1. 45 est un $\textcolor{red}{diviseur}$ de 180.
2. 3 est un $\textcolor{red}{diviseur}$ de 18.
3. 50 est un $\textcolor{red}{multiple}$ de 5.
4. 121 est un $\textcolor{red}{multiple}$ de 11.
5. 2 est un $\textcolor{red}{diviseur}$ de 78.
6. 9 est un $\textcolor{red}{multiple}$ de 3.

1. Les diviseurs de 6 sont : 1, 2, 3 et 6.

   De plus, $1+2+3=6$ donc 6 est un nombre parfait.

2. Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9 et 18.

   Or, $1+2+3+6+9=21$ donc 18 n'est pas parfait.

for i in range(1,501):
	if 500%i == 0:
		print(i)

Ce programme parcourt tous les nombres entiers de 1 à 500 et pour chacun d'eux, teste si le reste de la division euclidienne de 500 par le nombre est nul, auquel cas cela signifie que 500 est divisible par le nombre et ce dernier est affiché.

Ainsi, le programme affiche tous les diviseurs de 500.

$357=3\times7\times17$; ainsi, le numérateur ne doit pas être divisible par 3, 7 et 17.

Notons $x$ le chiffre manquant.

• pas divisible par 3, donc la somme de ses chiffres ne doit pas être divisible par 3. \[ 4+5+x=9+x \] donc $x$ ne doit pas être égal à 0, 3, 6 ou 9. Donc $x$ peut être égal à : \[ 1,\ 2\, 4\, 5,\ 7,\ 8. \]

• 451 n'est divisible ni par 7, ni par 17 donc $x=1$ est possible;

  452 n'est divisible ni par 7, ni par 17 donc $x=2$ est possible;

  454 n'est divisible ni par 7, ni par 17 donc $x=4$ est possible;

  455 est divisible par 7 donc $x\neq0$;

  457 n'est divisible ni par 7, ni par 17 donc $x=7$ est possible;

  458 n'est divisible ni par 7, ni par 17 donc $x=8$ est possible.

Il existe deux entiers $k$ et $k'$ tels que $x=11k$ et $y=11k'$ car $x$ et $y$ sont multiples de 11. \[ x+y=132\iff 11(k+k')=132 \iff k+k'=\dfrac{132}{11}=12.\] De plus, $x < y$ donc $k < k'$. Les différentes valeurs pour $k$ et $k'$ sont :

def mystere(n):
for i in range(2,n):
	if n % i == 0:
		return False
	return True

Expliquons pas à pas chaque ligne du programme:

• $\texttt{def mystere(n):}$

  Une fonction est ici définie: elle admet pour « variable » $\texttt{n}$ (on dit que c'est un argument de la fonction Python).

• $\texttt{for i in range(2,n):}$

  « $\texttt{for}$ » désigne une boucle itérative (« Pour »). Ici, la variable $\texttt{i}$ va prendre ses valeurs dans $\texttt{range(2,n)}$, c'est-à-dire dans la liste $\texttt{[2,3,4,...,n-1]}$. Donc $\texttt{i}$ vaudra successivement 2, 3, 4, etc. jusqu'à $\texttt{n-1}$.

• $\texttt{if a % i == 0:}$

  À chaque itération, c'est-à-dire à chaque fois que $\texttt{i}$ prendra une nouvelle valeur, on teste si le reste de la division euclidienne de $\texttt{n}$ par $\texttt{i}$ vaut « 0 », c'est-à-dire si $\texttt{n}$ est divisible par $\texttt{i}$. Si c'est le cas, on exécute l'instruction suivante (à savoir : « $\texttt{return False}$ ». La fonction renvoie donc ici « $\texttt{False}$ » si $\texttt{n}$ est divisible par $\texttt{i}$.

• $\texttt{return True}$

  Cette instruction est en dehors de la boucle itérative « $\texttt{for i in range(2,n)}$ » : elle s'exécute donc si on sort de la boucle, c'est-à-dire si la fonction n'a pas renvoyé « $\texttt{False}$ ».

À la vue de tout ceci, on peut alors dire que la fonction renvoie « $\texttt{False}$ » s'il existe un diviseur de l'argument $\texttt{n}$, et renvoie « $\texttt{True}$ » dans le cas contraire.

Ce programme teste donc si $\texttt{n}$ est un nombre premier: elle renvoie « $\texttt{True}$ » si c'est le cas, et « $\texttt{False}$ » dans le cas contraire.

Notons $n-1$, $n$ et $n+1$ trois entiers consécutifs quelconques. Leur somme est donc : \[ n-1+n+n+1=3n. \] Ainsi, la somme est un multiple de 3 (car $n$ est un entier). Elle est donc toujours divisible par 3.

1. $A=\dfrac{231}{273}=\dfrac{231\div3}{273\div3}=\dfrac{77}{91}=\dfrac{77\div7}{91\div7}=\boxed{\dfrac{11}{13}}$.
2. $B=\dfrac{175}{275}=\dfrac{175\div5}{275\div5}=\dfrac{35}{55}=\dfrac{35\div5}{55\div5}=\boxed{\dfrac{7}{11}}$.

Pour répondre à la question, on peut effectuer une division euclidienne de 500 par 13:

On constate alors que $38\times13+6=500$, ce qui signifie que $38\times13=500-6$.

Le plus petit multiple de 13 supérieur ou égal à 500 est donc $38\times13+13=500-6+13=507$.

On peut effectuer la division euclidienne de 7800 par 11:

Ainsi, $709\times11+1=7800$, et donc $709\times11=7800-1=7799$.

Le plus grand multiple de 11 inférieur à 7800 est donc 7799.

1. Faux. En effet, $13$ et $20$ sont deux entiers naturels, mais $13-20=-7$. Le résultat est ici un entier relatif.

   Pour montrer qu'une proposition est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple.

2. Vrai. En effet, si $p$ et $q$ sont deux entiers relatifs, $7p$ et $7q$ sont des multiples de 7.

   De plus, $7p+7q = 7(p+q)$. Donc la somme s'écrit comme le produit de 7 par un entier ($p+q$). La somme est donc bien un multiple de 7.

3. Faux. En effet, 4 et 3 sont deux diviseurs de 12. Cependant, $4+3=7$ n'est pas un diviseur de 12.
4. Faux. En effet, 1 et 2 sont deux entiers relatifs non nuls; cependant $\dfrac{1}{2}=0,5$ n'est pas entier.

D'après le cours, si $a$ et $b$ sont impairs alors $a^2$ et $b^2$ sont aussi impairs.

Alors, il existe deux entiers relatifs $p$ et $q$ tels que: \[ a^2=2p+1\text{ et }b^2=2q+1. \] Ainsi, leur somme est: \begin{align} a^2+b^2&=2p+1+2q+1\\&=2p+2q+2\\&=2(p+q+1).\end{align} \] La somme est donc un multiple de 2. Elle est donc paire.

Notons $n$ un entier relatif.

Alors, $n-1$ est l'entier qui le précède, et $n+1$ est celui qui le succède.

Ainsi, $n-1$, $n$ et $n+$ sont trois entiers relatifs consécutifs.

Leur somme vaut: \[ (n-1)+n+(n+1)=3n-1+1=3n. \] On peut alors dire que cette somme est un multiple de 3, quelle que soit la valeur entière de $n$.

1. $10000=909\times11+1$ et $100=9\times11+1$.
2. $1000=91\times11-1$.
3. 
   \[ \begin{align} n & =10^4a+10^3b+10^2c+10d+e\\ & = (909\times11+1)a + (91\times11-1)b + (9\times11+1)c+(11-1)d+e\\ & = 909\times11a+a+91\times11b-b+9\times11c+c+11d-d+e\\ & = 11(909a+91b+9c+d)+a-b+c-d+e\\ & = 11(909a+91b+9c+d) + (a+c+e)-(b+d).\end{align} \]

   Ainsi, $n$ est divisible par 11 uniquement si $(a+c+e)-(b+d)$ l'est aussi, ce qui justifie l'équivalence.

4. $2+6+7=15$ et $3+1=4$; de plus, $15-4=11$, résultat divisible par 11, donc 71632 est divisible par 11.

1. Nous alors raisonner par implications.

   Démontrer que:

   si la propriété $p$ est vraie alors la propriété $q$ est vraie

   revient à démontrer l'implication: \[ p\text{ vraie } \implies q\text{ vraie}. \]

   \[ \begin{align} & n\text{ impair } \\ \implies & \exists k\in\N,\ n=2k+1\\ \implies & \exists k\in\N,\ n^2=(2k+1)^2\\ \implies & \exists k\in\N,\ n^2=(2k)^2\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +2\times2k\times1+1^2\\ \implies & \exists k\in\N,\ n^2=4k^2+4k+1\\ \implies & \exists k\in\N,\ n^2-1=4k^2+4k\\ \implies & \exists k\in\N,\ n^2-1=4k(k+1). \end{align} \]

   Or, le produit $k(k+1)$ est nécessairement pair. En effet,

   • si $k$ est pair, $k(k+1)$ est pair;
   • si $k$ est impair, $k+1$ est pair et donc $k(k+1)$ est pair.
   Ainsi, on peut écrire: \[ k(k+1)=2K,\ K\in\N. \] Alors,

   \[ \begin{align} & n\text{ impair }\\ \implies & \exists K\in\N,\ n^2-1=4k^2+4k\\ \implies & \exists K\in\N,\ n^2-1=4\times2K\\ \implies & \exists K\in\N,\ n^2-1=8K\\ \implies & n^2-1\text{ est divisible par 8}. \end{align} \]

   Ainsi, si $n$ est impair alors 8 divise $n^2-1$.

2. 
   

   \begin{align} 2^n+2^{n+1}&=2^n\times1+2^{n}\times2\\ &=2^n(1+2)\\ &=2^n\times3. \end{align}

   Ainsi, $2^n+2^{n+1}=3\times2^n$, donc est divisible par 3.