+24)\\ E & = -28x(x+24).\qquad\text{(forme factorisée optimale)} \end{align} \]

6. $F=25(3-7x)^2-9(2x+5)^2$.

   On peut écrire : \[ F=\big[5(3-7x)\big]^2 - \big[3(2x+5)\big]^2. \] Ainsi, $F$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=5(3-7x)$ et $b=3(2x+5)$, d'où :

   \[ \begin{align} F & = \big[5(3-7x)-3(2x+5)\big]\big[5(3-7x)+3(2x+5)\big]\\ & = (15-35x-6x-15)(15-35x+6x+15)\\ F & = -41x(30-29x). \end{align} \]

1. $A=\numprint{897526}^2-\numprint{897525}\times\numprint{897527}$.

   Posons $x=\numprint{897526}$. Alors,

   \[ \begin{align} A & = x^2 - (x-1)(x+1)\\ & = x^2 - (x^2 - 1^2)\\ & = x^2 - x^2 + 1\\ A & = 1. \end{align} \]

2. $B=\numprint{100001}^2-\numprint{99999}^2$.

   Posons $x=\numprint{100000}$. Alors,

   \[ \begin{align} B & = (x+1)^2-(x-1)^2\\ & = \big[(x+1)-(x-1)\big]\big[(x+1)+(x-1)\big]\\ & = 4x. \end{align} \]

   Donc $\boxed{B=4\times\numprint{100000}=\numprint{400000}}$.

1. On a: \[ \begin{align} & -3x+7=0\\ \Leftrightarrow & -3x = -7\\ \Leftrightarrow & x = \dfrac{-7}{-3}\\ \Leftrightarrow & \boxed{S = \left\{ \dfrac{7}{3} \right\} } \end{align} \]

2. On a: \[ \begin{align} & \dfrac{3}{5}x-6=0\\ \Leftrightarrow & \dfrac{3}{5}x=6\\ \Leftrightarrow & x=6\times\dfrac{5}{3}\\ \Leftrightarrow & \boxed{S = \{10\} }\end{align} \]

3. On a: \[ \begin{align} & -\dfrac{2}{7}x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{21}x+2\\[6pt] \Leftrightarrow &-\dfrac{2}{7}x-\dfrac{2}{21}x=2-\dfrac{1}{2}\\[6pt] \Leftrightarrow &-\dfrac{8}{21}x=\dfrac{3}{2}\\[6pt] \Leftrightarrow&\; x=\dfrac{3}{2}\times\left(-\dfrac{21}{8}\right)\\[6pt] \Leftrightarrow &\;\boxed{S = \left\{ -\dfrac{63}{16} \right\} }\end{align} \]

4. On a: \[ \begin{align} & (-3x+1)(5x-7)=0\\ \Leftrightarrow &-3x+1=0\text{ ou }5x-7=0\\ \Leftrightarrow &\; x=\dfrac{1}{3}\text{ ou }x=\dfrac{7}{5}\\ \Leftrightarrow &\; \boxed{S=\left\lbrace \dfrac{1}{3} ; \dfrac{7}{5} \right\rbrace}\end{align} \]

5. On a: \[ \begin{align} &\left(-\dfrac{1}{2}x-5\right)\left(\dfrac{3}{4}x+2\right)=0\\ \Leftrightarrow &-\dfrac{1}{2}x-5=0\text{ ou }\dfrac{3}{4}x+2=0\\ \Leftrightarrow &\; x=-10\text{ ou }x=-\dfrac{8}{3}\\ \Leftrightarrow &\; \boxed{S=\left\lbrace -10 ; -\frac{8}{3}\right\rbrace}\end{align} \]

6. On a: \[ \begin{align} & 2x(5x-1)(2x+3)=0\\ \Leftrightarrow &\; 2x=0\text{ ou }5x-1=0\text{ ou }2x+3=0\\ \Leftrightarrow &\; x=0\text{ ou }x=\dfrac{1}{5}\text{ ou }x=-\dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow &\; \boxed{S=\left\lbrace 0 ; \dfrac{1}{5} ; -\dfrac{3}{2}\right\rbrace}\end{align} \]

7. On a: \[ \begin{align} & \dfrac{x^2+1}{x-1}=\dfrac{2x}{x-1},\ x\neq1\\ \Leftrightarrow&\; x^2+1 = 2x,\ x \neq 1\\ \Leftrightarrow&\; x^2-2x+1=0,\ x\neq 1\\ \Leftrightarrow&\; (x-1)^2=0,\ x\neq 1\\ \Leftrightarrow&\; x=1,\ x\neq 1\\ \Leftrightarrow&\; \boxed{S=\varnothing}\end{align} \]

8. On a: \[ \begin{align} & \dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{x^2-4}, \ x\neq-2\text{ et }x\neq2\\ \Leftrightarrow&\; \dfrac{x-2}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{1}{x^2-4},\ x\neq-2\text{ et }x\neq2\\ \Leftrightarrow &\;\dfrac{x-2}{x^2-4}=\dfrac{1}{x^2-4},\ x\neq-2\text{ et }x\neq2\\ \Leftrightarrow&\; x-2=1,\ x \neq 2\text{ et }x \neq -2\\ \Leftrightarrow &\;\boxed{S = \{3\}}\end{align} \]

9. On a: \[ \begin{align} &\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}=2,\ x\neq0\text{ et }x\neq-1\\ \Leftrightarrow& \dfrac{x+1}{x(x+1)}+\dfrac{x}{x(x+1)}=\dfrac{2x(x+1)}{x(x+1)},\ x\neq0\text{ et }x\neq-1\\ \Leftrightarrow&\; x+1+x=2x(x+1),\ x\neq 0\text{ et }x\neq -1\\ \Leftrightarrow&\; 2x+1=2x^2+2x,\ x\neq 0\text{ et }x\neq -1\\ \Leftrightarrow&\; x^2=\dfrac{1}{2},\ x\neq 0\text{ et }x\neq -1\\ \Leftrightarrow&\; x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\text{ ou }x=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \iff \boxed{S=\left\lbrace -\dfrac{1}{\sqrt{2}} ; \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right\rbrace}\end{align} \]

10. On a: \[ \begin{align} &\dfrac{2}{x-1}=1-\dfrac{x}{x+1},\ x\neq 1\text{ et }x\neq -1\\ \Leftrightarrow &\;\dfrac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\dfrac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)},\ x\neq 1\text{ et }x\neq -1\\ \Leftrightarrow&\; 2(x+1)=x^2-1-x(x-1),\ x\neq 1\text{ et }x\neq -1\\ \Leftrightarrow&\; 2x+2=x^2-1-x^2+x,\ x\neq 1\text{ et }x\neq -1\\ \Leftrightarrow&\; 2x+2-x^2+1+x^2-x=0,\ x\neq 1\text{ et }x\neq -1\\ \Leftrightarrow&\; x+3=0,\ x\neq 1\text{ et }x\neq -1\\ \Leftrightarrow &\; x=-3,\ x\neq 1\text{ et }x\neq -1\\ \Leftrightarrow&\; \boxed{S=\{-3\}}\end{align} \]

1. On a: \[ \begin{align} (3x-5)^2=16 & \Longleftrightarrow \left( \begin{array}{l} 3x-5=4\\ \text{ou}\\ 3x-5=-4\end{array} \right. \\ & \Longleftrightarrow \left(\begin{array}{l} 3x=9\\ \text{ou}\\ 3x=1 \end{array} \right. \\ & \Longleftrightarrow \left(\begin{array}{l} x=3\\ \text{ou}\\ x=\dfrac{1}{3} \end{array} \right. \end{align} \]

   On a alors : $\boxed{\mathcal{S}=\left\{3~;\dfrac{1}{3}\right\}}$.

2. On a: \[ \begin{align} \big(x^2-4\big)^2=81 & \Longleftrightarrow \left(\begin{array}{l} x^2-4=9\\ \text{ou}\\ x^2-4=-9\end{array} \right. \\ & \Longleftrightarrow \left(\begin{array}{l} x^2=13\\ \text{ou}\\ x^2=-5 \longleftarrow\text{impossible car }x^2\geqslant0\end{array} \right. \\ & \Longleftrightarrow \left(\begin{array}{l} x=\sqrt{13}\\ \text{ou}\\ x=-\sqrt{13} \end{array} \right. \end{align} \]

   On a alors : $\boxed{\mathcal{S}=\big\{-\sqrt{13}~;\sqrt{13}\big\}}$.

1. 1. Dans le triangle équilatéral ABC, $\angle{ABC}=60^\circ$.

      Dans le triangle NBM rectangle en M, \[ \tan\angle{NBM}=\dfrac{NM}{BM} \] donc : \[ \tan60^\circ=\dfrac{NM}{x}. \] On a donc : \[ \boxed{MN=x\tan60^\circ = x\sqrt{3}} \]

   2. Par symétrie, $BM=QC=x$ et $MH=HQ=3-x$.

      Donc, $MQ=2\times(3-x)$, soit $\boxed{MQ=6-2x}$.

2. On veut que MNPQ soit un carré.

   1. La condition mène à l'égalité : \[ MQ=MN \] c'est-à-dire, d'après la question 1 : \[ \boxed{x\sqrt{3}=6-2x} \]

   2. Si $x\sqrt{3}=6-2x$, alors $x\sqrt{3}+2x=6$.

      Ainsi, $\left(\sqrt{3}+2\right)x=6$, soit : \[ \boxed{x=\dfrac{6}{2+\sqrt{3}}} \] En mathématiques, on a souvent l'habitude de ne pas laisser les résultats sous cette forme (avec un radical au dénominateur).

      On continue donc le calcul ainsi:

      \[ \begin{align} \dfrac{6}{2+\sqrt{3}} & = \dfrac{6\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}\\ & = \dfrac{12-6\sqrt{3}}{4-3}\\ & = 12-6\sqrt{3} \end{align} \]

      de sorte à que le dénominateur soit entier.

      On peut s'assurer que $x < 3$ en trouvant une valeur approchée : \[ x\approx1,6.\]

1. Nous avons le schéma suivant :

   

   Dans le triangle ACH rectangle en H : \[ \sin60^\circ=\dfrac{h}{AC}\qquad\text{donc}\qquad h=AC\sin60^\circ=30\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\underline{15\sqrt{3}}. \]

   1. L'aire d'un triangle est donnée par la formule : $\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$ donc l'aire de ABC est : \[ \mathcal{A}=\dfrac{AB\times h}{2}=\dfrac{30\times15\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\boxed{\mathcal{A}=225\sqrt{3}~\text{m}^2} \]

2. 1. Considérons les points P et Q comme indiqués ci-dessous, de sorte que AA'P et AA'Q soient rectangles respectivement en P et Q (voir schéma page suivante).

      

      \[ \left.\begin{array}{l} AP=AQ\\ (AP)\perp(A'B')\text{ et }(AQ)\perp(A'C') \end{array} \right\rbrace \Rightarrow(A'A)\text{ est la bissectrice de }\widehat{B'A'C'}.\]

      Ainsi, $\widehat{B'A'A}=30^\circ$. Dans le triangle A'AP, rectangle en P, on a donc : \[ \tan\widehat{PA'A}=\dfrac{AP}{A'P}\Rightarrow A'P=\dfrac{AP}{\tan30^\circ}\Rightarrow A'P=\dfrac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\Rightarrow A'P=x\sqrt{3}\;. \] Pour des raisons de symétrie de la figure, on a : $A'B'=2A'P+AB$, soit $A'B'=30+2x\sqrt{3}$.

   2. D'après ce qui a été fait dans la question 1.b, l'aire d'un triangle équilatéral de côté $a$ est égale à $a^2\dfrac{\sqrt{3}}{4}$. Ainsi,

      \[ \begin{align} \mathcal{A}' & = (A'B')^2\times\dfrac{\sqrt{3}}{4}\\ & = \big(30+2x\sqrt{3}\big)^2\dfrac{\sqrt{3}}{4}\\ & = \left[2\big(15+x\sqrt{3}\big)\right]^2\dfrac{\sqrt{3}}{4}\\ \mathcal{A}' & = \big(15+x\sqrt{3}\big)^2\sqrt{3} \end{align} \]

3. 1. L'aire de l'allée ($\mathcal{A}'-\mathcal{A}$) est égale à celle du jardin ($\mathcal{A}$) donc $\mathcal{A}'-\mathcal{A}=\mathcal{A}$.

      En ajoutant $\mathcal{A}$ à droite et à gauche du signe « $=$ », on arrive à l'équation : $\mathcal{A}'=2\mathcal{A}$.

   2. On a:\[ \begin{align} \mathcal{A}'=2\mathcal{A} & \iff \big(15+x\sqrt{3}\big)^2\sqrt{3}=450\sqrt{3}\\ & \iff \big(15+x\sqrt{3}\big)^2=450\\ & \iff 15+x\sqrt{3}=\sqrt{450}\qquad\text{(car }15+x\sqrt{3}>0)\\ & \iff x\sqrt{3}=\sqrt{450}-15\\ & \iff x=\dfrac{\sqrt{450}-15}{\sqrt{3}}\\ & \iff x=\dfrac{15\sqrt{2}-15}{\sqrt{3}}\\ & \iff x=\dfrac{15\big(\sqrt{2}-1\big)\sqrt{3}}{3}\\ & \iff \boxed{x=5\sqrt{3}\big(\sqrt{2}-1\big)} \end{align} \]

On a: \[ \begin{align} \sqrt{3x-2}=7 & \Longleftrightarrow \begin{cases} 3x-2\geqslant0\\ 3x-2=7^2 \end{cases} \\ & \Longleftrightarrow \begin{cases} 3x\geqslant2\\ 3x=49+2 \end{cases} \\ & \Longleftrightarrow \begin{cases} x\geqslant\dfrac 2 3\\ x=\dfrac{51}{3}=17 \end{cases} \end{align} \]

$17\geqslant\dfrac{2}{3}$ donc l'ensemble solution de l'équation est : $\boxed{\mathcal{S}=\{17\}}$.

Notons $x$ le nombre de contrats du représentant. Alors, son salaire se calcule en faisant: \[ 800 + 152x. \] On cherche donc $x$ tel que:\[ \begin{align} 800 + 152x & \geqslant \numprint{2300}\\ 152x & \geqslant \numprint{2300}-800\\ 152x & \geqslant \numprint{1500}\\ x & \geqslant \frac{\numprint{1500}}{152}\\ x & \geqslant 9,87. \end{align} \]

Il faut donc que le représentant vende au moins 10 contrats.

1. $f(x)>g(x)$ : il faut regarder les portions de courbes de $\mathcal{C}_f$ qui sont au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_g$.

   

   Les intervalles de $x$ qui correspondent à ces « morceaux » de courbes sont $\intervOO{-1,6}{0}$ et $\intervOF{3}{5}$ (les bornes ne sont pas incluses -- sauf 5 -- car l'inégalité doit être stricte : $f(x)>g(x)$.

   L'ensemble solution est donc : \[ \boxed{S = \intervOO{-1,6}{0}\cup\intervOF{3}{5}} \]

2. $f(x)\geqslant0$. Il faut regarder les portions de la courbe $\mathcal{C}_f$ qui sont au-dessus de l'axe des abscisses.

   

   L'ensemble solution est : \[ \boxed{S = \intervFF{-2}{1}\cup\intervFF{3}{5}} \]

3. $g(x)\leqslant0$. Il faut regarder ici les morceaux de la courbe $\mathcal{C}_g$ sous l'axe des abscisses.

   

   L'ensemble solution est : \[ \boxed{S = \intervFF{-5}{-3}\cup\intervFF{3}{5}} \]

1. On a \[ \begin{align} |x - 3| = 7 & \iff x-3=7\qquad\text{ou}\qquad x-3=-7\\ & \iff x=10\qquad\text{ou}\qquad x=-4. \end{align} \]

   D'où $\boxed{S=\{-4;10\}}$

2. On a \[ \begin{align} |x + 4| < 5 & \iff x+4 < 5\qquad\text{et}\qquad-(x+4) < 5\\ & \iff x < 5-4\qquad\text{et}\qquad x+4 > -5\\ & \iff x < 1\qquad\text{et}\qquad x > -9.\end{align} \]

   D'où $\boxed{S=\intervOO{-9}{1}}$

   On pourrait aussi résoudre cette inéquation en disant que $|x+4|=|x-(-4)|$ représente la distance entre $x$ et $-4$. Donc $|x + 4| < 5$ signifie que la distance entre $x$ et $-4$ est strictement inférieure à 5, ce qui signifie que $x$ est compris entre $-4-5$ et $-4+5$, c'est-à-dire entre $-9$ et 1.

3. On a \[ \begin{align} |x - 6| \geqslant 2 & \iff x-6\geqslant2\qquad\text{ou}\qquad -(x-6)\geqslant2\\ & \iff x \geqslant 2+6\qquad\text{ou}\qquad x-6 \leqslant -2\\ & \iff x \geqslant8\qquad\text{ou}\qquad x\leqslant4. \end{align} \]

   D'où $\boxed{S=\intervOF{-\infty}{4} \cup \intervFF{8}{+\infty}}$

   $|x - 6| \geqslant 2$ signifie que la distance entre $x$ et 6 doit être supérieure ou égale à 2 et donc que $x$ doit être supérieur ou égal à $6+2$ (donc à 8) ou inférieur ou égal à $6-2$ (donc à 4).

1. $|x + 8| = -1$ est impossible car une valeur absolue est toujours positives ou nulle.

   Ainsi, $S=\varnothing$ (ensemble vide).

   
   

2. On a \[ \begin{align} |x -1| \leqslant 1 & \iff x-1 \leqslant 1\qquad\text{et}\qquad -(x-1)\leqslant1\\ & \iff x \leqslant 1+1\qquad\text{et}\qquad x-1 \geqslant -1\\ & \iff x \leqslant 2 \qquad\text{et}\qquad x \geqslant 0. \end{align} \]

   Donc $\boxed{S=\intervFF{0}{2}}$

   
   

3. On a \[ \begin{align} |x + 2| > 2 & \iff x+2>2 \qquad\text{ou}\qquad -(x+2) > 2\\ & \iff x > 2-2 \qquad\text{ou}\qquad x+2 < -2\\ & \iff x>0 \qquad\text{ou}\qquad x < -4. \end{align} \]

   D'où $\boxed{S = \intervOO{-\infty}{-4}\cup\intervOO{0}{+\infty}}$