1. $u_n = 2n^2-3n+1$ pour tout entier naturel $n$.

   $\suite{u}{n}{}$ est ici définie à l'aide d'une formule explicite (en fonction de $n$, sans faire référence au terme précédent).

   Les trois premiers termes de cette suite sont:

   • $u_0=2\times0^2-3\times0+1 = 1$.
   • $u_1=2\times1^2-3\times1+1 = 0$.
   • $u_2=2\times2^2-3\times2+1 = 3$.

2. $\begin{cases} u_0=-2\\u_{n+1}=3u_n-2\quad\text{pour tout entier naturel }n\end{cases}$

   $\suite{u}{n}{}$ est ici définie à l'aide d'une relation de récurrence (le terme $u_{n+1}$, de rang $n+1$, est défini en fonction de $u_n$, donc de son terme précédent).

   Les trois premiers termes de cette suite sont:

   • $u_0=-2$ (donné).
   • $u_1=3u_0-2=3\times(-2)-2=-8$.
   • $u_2=3u_1-2=3\times(-8)-2=-26$.

3. $\begin{cases} u_0=1\\u_{n+1}=u_n^2-1\quad\text{pour tout entier naturel }n\end{cases}$

   $\suite{u}{n}{}$ est ici définie à l'aide d'une relation de récurrence.

   Les trois premiers termes de cette suite sont:

   • $u_0=1$ (donné).
   • $u_1=u_0^2-1=1^2-1=0$.
   • $u_2=u_1^2-1=0^2-1=-1$.

4. $\begin{cases} u_0=1\\u_{n+1}=2u_n-3n\quad\text{pour tout entier naturel }n\end{cases}$

   $\suite{u}{n}{}$ est ici définie à l'aide d'une relation de récurrence (le terme $u_{n+1}$, de rang $n+1$, est défini en fonction de $u_n$, donc de son terme précédent, même s'il y a un terme en $n$ avec lui).

   Les trois premiers termes de cette suite sont:

   • $u_0=1$ (donné).
   • $u_1=u_{\textcolor{red}{0}+1}=2u_{\textcolor{red}{0}}-3\times\textcolor{red}{0}=2\times1=2$.
   • $u_2=u_{\textcolor{red}{1}+1}=2u_{\textcolor{red}{1}}-3\times\textcolor{red}{1}=2\times4-3=5$.

1. $u_n=\dfrac{2^n}{5}$.

   \[ \begin{align} u_{n+1}-u_n & = \dfrac{2^{n+1}}{5}-\dfrac{2^n}{5} = \dfrac{2^{n+1}-2^n}{5}\\ & = \dfrac{2^n\times2^1-2^n\times1}{5} = \dfrac{2^n(2^1-1)}{5}\\ & = \dfrac{2^n}{5} \\ u_{n+1}-u_n & >0. \end{align} \]

   Ainsi, $\suite{u}{n}{}$ est croissante.

2. $u_n=-n^2+5n-2$.

   \[ \begin{align} u_{n+1}-u_n & = -(n+1)^2+5(n+1)-2-(-n^2+5n-2) \\ & = -(n^2+2n+1)+5n+5-2+n^2-5n+2\\ & = -n^2-2n-1+5n+5-2+n^2-5n+2\\ & = -2n+4.\end{align} \]

   $-2n+4>0 \iff -2n>-4 \iff n < 2$ donc $u_{n+1}-u_n<0$ pour $n\geqslant2$.

   La suite $\suite{u}{n}{}$ est donc décroissante à partir du rang 2.

3. $u_n=\sqrt{n^2+3}$.

   \[ \begin{align} u_{n+1}-u_n & = \sqrt{(n+1)^2+3}-\sqrt{n^2+3}\\ & = \sqrt{n^2+2n+4}-\sqrt{n^2+3}.\end{align} \]

   Or, $n^2+4>n^2+3$ donc $n^2+2n+4>n^2+3$ (car $n\geqslant0$), donc $u_{n+1}-u_n>0$.

   Ainsi, la suite $\suite{u}{n}{}$ est croissante.

4. $u_0=3$ et $u_{n+1}=u_n-5$.

   $u_{n+1}-u_n=u_n-5-u_n=-5<0$ donc $\suite{u}{n}{}$ est décroissante.

1. On calcule pour tout entier naturel $n$ :

   \[ \begin{align} u_{n+1}-u_n & = \dfrac{2(n+1)+1}{(n+1)+1}-\dfrac{2n+1}{n+2}\\ & = \dfrac{2n+3}{n+3}-\dfrac{2n+1}{n+2}\\ & = \dfrac{(2n+3)(n+2)}{(n+3)(n+2)}-\dfrac{(2n+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)}\\ & = \dfrac{3}{(n+2)(n+3)}. \end{align} \]

   $n+2>0$ et $n+3>0$ car $n\in\N$ donc $u_{n+1}-u_n>0$.

   La suite $\suite{u}{n}{}$ est donc croissante.

2. Si la suite $\suite{u}{n}{}$ est majorée par 2, alors $u_n < 2$ donc $u_n-2 < 0$ pour tout $n\in\N$.

   \[ \begin{align} u_n-2 & = \dfrac{2n+1}{n+2}-2\\[8pt] & = \dfrac{2n+1}{n+2}-\dfrac{2(n+2)}{n+2}\\[8pt] & = \dfrac{2n+1-2n-4}{n+2}\\[8pt] & = \dfrac{-3}{n+2}. \end{align} \]

   $-3 < 0$ et $n+2 > 0$ donc $u_n-2 < 0$, soit $u_n < 2$.

   Donc la suite est majorée par 2.

3. La suite est croissante donc, nécessairement, $u_n\geqslant u_0$ pour tout entier naturel $n$, soit $u_n \geqslant\dfrac{1}{2}$.

   La suite est donc minorée par $\dfrac{1}{2}$.

Pour tout entier naturel $n$:

\[ \begin{align} u_{n+1}-u_n & = u_n^2-u_n+1-u_n\\ & = u_n^2-2u_n+1 = (u_n-1)^2 \geqslant 0. \end{align} \]

Ainsi, $u_{n+1}\geqslant u_n$, donc $\suite{u}{n}{}$ est croissante.

On calcule $u_{n+1}-u_n$ pour tout entier naturel $n$ :

\[ \begin{align} u_{n+1}-u_n & =\sqrt{u_n^2+1}-u_n = \dfrac{\big(\sqrt{u_n^2+1}-u_n\big)\big(\sqrt{u_n^2+1}+u_n\big)}{\sqrt{u_n^2+1}+u_n}\\ & = \dfrac{u_n^2+1-u_n^2}{\sqrt{u_n^2+1}+u_n}\\& = \dfrac{1}{\sqrt{u_n^2+1}+u_n}.\end{align} \]

$u_n>0$ car chaque terme est défini comme étant égal à une racine carrée.

De plus, $\sqrt{u_n^2+1}>0$ donc $u_{n+1}-u_n>0$.

La suite est donc croissante.

1. On a:\[ \begin{align} u_n & = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\\ & = \dfrac{\big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\big)\big(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\big)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\quad\text{(on multiplie par l'expression conjuguée)}\\ & = \dfrac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\ u_n & = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.\end{align} \]

2. $u_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$.

   Or, $n+2>n$ donc $\sqrt{n+2}>\sqrt{n}$ et donc, en ajoutant $\sqrt{n+1}$ aux deux membres de cette dernière inégalité, on a $\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}>\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$.

   En inversant, on obtient : $\dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} < \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ (attention à ne pas oublier d'inverser le signe de l'inégalité).

   Ceci nous dit alors que $u_{n+1} < u_n$, et donc que $\suite{u}{n}{}$ est décroissante.

3. $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>0$ donc $u_n>0$.

   $\suite{u}{n}{}$ est donc minorée par 0.

   De plus, $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\geqslant1$ (car $\sqrt{n+1}\geqslant1$ et $\sqrt{n}\geqslant0$) donc $\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\leqslant1$, soit $u_n\leqslant1$.

   $\suite{u}{n}{}$ est donc majorée par 1.

1. $u_n=3+2n$.

   La fonction $x\mapsto3+2x$ est une fonction affine donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=3$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=2$.

   Dans ce cas, la relation de récurrence de $\suite{u}{n}{}$ est :\[ \begin{cases} u_0=3\\u_{n+1}=u_n+2 \end{cases} \]

2. $u_n=-3n + 4$.

   La fonction $x\mapsto-3x+4$ est une fonction affine donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=4$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=-3$.

   Dans ce cas, la relation de récurrence de $\suite{u}{n}{}$ est : \[\begin{cases}u_0=4\\u_{n+1}=u_n-3\end{cases}\]

3. $u_n=2n^2-1$.

   La fonction $x\mapsto2x^2-1$ n'est pas une fonction affine, donc $f(n)=u_n$ n'est pas une suite arithmétique.

   Autre méthode: $u_0=-1$, $u_1=1$ et $u_2=7$.

   Ainsi, $u_1-u_0=2$ et $u_2-u_1=6 \neq u_1-u_0$ donc la suite n'est pas arithmétique.

4. $u_n=3(n-2)-2(n+1)$.

   On peut écrire : $u_n=3n-6-2n-2=n-8$. La fonction $x\mapsto x-8$ est une fonction affine donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=-8$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=1$.

   Dans ce cas, la relation de récurrence de $\suite{u}{n}{}$ est : \[\begin{cases} u_0=-8\\u_{n+1}=u_n+1\end{cases}\]

5. $u_n=\dfrac{5n+7}{2}$.

   On peut écrire : $u_n=\dfrac{5n}{2}+\dfrac{7}{2}=\dfrac{5}{2}n+\frac{7}{2}$.

   La fonction $x\mapsto\dfrac{5}{2}x+\dfrac{7}{2}$ est une fonction affine donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=\dfrac{7}{2}$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=\dfrac{5}{2}$.

   Dans ce cas, la relation de récurrence de $\suite{u}{n}{}$ est : \[\begin{cases}u_0=\frac{7}{2}\\u_{n+1}=u_n+\frac{5}{2}\end{cases}\]

6. $u_n=n\sqrt5$.

   La fonction $x\mapsto x\sqrt5$ est une fonction affine (même linéaire) donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=0$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=\sqrt5$.

   Dans ce cas, la relation de récurrence de $\suite{u}{n}{}$ est : \[\begin{cases}u_0=0\\u_{n+1}=u_n+\sqrt5\end{cases}\]

7. $u_n=3-n\sqrt2$.

   La fonction $x\mapsto3-x\sqrt2 $ est une fonction affine donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=3$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=-\sqrt2$.

   Dans ce cas, la relation de récurrence de $\suite{u}{n}{}$ est : \[\begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=u_n-\sqrt2\end{cases}\]

8. $u_n=7-\dfrac{3}{n+2}$.

   $u_0=7-\dfrac{3}{0+2}=\dfrac{11}{2}$.

   $u_1=7-\dfrac{3}{1+2} = 6$.

   $u_2=7-\dfrac{3}{2+2}=\dfrac{25}{4}$.

   Ainsi, $u_1-u_0=\dfrac{1}{2}$ et $u_2-u_1=\dfrac{1}{4}\neq u_1-u_0$ donc $\suite{u}{n}{}$ n'est pas une suite arithmétique.

9. $u_n=3$.

   Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=3-3=0$, qui est un nombre constant, donc $\suite{u}{n}{}$ est une suite arithmétique de raison $r=0$ et de premier terme $u_0=3$.

   Dans ce cas, la relation de récurrence de $\suite{u}{n}{}$ est : \[\begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=u_n\end{cases}\]

1. $\begin{cases} u_0=-1\\ u_{n+1}=u_n-\sqrt2\end{cases}$

   D'après cette définition, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=-\sqrt2$. La différence entre deux termes consécutifs quelconque est donc toujours la même; par conséquent, $\suite{u}{n}{}$ est une suite arithmétique, ici de raison $r=-\sqrt2$.

   D'après le cours, son terme général est : \[ u_n= u_0+nr = -1-n\sqrt2. \]

2. $\begin{cases}u_0=-1\\ u_{n+1}=2u_n+1\end{cases}$

   D'après cette définition, pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1}-u_n=(2u_n+1)-u_n=u_n+1.\] La différence entre deux termes consécutifs quelconque n'est donc pas toujours la même; par conséquent, $\suite{u}{n}{}$ n'est pas une suite arithmétique.

3. $\begin{cases}u_0=-1\\ u_{n+1}=u_n^2+3\end{cases}$

   D'après cette définition, pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1}-u_n=(u_n^2+3)-u_n=u_n^2-u_n+3.\] La différence entre deux termes consécutifs quelconque n'est donc pas toujours la même; par conséquent, \suite{u}{n}{} n'est pas une suite arithmétique.

4. $\begin{cases}u_1=-1\\ u_{n+1}=u_n+2\end{cases}$

   D'après cette définition, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=2$ La différence entre deux termes consécutifs quelconque est donc toujours la même; par conséquent, \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique, ici de raison $r=2$.

   D'après le cours, son terme général est : \[ u_n= u_1+(n-1)r = -1+(n-1)\times2=-1+2n-2=2n-1. \]

   Ici, la suite commence à $u_1$ et non $u_0$; il faut donc utiliser la formule explicite générale: \[ u_n = u_p + (n-p)r. \]

1. $u_0=3$ et $u_8=7$. Calculer $r$.

   On sait que : \[ u_n=u_0+nr\] donc : \[ \begin{align} u_8 & =u_0+8r\\ 7 & = 3+8r\\ 7-3&=8r\\ r&=\dfrac{4}{8}\\ r & = \dfrac{1}{2}. \end{align} \]

2. $u_2=5$ et $u_5=2$. Calculer $r$.

   On sait que : \[ u_n=u_k+(n-k)r\] donc: \[ \begin{align} u_5 & =u_2+(5-2)r\\ 2 & = 5+3r\\ 2-5&=3r\\ 3r&=-3\\ r & = -1. \end{align} \]

3. $u_0=5$ et $r=-\dfrac{1}{2}$. Calculer $u_9$.

   On sait que : \[ u_n=u_0+nr\] donc: \[ \begin{align} u_9 & =u_0+9r\\ u_9 & = 5-\dfrac{9}{2}\\ u_9 & =\dfrac{10}{2}-\dfrac{9}{2}\\ u_9 & = \dfrac{1}{2}. \end{align} \]

4. $u_5=6$ et $r=2$. Calculer $u_{20}$.

   On sait que : \[ u_n=u_k+(n-k)r\] donc:\[ \begin{align} u_{20} & =u_5+(20-5)r\\ u_{20} & = 6 + 15\times2\\ u_{20} & = 6+30\\ u_{20} & = 36. \end{align} \]

5. $u_7=\sqrt{2}$ et $u_2=\sqrt{7}$. Calculer $r$.

   On sait que : \[ u_n=u_k+(n-k)r\] donc: \[ \begin{align} u_7 & =u_2+(7-2)r\\ \sqrt{2} & = \sqrt{7} + 5r\\ 5r & =\sqrt{2}-\sqrt{7} \\ r & = \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{5}.\end{align} \]

1. Si $u_0=5$ et $r=3$, calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{100}$.

   $\suite{u}{n}{}$ est une suite arithmétique donc : \[ u_0+u_1+\cdots+u_n=\dfrac{u_0+u_n}{2}\times(n+1) \] donc ici :

   \[ \begin{align} u_0+u_1+\cdots+u_{100} & = \dfrac{5+(5+100\times3)}{2}\times101\\ & = 155\times101\\ u_0+u_1+\cdots+u_{100} & = \numprint{15655}. \end{align} \]

2. Si $u_0=3$ et $u_{50}=60$, calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{50}$.

   \[ \begin{align} u_0+u_1+\cdots+u_{50} & = \dfrac{3+60}{2}\times51\\ & = 31,5\times51\\ u_0+u_1+\cdots+u_{50} & = \numprint{1606,5}. \end{align} \]

3. Si $u_1=60$ et $r=5$, calculer $u_1+u_2+\cdots+u_{100}$.

   \[ \begin{align} u_1+u_2+\cdots+u_{100} & = \dfrac{u_1+u_{100}}{2}\times100\\ & = \dfrac{60+(60+5\times99)}{2}\times100\\ & = \dfrac{\numprint{61500}}{2}\\ u_1+u_2+\cdots+u_{100} & = \numprint{30750}. \end{align} \]

4. Si $u_1=50$ et $u_{50}=1$, calculer $u_1+u_2+\cdots+u_{50}$.

   \[ \begin{align} u_1+u_2+\cdots+u_{50} & = \dfrac{u_1+u_{50}}{2}\times50\\ & = \dfrac{50+1}{2}\times50\\ u_1+u_2+\cdots+u_{50} & = \numprint{1275}. \end{align} \]

1. $\suite{u}{n}{}$ étant arithmétique, $u_2-u_0=2r$.

   Or, $u_2-u_0=\numprint{6712}-\numprint{7820}=-\numprint{1108}$. Donc $2r=-\numprint{1108}$, d'où $r=-554$.

   Ainsi, la relation de récurrence de $\suite{u}{n}{} est$: \[ \boxed{ \begin{cases} u_0=\numprint{7820}\\u_{n+1}=u_n-554 \end{cases} } \]

2. D'après la formule du cours, $u_n=u_0+nr$, donc ici, pour tout entier naturel $n$: \[ \underline{u_n = \numprint{7820}-554n}. \]

3. Il s'agit ici de trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n < \numprint{1000}$. Pour cela, on va calculer tous les termes successifs jusqu'à celui qui est inférieur à 1000.

   Il y a deux façons de procéder :

   • à l'aide de la relation de récurrence de la suite:

     
     u = 7820 # premier terme
     n = 0    # rang du premier terme
     while u >= 1000:
     	n = n + 1
     	u = u - 554 # on calcule le terme suivant
     
     print( n )
     
     

   • à l'aide de la formule explicite :

     u = 7820 # premier terme
     n = 0    # rang du premier terme
     while u >= 1000:
     	n = n + 1
     	u = 7820 - 554*n # on calcule le terme suivant
     
     print( n )

   Dans les deux cas, le résultat est le même:

   13

   Ce qui signifie que $u_{13}$ est le premier terme à être inférieur à 1000.

   Pour le vérifier par le calcul, on résout l'inéquation :

   \[ \begin{align} u_n < \numprint{1000} & \iff \numprint{7820}-554n < \numprint{1000}\\[6pt] & \iff -554n < \numprint{1000}-\numprint{7820}\\[6pt] & \iff -554n < -\numprint{6820}\\[6pt] & \iff n > \dfrac{-\numprint{6820}}{-554}\\[6pt] & \iff n > 12,31\ldots \end{align} \]

   Comme $n$ est un entier, cela signifie que le premier $n$ possible est $n=13$, ce qui correspond bien au résultat de nos programmes Python.

1. 1. Lors de l'appel $\texttt{saut(4)}$, la variable $\texttt{k}$ varie de 2 à 4 inclus. Donc, à $\texttt{s=8}$, on ajoute 0,1 trois fois.

      La valeur renvoyée est donc $\texttt{s=8.3}$.

   2. Le résultat obtenu à la question précédente signifie que Fanny fera un saut de 8,3 m.

2. Par définition, $(s_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=0,1$ .

   Ainsi, pour tout entier naturel $n \geqslant1$, $s_n=s_1+(n-1)r$, soit $s_n=8+0,1(n-1)$, ou encore: \[ \boxed{s_n=7,9+0,1n} \]

3. On souhaite résoudre l'inéquation : \[ \begin{align} s_n \geqslant 12 & \iff 7,9+0,1n \geqslant12\\ & \iff 0,1n \geqslant 12-7,9\\ & \iff 0,1n \geqslant 4,1\\ &\iff n \geqslant \dfrac{4,1}{0,1}\\ & \iff n \geqslant 41.\end{align} \]

   Ainsi, Fanny arrivera à faire des bonds plus grands que 12 mètres à partir de la 41^ème semaine.

1. $u_2=u_1+52=130+52=182$;

   $u_3=u_2+52=182+52=234$.

2. Par définition, $u_{n+1}=u_n+52$ donc $\suite{u}{n}{}$ est une suite arithmétique de premier terme $u_1=130$ et de raison $r=52$.

   On en déduit alors que pour tout entier $n\geqslant1$, \[ u_n=u_1+(n-1)r, \] c'est-à-dire: \[ u_n = 130 + (n-1)\times52 \] ou encore: \[ \boxed{u_n=52n+78} \]

3. $S_2$ correspond au coût de forage pour 2 mètres donc: \[ S_2 = u_1+u_2=130+182=312. \] De même, \[ S_3=u_1+u_2+u_3=S_2+u_3=312+234=546. \]

4. La fonction complétée est :

   
   def nombre_metre(S):
   	C = 130
   	n = 1
   	while C < S:
   		C = C + 52*(n+1)+78
   		n = n + 1
   	return n

   Attention ici: l'instruction « $\texttt{n = n + 1}$ » étant après « $\texttt{C = C + ...}$ », il faut penser à ajouter 1 à $n$ dans la formule...

   Dans cette dernière fonction, à chaque passage dans la boucle, on ajoute à $\texttt{C}$ la valeur de $u_n$ car c'est ainsi que cela se passe réellement.

5. On cherche ici le premier entier $n$ pour lequel $S_n \leqslant \numprint{116610}$: \[ S_n \leqslant\numprint{116610} \iff 26n^2+104n-\numprint{116610}\leqslant0. \] Le discriminant du polynôme $26n^2+104n-\numprint{116610}$ est: \[ \Delta = 104^2-4\times26\times(-\numprint{116610})=\numprint{12138256}=\numprint{3484}^2, \] donc il admet deux racines: \[ n_1=\dfrac{-104-\numprint{3484}}{2\times26}=-69 \] et \[ n_2=\dfrac{-104+\numprint{3484}}{2\times26}=65. \] Seules les valeurs de $n$ strictement positives nous intéressent donc $26n^2+104n-\numprint{116610}\leqslant0$ pour $n\geqslant65$.

   Ainsi, $\texttt{nombre_metre(116610)}$ renvoie le nombre 65.

1. $u_0=5$ et $u_2=12$. Calculer $q$.

   On sait que : \[ u_n=u_0\times q^n\] donc:

   \[ \begin{align} u_2 & = u_0\times q^2\\ 12 & = 5\times q^2\\ q^2 & = \dfrac{12}{5}\\ q & = \sqrt{\dfrac{12}{5}} \qquad\text{ou}\qquad q=-\sqrt{\dfrac{12}{5}}.\end{align} \]

2. $u_0=3$ et $q=2$. Calculer $u_9$.

   On sait que : \[ u_n=u_0\times q^n \] donc: \[ \begin{align} u_9 & = u_0\times q^9\\ u_9 & = 3\times 2^9\\ u_9 & = \numprint{1536}.\end{align} \]

3. $u_2=8$ et $q=\dfrac{1}{2}$. Calculer $u_8$.

   On sait que : \[ u_n=u_k\times q^{n-k} \] donc: \[ \begin{align} u_8 & = u_2\times q^{8-2}\\ u_8 & = 8\times 2^{-6}\\ u_8 & = 2^{-3}. \end{align} \]

4. $u_0=2$ et $q=\dfrac{1}{3}$. Calculer $u_{10}$.

   On sait que : \[ u_n=u_0\times q^n \] donc: \[ \begin{align} u_{10} & = u_0\times q^{10}\\ u_{10} & = 2\times 3^{-10}\\ u_{10} & = \dfrac{2}{3^{10}}. \end{align} \]

5. $u_5=2$ et $q=\sqrt 2$. Calculer $u_7$.

   On sait que : \[ u_n=u_k\times q^{n-k} \] donc: \[ \begin{align} u_7 & = u_5\times q^{7-5}\\ u_7 & = 2\times \sqrt{2}^2\\ u_7 & =4. \end{align} \]

1. Si $u_0=1$ et $q=2$, calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{100}$.

   $\suite{u}{n}{}$ est une suite géométrique donc : \[ u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}. \]

   Donc ici, \[ \begin{align} u_0+u_1+\cdots+u_{100} & = \dfrac{1-2^{101}}{1-2}\\ u_0+u_1+\cdots+u_{100} & = 2^{101}-1. \end{align} \]

2. Si $u_0=3$ et $q=\dfrac{1}{2}$, calculer $u_0+u_1+\cdots+u_{50}$.

   \[ \begin{align} u_0+u_1+\cdots+u_{50} & = 3\times\dfrac{1-\frac{1}{2^{51}}}{1-\frac{1}{2}}\\ & = 3\left(1-\dfrac{1}{2^{51}}\right)\times2\\ u_0+u_1+\cdots+u_{50} & = 6\left(1-\dfrac{1}{2^{51}}\right). \end{align} \]

3. Si $u_1=60$ et $q=\dfrac{1}{3}$, calculer $u_1+u_2+\cdots+u_{100}$.

   \[ \begin{align} u_1+u_2+\cdots+u_{100} &= u_1\times\dfrac{1-q^{100}}{1-q}\\ & = 60\times\dfrac{1-\frac{1}{3^{100}}}{1-\frac{1}{3}}\\ & = 60\left(1-\dfrac{1}{3^{100}}\right)\times\dfrac{3}{2}\\ u_1+u_2+\cdots+u_{100} & = 45\left(1-\dfrac{1}{3^{100}}\right). \end{align} \]

4. Si $u_1=50$ et $q=10$, calculer $u_1+u_2+\cdots+u_{50}$.

   \[ \begin{align} u_1+u_2+\cdots+u_{50} & = 50\times\dfrac{1-10^{50}}{1-10}\\ u_1+u_2+\cdots+u_{50} & = \dfrac{50}{9}\big(10^{50}-1\big). \end{align} \]

1. Par définition, $d_2=d_1+ \dfrac{5}{100}d_1 = 1,05d_1=1,05 \times 20 = 21$.

   De même, $d_3 = 1,05 d_2 = 1,05 \times 21 = 22,05$.

2. En s'inspirant des calculs précédents, on peut dire que pour tout entier $n\geqslant 1$, \[ \boxed{d_{n+1}=1,05 d_n} \]
3. D'après la relation de récurrence trouvée, $\suite{d}{n}{}$ est une suite géométrique de premier terme $d_1=20$ et de raison $q=1,05$. Ainsi, d'après le cours, pour tout $n\geqslant1$, on a: \[ d_n = d_1 \times q^{n-1} \] soit: \[ \boxed{d_n=20 \times 1,05^{n-1}} \]
4. Dans cette question, on cherche $d_{10}$: \[ d_{10}=20\times1,05^{10}\approx32,57789 \] Donc Bob va courir environ 32578 mètres lors de son 10èmeentraînement.

5. Le script complété est le suivant:

   n = 1
   d = 20
   while d < 43:
   	n = n + 1
   	d = 1.05 * d

   Si on demande d'afficher la valeur de $n$ trouvée, on a : $n=17$.

1. Au jour 1, Léonard consomme la moitié d'eau ; donc il lui reste 50 litres. Il ajoute ensuite 20 litres d'eau donc $e_1=70$.

   Au jour 1, il consomme $\pourcent{30}$ de lait donc il lui reste 70 litres de lait ; il ajoute ensuite 10 litres de lait donc $\underline{\ell_1=80}$.

2. • Pour $\suite{e}{n}{}$ : pour passer de $e_{n}$ à $e_{n+1}$, on doit multiplier par $\dfrac{1}{2}$ (ou diviser par 2). On a alors à ce stade : $e_{n+1}=\dfrac{1}{2}e_n$. Ensuite, on ajoute 20 litres donc finalement, $\boxed{e_{n+1}=\dfrac{1}{2}e_n+20}$
   • Pour $\suite{\ell}{n}{}$ : pour passer de $\ell_{n}$ à $\ell_{n+1}$, on doit multiplier par $0,7$ (car enlever \pourcent{30} de la quantité signifie qu'il en reste $\pourcent{70}$). On a alors à ce stade : $\ell_{n+1}=0,7\ell_n$. Ensuite, on ajoute 10 litres donc finalement, $\boxed{\ell_{n+1}=0,7\ell_n+10}$

3. 1. On a : \[ \begin{align} u_{n+1} & =e_{n+1}-40\\ & = \dfrac{1}{2}e_n+20-40\\ & = \dfrac{1}{2}e_n-20\\ & = \dfrac{1}{2}\left(e_n-\dfrac{20}{\frac{1}{2}}\right)\\ & = \dfrac{1}{2}(e_n-40) \\&= \dfrac{1}{2}u_n\;.\end{align} \]

      Ainsi, pour obtenir $u_{n+1}$, on doit multiplier $u_n$ par $\dfrac{1}{2}$ ; la suite $\suite{u}{n}{}$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.

      Son premier terme est : $u_0=e_0-40$, soit $u_0=100-40=60$.

   2. La suite $\suite{u}{n}{}$ étant géométrique, $u_n=u_0\times q^n$ d'après le cours. Ainsi, ici, $u_n=60\times0,5^n$.

      Or, $u_n=e_n-40$ donc $e_n=u_n+40$, soit $\boxed{e_n=60\times0,5^n+40}$.

4. 1. On a: \[ \begin{align} v_{n+1} & =\ell_{n+1}-\dfrac{100}{3}\\ & = 0,7\ell_n+10-\dfrac{100}{3}\\ & = 0,7\ell_n-\dfrac{70}{3}\\ & = 0,7\left(\ell_n-\dfrac{\frac{70}{3}}{0,7}\right)\\ & = 0,7\left(\ell_n-\dfrac{100}{3}\right)\\ & = 0,7v_n\;.\end{align} \]

      Ainsi, pour obtenir $v_{n+1}$, on doit multiplier $v_n$ par $0,7$ ; la suite $\suite{v}{n}{}$ est donc géométrique de raison $0,7$.

      Son premier terme est : $v_0=\ell_0-\dfrac{100}{3}$, soit $v_0=100-\dfrac{100}{3}=\dfrac{200}{3}$.

   2. La suite $\suite{v}{n}{}$ étant géométrique, $v_n=v_0\times q^n$ d'après le cours. Ainsi, ici, $\boxed{v_n=\dfrac{200}{3}\times0,7^n}$.

      Or, $v_n=\ell_n-\dfrac{100}{3}$ donc $\ell_n=v_n+\dfrac{100}{3}$, soit $\boxed{\ell_n=\dfrac{200}{3}\times0,7^n+\dfrac{100}{3}}$.

5. • $e_{365}=60\times0,5^{365}+40\approx40$ et $\ell_{365}=\dfrac{200}{3}\times0,7^{365}+\dfrac{100}{3}\approx33,3$.

   • $e_{730}=60\times0,5^{730}+40\approx40$ et $\ell_{730}=\dfrac{200}{3}\times0,7^{730}+\dfrac{100}{3}\approx33,3$.

   On peut alors remarquer que les quantités au bout d'un an sont égales à celles obtenues au bout de 2 ans.

   Tout porte donc à croire qu'au bout d'un nombre important de jours, la quantité d'eau stagne autour de 40 litres et que celle de lait stagne autour de 33,33 litres.

1. On a : \[ \begin{align} v_{n+1} & = \dfrac{1}{u_{n+1}-0,5}\\ & = \dfrac{1}{1-\frac{1}{4u_n}-\frac{1}{2}}\\ & = \dfrac{1}{\frac{4u_n}{4u_n}-\frac{1}{4u_n}-\frac{2u_n}{4u_n}} = \dfrac{1}{\frac{2u_n-1}{4u_n}}\\ & = \dfrac{4u_n}{2u_n-1} = \dfrac{4u_n}{2(u_n-0,5)}\\& = \dfrac{2u_n}{u_n-0,5}.\end{align} \]

   Donc: \[ \begin{align} v_{n+1}-v_n & =\dfrac{2u_n}{u_n-0,5}-\dfrac{1}{u_n-0,5}\\ & = \dfrac{2u_n-1}{u_n-0,5}\\ & = \dfrac{2(u_n-0,5)}{u_n-0,5}\\ & = 2.\end{align} \]

   $v_{n+1}-v_n$ étant égal à une constante, $\suite{v}{n}{}$ est arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{u_0-0,5}=\dfrac{1}{3-0,5}=\dfrac{2}{5}=0,4$.

2. $\suite{v}{n}{}$ étant arithmétique, $v_n=v_0+nr$, soit $v_n=0,4+2n$.

   Or, $v_n=\dfrac{1}{u_n-0,5}$ donc $\dfrac{1}{v_n}=u_n-0,5$, soit $u_n=\dfrac{1}{v_n}+0,5$.

   Ainsi, $\boxed{u_n=\dfrac{1}{0,4+2n}+0,5}$

3. Lorsque $n$ augmente de plus en plus, $2n+0,4$ augmente aussi de plus en plus, donc son inverse se rapproche de plus en plus de 0. Finalement, $u_n$ se rapproche alors de 0,5.