1. $x^2-2x+1=(x-1)^2$ (c'est une identité remarquable).

   Par conséquent, $\Delta=0$ et sa racine double est $x_0=1$.

2. $x^2-3x+2$. \[ \Delta = (-3)^2-4\times1\times2=9-8=1.\] Les racines sont donc : \[ x_1=\dfrac{-(-3)-\sqrt{1}}{2\times1}=1\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-(-3)+\sqrt{1}}{2\times1}=2. \]
3. $-x^2+3x-2$. \[ \Delta = 3^2-4\times(-1)\times(-2)=9-8=1.\] Les racines sont donc : \[ x_1=\dfrac{-3-\sqrt{1}}{2\times(-1)}=2\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{1}}{2\times(-1)}=1. \]
4. $x^2+x+1$. \[ \Delta=1^2-4\times1\times1=-3.\] $\Delta<0$ donc le trinôme n'a aucune racine.
5. $3x^2-5x+1$. \[ \Delta=(-5)^2-4\times3\times1=25-12=13.\] Les racines sont donc : \[ x_1=\dfrac{-(-5)-\sqrt{13}}{2\times3}=\dfrac{5-\sqrt{13}}{6}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{5+\sqrt{13}}{6}. \]
6. $-2x^2-5x+3$. \[ \Delta=(-5)^2-4\times(-2)\times3=25+24=49.\] Les racines sont donc : \[ x_1=\dfrac{-(-5)-\sqrt{49}}{2\times(-2)}=\dfrac{5-7}{-4}=\dfrac{1}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{5+7}{-4}=-3. \]
7. $\dfrac{1}{4}x^2-4x+16$. \[ \Delta=(-4)^2-4\times\dfrac{1}{4}\times16=16-16=0.\] Donc le trinôme a une racine double : \[ x_0=-\dfrac{-4}{2\times\frac{1}{4}}=8.\]
8. $3x^2-8x+2$. \[ \Delta=(-8)^2-4\times3\times2=64-24=40.\] Les racines sont donc : \[ x_1=\dfrac{-(-8)-\sqrt{40}}{2\times3}=\dfrac{8-2\sqrt{10}}{6}=\dfrac{4-\sqrt{10}}{3}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{4+\sqrt{10}}{6}. \]
9. $-5x^2+4x+3$. \[ \Delta = 4^2-4\times(-5)\times3=16+60=76.\] Les racines sont donc : \[ x_1=\dfrac{-4-\sqrt{76}}{2\times(-5)}=\dfrac{-4-2\sqrt{19}}{-10}=\dfrac{2+\sqrt{19}}{5}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{2-\sqrt{19}}{5}. \]

1. Le domaine de validité de l'équation : \[ \sqrt{x+1}=2x-3\] est l'ensemble des valeurs de $x$ telles que : \[ x+1\geqslant0\text{ ET } 2x-3\geqslant0 \]soit : \[ x\geqslant\dfrac{3}{2}.\]

   On a :

   \[ \begin{align} \sqrt{x+1}=2x-3 & \iff x+1=(2x-3)^2\\ & \iff x+1=4x^2-12x+9\\ & \iff 4x^2-13x+8=0. \end{align} \]

   Le discriminant de $4x^2-13x+8$ est : \[ \Delta = 169-128=41.\]

   Les solutions de l'équation sont donc potentiellement : \[ x_1=\dfrac{13-\sqrt{41}}{8}\approx0,82\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{13+\sqrt{41}}{8}\approx2,43. \] Comme $x_1<\dfrac{3}{2}$ et $x_2\geqslant\dfrac{3}{2}$, l'ensemble solution de l'équation est : \[ \boxed{S=\left\{\dfrac{13+\sqrt{41}}{8}\right\}} \]

2. Le domaine de validité de l'équation :

   \[ \sqrt{x^2-8}=2x-5\]

   est l'ensemble des valeurs de $x$ telles que : \[ x^2-8\geqslant0\text{ ET } 2x-5\geqslant0 \] soit : $x\geqslant2\sqrt2$.

   On a :

   \[ \begin{align} \sqrt{x^2-8}=2x-5 & \iff x^2-8=(2x-5)^2\\ & \iff x^2-8=4x^2-20x+25\\ & \iff 3x^2-20x+33=0. \end{align} \]

   Le discriminant de $3x^2-20x+33$ est : $\Delta=400-396=4$, donc il y a deux solutions potentielles :

   \[ x_1=\dfrac{20-2}{6}=3\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{11}{3}. \] $x_1>2\sqrt2$ et $x_2>2\sqrt2$ donc l'ensemble solution de l'équation est :

   \[ \boxed{S=\left\{3~;~\dfrac{11}{3}\right\}} \]

3. Le domaine de validité de l'équation : \[ \sqrt{2x-1}=1-2x \] est l'ensemble des valeurs de $x$ telles que : \[ 2x-1\geqslant0\text{ ET } 1-2x\geqslant0 \] soit $x=\dfrac{1}{2}$.

   Donc nul besoin d'aller plus loin; l'ensemble solution de l'équation $\sqrt{2x-1}=1-2x$ est :

   \[ \boxed{S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}} \]

1. $x-5\sqrt{x}+4=0$. On pose $X=\sqrt{x}$ ; ainsi, l'équation est équivalente à : \[ X^2-5X+4=0\;, \] dont le discriminant est : \[ \Delta=25-16=9.\] Donc les solutions de l'équation $X^2-5X+4=0$ sont : \[ X_1=\dfrac{5-3}{2}=1\qquad\text{et}\qquad X_2=\dfrac{5+3}{2}=4. \] Les solutions de l'équation $x-5\sqrt{x}+4=0$ doivent donc vérifier : \[ \sqrt{x_1}=1\qquad\text{et}\qquad\sqrt{x_2}=4\;, \] d'où : \[ x_1=1\qquad\text{et}\qquad x_2=16. \] D'où : \[ \boxed{S=\{1~;~16\}} \]
2. $-x^4+3x^2-2=0$. On pose $X=x^2$ ; ainsi, l'équation est équivalente à : \[ -X^2+3X-2=0\;, \] dont le discriminant est : \[ \Delta = 9-8=1. \] Les solutions de l'équation $-X^2+3X-2=0$ sont donc : \[ X_1=\dfrac{-3-1}{-2}=2\qquad\text{et}\qquad X_2=\dfrac{-3+1}{-2}=1. \] Les solutions de l'équation $-x^4+3x^2-2=0$ sont donc $x_1$ et $x_2$ tels que : \[ x_1^2=2\qquad\text{et}\qquad x_2^2=1\;, \] soit : \[ x_1=\sqrt2\text{ ou }x_1=-\sqrt2\qquad\text{et}\qquad x_2=1\text{ ou }x_2=-1. \] L'ensemble solution de l'équation $-x^4+3x^2-2=0$ est donc : \[ \boxed{S=\left\{-\sqrt{2}~;~-1~;~1~;~\sqrt{2} \right\}} \]
3. $\dfrac{6}{x^2}+\dfrac{1}{x}-2=0$. On pose $X=\dfrac{1}{x}$ ; ainsi, l'équation est équivalente à : \[ 6X^2+X-2=0\] dont le discriminant est : \[ \Delta = 1^2-4\times6\times(-2)=49=7^2.\] Les solutions de l'équation $6X^2+X-2=0$ sont donc : \[ X_1=\dfrac{-1-7}{2\times6}=-\dfrac{2}{3}\qquad\text{et}\qquad X_2=\dfrac{-1+7}{12}=\dfrac{1}{2}. \]
   • $X_1=-\dfrac{2}{3}$ et $X_1=\dfrac{1}{x_1}$ donc $x_1=\dfrac{1}{X_1}=-\dfrac{3}{2}$ ;
   • $X_2=\dfrac{1}{2}$ et $X_2=\dfrac{1}{x_2}$ donc $x_2=\dfrac{1}{X_2}=2$.

   Ainsi, l'ensemble solution de l'équation $\dfrac{6}{x^2}+\dfrac{1}{x}-2=0$ est : \[ \boxed{\mathcal{S}=\left\lbrace -\dfrac{3}{2}~;~2\right\rbrace} \]

4. $(x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+2=0$. On pose $X=x^2-3x+1$ ; ainsi, l'équation est équivalente à : \[ X^2-3X+2=0\] dont les solutions évidentes sont $X_1=1$ et $X_2=2$.
   • $X_1=1\Longleftrightarrow x^2-3x+1=1\Longleftrightarrow x(x-3)=0\Longleftrightarrow x=0\text{ ou } x=3$.
   • $X_2=2\Longleftrightarrow x^2-3x+1=2\Longleftrightarrow x^2-3x-1=0$. Le discriminant de cette dernière équation est $\Delta=9+4=13$ donc les solutions sont : \[ x_1=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}.\] Ainsi, l'ensemble solution de l'équation $(x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+2=0$ est : \[ \boxed{\mathcal{S}=\left\{\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}~;~0~;~3~;~\dfrac{3+\sqrt{13}}{2} \right\}} \]

1. 1. On a: \[ \begin{align} & \Delta=20+8\sqrt{6}\\ \iff & \big(a+b\sqrt{6}\big)^2=20+8\sqrt{6}\\ \iff & a^2+2ab\sqrt{6}+6b^2=20+8\sqrt{6}\\ \iff & a^2+6b^2+2ab\sqrt{6}=20+8\sqrt{6}\\ \iff & a^2+6b^2 =20 \text{ ET } 2ab = 8 \\ \iff & \boxed{ a^2+6b^2 =20 \text{ ET } ab = 4 } \end{align} \]
   2. $ab=4$ donc $b=\dfrac{4}{a}$. La première équation donne alors : \[ \begin{align} a^2+6b^2 =20 & \iff a^2+\left(\dfrac{4}{a}\right)^2=20\\ & \iff a^2+6\times\dfrac{16}{a^2}=20\\ & \iff a^4+96=20a^2\\ & \iff \boxed{a^4-20a^2+96=0} \end{align} \]

   3. On pose $A=a^2$ ; l'équation $a^4-20a^2+96=0$ est équivalente à : \[ A^2-20A+96=0 \] dont le discriminant est : \[ \Delta' = (-20)^2-4\times1\times96=16=4^2. \] L'équation $A^2-20A+96=0$ admet donc deux solutions : \[ A_1=\dfrac{20-4}{2}=8=a_1^2\qquad\text{et}\qquad A_2=\dfrac{20+4}{2}=12=a_2^2. \] Ainsi, $a_1=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ ou $a_1=-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}$, et $a_2=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ ou $a_2=-2\sqrt{3}$.

      Faisons le choix de prendre $a=2\sqrt{2}$ ; alors $b=\dfrac{4}{2\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

      Dans ce cas, $a+b\sqrt{6}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}\times\sqrt{6}=2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)$.

      Or, $\big[2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)\big]^2=4\big(2+3+2\sqrt{6}\big)=20+8\sqrt{6}=\Delta$.

      Ainsi, $\boxed{\sqrt{\Delta}=2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)}$.

2. Le discriminant de $4x^2+2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)x-\sqrt{6}$ est : \[ \begin{align} \Delta & = \big[2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)\big]^2-4\times4\times\big(-\sqrt{6}\big)\\ & = 4\big(3+2-2\sqrt{6}\big)+16\sqrt{6}\\ & = \boxed{20+8\sqrt{6}}.\end{align} \]

   Ainsi, l'équation admet deux solutions distinctes : \[ x_1=\dfrac{-2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)-\sqrt{\Delta}}{2\times4}=\dfrac{2\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)}{8}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

   et

   \[ x_2=\dfrac{-2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)+\sqrt{\Delta}}{2\times4}=\dfrac{2\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)}{8}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. \] Ainsi, \[ \boxed{ \mathcal{S} = \left\{ -\dfrac{\sqrt3}{2}~;~\dfrac{\sqrt2}{2}\right\}} \]

On sait qu'un trinôme admet au moins une racine lorsque son discriminant $\Delta$ est positif ou nul.

Ici, \[ \Delta = m^2-4p.\]

Il faut donc que : \[ m^2\geqslant4p\] pour que le trinôme ait au moins une racine.

Le discriminant de : \[ P(x)=(k+1)x^2+2kx+(k-1) \] est : \[ \begin{align} \Delta & = (2k)^2-4\times(k+1)\times (k-1)\\[6pt] & = 4k^2-4(k^2-1)\\[6pt] & = 4>0.\end{align} \]

Donc $P$ admet toujours deux racines, quelle que soit la valeur de $k$.

Le trinôme admet une racine double si $\Delta=0$. Or, \[ \begin{align} \Delta &= b^2-4ac\\ & = \big[2(3m+1)\big]^2 - 4\times(m+3)\times(m+3)\\ & = 4(3m+1)^2 - 4(m+3)^2\\ & = 4\big[ \underbrace{(3m+1)^2}_{=A^2} - \underbrace{(m+3)^2}_{=B^2} \big] & A^2-B^2=(A-B)(A+B)\\ & = 4\big[ (3m+1)-(m+3) \big] \big[ (3m+1) + (m+3) \big]\\ & = 4(3m+1-m-3)(3m+1+m+3)\\ & = 4(2m-2)(4m+4).\end{align} \]

Ainsi, \[ \begin{align} \Delta=0 & \iff 4(2m-2)(4m+4)=0\\ & \iff 2m-2=0 \qquad \text{ou}\qquad 4m+4=0\quad\text{(théorème du produit nul)}\\ & \iff 2m = 2\qquad\text{ou}\qquad 4m=-4\\ & \iff m=1 \qquad\text{ou}\qquad m=-1.\end{align} \]

Par conséquent, le trinôme admet une racine double pour $m=1$ ou $m=-1$.

Dans un tel cas, la racine double est égale à : \[ \alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2(3m+1)}{2(m+3)}=-\dfrac{3m+1}{m+3}. \] Ainsi,

• pour $m=1$, la racine double vaut $\alpha=-\dfrac{3\times1+1}{1+3}=-1$,
• pour $m=-1$, la racine double vaut $\alpha=-\dfrac{3\times(-1)+1}{-1+3}=1$.

L'équation admet deux solutions distinctes uniquement si $\Delta>0$. Or, \[ \begin{align} \Delta & = b^2-4ac\\ & = (-4m)^2 - 4\times(4m+1)\times(m-3)\\ & = 16m^2-4(4m+1)(m-3)\\ & = 16m^2-4(4m^2-12m+m-3)\\ & = 16m^2 - 4(4m^2-11m-3)\\ & = 16m^2-16m^2+44m+12\\ & = 44m+12.\end{align} \]

Ainsi, \[ \begin{align} \Delta > 0 & \iff 44m+12>0\\ & \iff 44m > -12\\ & \iff m > \dfrac{-12}{44}\\ & \iff m > -\dfrac{3}{11}. \end{align} \]

Par conséquent, l'équation admet deux solutions distinctes pour $m>-\dfrac{3}{11}$.

1. Pour $m=0$, on a : \[ (E_0)\qquad:\qquad x^2-x-4=0 \]

   Le discriminant du polyn\^ome $x^2-x-4$ est : \[ \begin{align} \Delta & = b^2-4ac\\ & = (-1)^2-4\times1\times(-4)\\ & = 1+16\\ & = 17.\end{align} \]

   Ainsi, $\Delta>0$ donc il y a deux solutions à l'équation $(E_0)$ qui sont :

   \[ x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1-\sqrt{17}}{2} \qquad \text{et} \qquad x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}. \]

   L'ensemble solution de $(E_0)$ est donc : \[ \boxed{\mathcal{S}=\left\{\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}~;~\dfrac{1+\sqrt{17}}{2} \right\}} \]

2. L'équation $(E_m)$ admet une unique solution lorsque le discriminant du membre de gauche est égal à 0. Ce discriminant est : \[ \begin{align} \Delta & = b^2-4ac\\ & = (m-1)^2-4(2m+1)(m+4)(m-1)\\ & = (m-1)\big[(m-1)-4(2m+1)(m+4)\big]\\ & = (m-1)\big[m-1-4(2m^2+8m+m+4)\big]\\ & = (m-1)(m-1-8m^2-36m-16)\\ & = (m-1)(-8m^2-35m-17).\end{align} \]

   \[ \begin{align} \Delta=0 & \Longleftrightarrow m-1=0\qquad\text{ou}\qquad-8m^2-35m-17=0\\ & \Longleftrightarrow m=1\qquad\qquad\text{ou}\qquad8m^2+35m+17=0. \end{align} \]

   Le discriminant du polynôme $8m^2+35m+17$ est : \[ \delta=35^2-4\times8\times17=681\;,\] donc ce polynôme admet deux racines :

   \[ m_1 = \dfrac{-35-\sqrt{681}}{16}\qquad\text{et}\qquad m_2=\dfrac{-35+\sqrt{681}}{16}.\]

   Ainsi, l'équation $(E_m)$ admet une unique solution pour trois valeurs de $m$ : \[ m=1\qquad ; \qquad m=\dfrac{-35-\sqrt{681}}{16}\qquad ; \qquad m=\dfrac{-35+\sqrt{681}}{16}.\]

3. $(E_m)$ admet 1 pour solution si, en remplaçant $x$ par 1 dans l'équation, l'égalité est vérifiée :

   \[ \begin{align} \text{1 est solution de }(E_m) & \Longleftrightarrow (2m+1)\times1^2+(m-1)\times1+(m+4)(m-1)=0\\ & \Longleftrightarrow 2m+1+m-1+m^2-m+4m-4=0\\ & \Longleftrightarrow m^2+6m-4=0. \end{align} \]

   Le discriminant du polyn\^ome $m^2+6m-4$ est : \[ \begin{align} \Delta & = b^2-4ac\\ & = 6^2-4\times1\times(-4)\\ & = 36+16\\ & = 52.\end{align} \]

   Il existe donc deux solutions à l'équation $m^2+6m-4=0$ :

   \[ m_1=\dfrac{-6-\sqrt{52}}{2}=-3-\sqrt{13}\qquad\text{et}\qquad m_2=-3+\sqrt{13}. \]

   Ainsi, $x=1$ est solution de l'équation $(E_m)$ pour $m=-3+\sqrt{13}$ et pour $m=-3-\sqrt{13}$.

L'existence de points d'intersection entre $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$ est conditionnée par le fait que l'équation $f(x)=mx-4$ aient deux solutions. En effet, si on note $A\coord{x}{f(x)}$ un point de $\mathcal{C}$ et B$\coord{x}{mx-4}$ un point de $\mathcal{D}$, A et B sont confondus si leurs ordonnées sont égales, donc si $f(x)=mx-4$.

\[ \begin{align} f(x)=mx-4 & \iff 2x^2-5x+1=mx-4\\ & \iff 2x^2 - 5x-mx+1+4=0\\ & \iff 2x^2 -(m+5)x+5 = 0.\end{align} \]

Cette dernière équation admet deux solutions si $\Delta>0$:

\[ \begin{align} \Delta>0 & \iff (m+5)^2-4\times2\times5 > 0\\ & \iff m^2+10m+25-40 > 0\\ & \iff m^2+10m-15>0. \end{align} \]

Le discriminant du polynôme $m^2+10m-15$ est : \[ \Delta^\prime=100-4\times(-15)=160 \] donc il admet deux racines $m_1$ et $m_2$: \[ m_1=\dfrac{-10-\sqrt{160}}{2}=-5-2\sqrt{10} \] et sa conjuguée: \[ m_2=-5+2\sqrt{10}. \] On a alors le tableau de signes suivant:

Ainsi, $\Delta^\prime>0$, et donc $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ admettent deux points d'intersection, si : \[ m\in\intervOO{-\infty}{-5-2\sqrt{10}}\cup\intervOO{-5+2\sqrt{10}}{+\infty}. \]

1. $f(1)=3\times1^3+2\times1^2-3\times1-2=3+2-3-2=0$.

2. \[ \begin{align} (x-1)(ax^2+bx+c) & = ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c\\ & = ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c \end{align} \]

   Ainsi, pour tout réel $x$ : \[ \begin{align} f(x)=(x-1)(ax^2+bx+c) & \iff 3x^3+2x^2-3x-2=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c \\ & \iff a = 3\text{ E } b-a = 2\text{ ET } c-b = -3\text{ ET } -c = -2 \\ & \iff a=3,\ b=5\, c=2\end{align} \]

   On a alors : \[ f(x)=(x-1)(3x^2+5x+2). \]

3. $f(1)=0$ donc ${\cal C}_f$ coupe l'axe des abscisses en $x=1$. On peut donc éliminer la courbe $b$.

   De plus, le discriminant de $3x^2+5x+2$ est : \[ \Delta=25-24=1>0\;, \] donc ce polynôme admet 2 racines distinctes, ce qui signifie que ${\cal C}_f$ coupe l'axe des abscisses en 3 points distincts.

   Ainsi, la courbe $a$ est celle qui représente la fonction $f$.

1. 
   

   \[ \begin{align} P(-2) & = 2\times(-2)^3+7\times(-2)^2+7\times(-2)+2\\ & = -16+28-14+2\\ & = -30+30\\ & = 0.\end{align} \]

   $P(-2)=0$ donc $x=-2$ est une racine de $P$.

2. 
   

   \[ \begin{align} P(x) & =(x+2)(ax^2+bx+c)\\ & = ax^3+bx^2+cx+2ax^2+2bx+2c\\ & = ax^3+(b+2a)x^2+(c+2b)x+2c\end{align} \]

   Ainsi, on souhaite que, pour tout réel $x$ : \[ 2x^3+7x^2+7x+2=ax^3+(b+2a)x^2+(c+2b)x+2c.\] Par identification des coefficients, on a : \[ 2 = a,\ 7 = b+2a,\ 7 = c+2b,\ 2 = 2c \] On en déduit que $a=2$ et $c=1$. Par suite, à l'aide de la troisième équation (par exemple), on trouve $b=3$.

   Finalement, on obtient :

   \[ \boxed{P(x)=(x+2)(2x^2+3x+1)} \]

3. $P(x)=0\Longleftrightarrow x+2=0\qquad\text{ou}\qquad 2x^2+3x+1=0$.

   Le discriminant de $2x^2+3x+1=0$ est $\Delta=9-8=1$ donc il admet deux racines : \[ x_1=\dfrac{-3-1}{4}=-1 \text{ et } $x_2=\dfrac{-3+1}{4}=-\dfrac{1}{2}. \]

   Par conséquent, l'ensemble solution de l'équation $P(x)=0$ est : \[ \boxed{S=\left\{-2;-1;-\dfrac{1}{2}\right\}} \]

1. $P(3)=0$ et $P(-2)=0$.

2. On en déduit que $P(x)=(x-3)(x+2)(ax^2+bx+c)$, soit $P(x)=(x^2-x-6)(ax^2+bx+c)$.

   \[ \begin{align} (x^2-x-6)(ax^2+bx+c) & = ax^4+bx^3+cx^2-ax^3-bx^2-cx-6ax^2-6bx-6c\\[6pt] & = ax^4+(b-a)x^3+(c-b-6a)x^2+(-c-6b)x-6c\\[6pt] & = 10x^4-29x^3-34x^2+107x-42.\end{align} \]

   Donc : \[ a=10,\ b-a=-29,\ c-b-6a=-34,\ -c-6b=107\, -6c=-42 \]

   On en déduit que $a=10$ et $c=7$, puis que $b=-29+a=-19$.

   Finalement, $\boxed{P(x)=(x^2-x-6)(10x^2-19x+7)}$.

3. Le discriminant du polynôme $10x^2-19x+7$ est : \[ \Delta=(-19)^2-4\times10\times7=81=9^2. \] Ses deux racines sont alors : \[ x_1=\dfrac{19-9}{20}=\dfrac{1}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{19+9}{20}=\dfrac{7}{5}. \]

   Les racines de $P$ sont donc : $-2$, 3, $\dfrac{7}{5}$ et $\dfrac{1}{2}$.

1. $x^2+x+1<0$.

   Le discriminant de $x^2+x+1$ est $\Delta=1-4\times1\times1=-3<0$ donc le trinôme est du signe du coefficient de $x^2$, soit « 1 » ici, donc positif.

   L'ensemble solution est donc : \[ \boxed{S=\varnothing} \]

2. $2x^2-5x+3\leqslant0$

   Le discriminant de $2x^2-5x+3$ est $\Delta=25-24=1$. Il y a donc deux racines : $x_1=\dfrac{5-1}{4}=1$ et $x_2=\dfrac{5+1}{4}=\dfrac{3}{2}$.

   Le trinôme $ax^2+bx+c$ est du signe de $-a$ entre ses racines, donc $2x^2-5x+3\leqslant0$ pour $x\in\intervFF{1}{\dfrac{3}{2}}$. \[ \boxed{S=\intervFF{1}{\dfrac{3}{2}}} \]

3. $-x^2+3x-2>0$

   Le discriminant de $-x^2+3x-2$ est $\Delta=9-4\times(-1)\times(-2)=1$ donc il admet deux racines distinctes : $x_1=\dfrac{-3-1}{-2}=2$ et $x_2=\dfrac{-3+1}{-2}=1$.

   Le trinôme $ax^2+bx+c$ est du signe de $-a$ entre ses racines donc l'ensemble solution de l'inéquation est : \[ \boxed{S=\intervOO{1}{2}} \]

4. $-5x^2-9x+3\leqslant0$.

   Le discriminant de $-5x^2-9x+3$ est $\Delta=81-4\times(-5)\times3=141$ donc il admet deux racines : $x_1=\dfrac{9-\sqrt{141}}{-10}=\dfrac{-9+\sqrt{141}}{10}$ et $x_2=\dfrac{-9-\sqrt{141}}{10}$.

   Le trinôme $ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ (donc négatif) à l'extérieur des racines, donc l'ensemble solution de l'inéquation est : \[ \boxed{S=\intervOF{-\infty}{\dfrac{-9-\sqrt{141}}{10}}\cup\intervFO{\dfrac{-9+\sqrt{141}}{10}}{+\infty}} \]

5. $3x^2-7x+10\geqslant0$

   Le discriminant de $3x^2-7x+10$ est $\Delta=49-4\times3\times10=-71<0$ donc il est toujours du signe de « 3 », donc positif. L'ensemble solution est donc : \[ \boxed{S=\R} \]

6. $4x^2-20x+25>0$

   Le discriminant de $4x^2-20x+25$ est $\Delta=400-4\times4\times25=0$. Par conséquent, il est du signe de « 4 »{} (donc positif) tout le temps sauf en sa racine $x_0=-\dfrac{-20}{2\times4}=\dfrac{5}{2}$ (où il est nul). Par conséquent, l'ensemble solution de l'inéquation est : \[ \boxed{S=\R\setminus\left\{\dfrac{5}{2}\right\}} \]

7. $\dfrac{1-4x}{x^2-3x+2}\geqslant0$

   Le discriminant de $x^2-3x+2$ est $\Delta=9-8=1$. Par conséquent, il admet deux racines distinctes $x_1=\dfrac{3-1}{2}=1$ et $x_2=\dfrac{3+1}{2}=2$. On en déduit le tableau de signes suivant :

   

   L'ensemble solution de l'inéquation est alors : \[ \boxed{S=\intervOF{-\infty}{\dfrac{1}{4}}\cup\intervOO{1}{2}} \]

8. $(2x-3)(-2x^2+5x+3)<0$

   Le discriminant de $-2x^2+5x+3$ est $\Delta=25+24=49$ donc il admet deux racines : \mbox{$x_1=\dfrac{-5-7}{-4}=3$} et $x_2=\dfrac{-5+7}{-4}=-\dfrac{1}{2}$. On en déduit le tableau de signes suivant :

   

   L'ensemble solution de l'inéquation est alors : \[ \boxed{S=\intervOO{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}}\cup\intervOO{3}{+\infty}} \]

Avant toute chose, on cherche le domaine de validité de l'inéquation.

Cette inéquation existe lorsque : \[ 5x-17\neq0\text{ ET } 10x^2-49x+51\neq0 \]

Le discriminant du polynôme $10x^2-49x+51$ est :

\[ \begin{align} \Delta & = (-49)^2-4\times10\times51\\ & = 361\\ & = 19^2 >0 \end{align} \]

donc il admet deux racines distinctes : \[ x_1=\dfrac{-(-49)-19}{2\times10}=\dfrac{3}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{49+19}{20}=\dfrac{17}{5}. \] Il peut donc se factoriser sous la forme :

\[ \begin{align} 10x^2-49x+51 & =10\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x-\dfrac{17}{5}\right)\\ & = 5\times2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x-\dfrac{17}{5}\right)\\ & = 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\times5\left(x-\dfrac{17}{5}\right)\\ & = (2x-3)(5x-17).\end{align} \]

Cette factorisation va être importante pour la résolution de l'inéquation.

Le domaine de validité de l'inéquation est donc $\R\setminus\left\lbrace\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{17}{5}\right\rbrace$.

\[ \begin{align} \dfrac{7x-10}{5x-17}\geqslant\dfrac{25(x+2)}{10x^2-49x+51} & \iff \dfrac{7x-10}{5x-17}-\dfrac{25(x+2)}{10x^2-49x+51}\geqslant0\\ & \iff \dfrac{7x-10}{5x-17}-\dfrac{25(x+2)}{(2x-3)(5x-17)}\geqslant0\\ & \iff \dfrac{(7x-10)(2x-3)}{(5x-17)(2x-3)}-\dfrac{25(x+2)}{(2x-3)(5x-17)}\geqslant0\\ & \iff \dfrac{14x^2-21x-20x+30-25x-50}{10x^2-49x+51}\geqslant0\\ & \iff \dfrac{14x^2-66x-20}{10x^2-49x+51}\geqslant0\\ & \iff \dfrac{2(7x^2-33x-10)}{10x^2-49x+51}\geqslant0. \end{align} \]

Le discriminant du polynôme $7x^2-33x-10$ est :

\[ \begin{align} \Delta' & = (-33)^2-4\times7\times(-10)\\ & = \numprint{1369}\\ & = 37^2 >0.\end{align} \]

Donc il admet deux racines distinctes : $x_1=\dfrac{-(-33)-37}{2\times7}=-\dfrac{2}{7}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{33+37}{14}=5$.

En utilisant la propriété du signe d'un trinôme du second degré, on obtient le tableau de signes suivant :

Ainsi, $\boxed{S=\intervOF{-\infty}{-\dfrac{2}{7}}\cup\intervOO{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{17}{5}}\cup\intervFO{5}{+\infty}}$.

1. On recherche d'abord les valeurs interdites, donc les valeurs de $x$ pour lesquelles: \[ x^2+x+1=0 \] Le discriminant de $x^2+x+1$ est : \[ \Delta = b^2-4ac = 1^2-4\times1\times1 = -3. \] $\Delta<0$ donc le dénominateur n'admet aucune racine; il ne s'annule donc pas.

   Il n'y a donc pas de valeurs interdites; par conséquent, le domaine de définition de l'inéquation est : $\R$.

2. Recherche des racines du numérateur : $5x^2-3x-2$.

   \[ \Delta = b^2-4ac=(-3)^2-4\times5\times(-2)=9+40=49. \] Il y a donc deux racines : \[ x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{3-7}{10}=-\frac{2}{5} \] et \[ x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{3+7}{10}=1. \]

3. On déduit alors le tableau de signes suivant:

   

   L'ensemble solution de l'inéquation est donc : \[ \boxed{S = \intervOO{-\dfrac{2}{5}}{1}} \]

4. On cherche avant tout les valeurs interdites, donc les valeurs de $x$ pour lesquelles : \[ x^2+x-6=0. \]

   $\Delta = b^2-4ac=1^2-4\times1\times(-6)=25>0$.

   Donc il y a deux valeurs interdites : \[ x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{25}}{2}=-3 \] et \[ x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{2}=2. \] Le domaine de définition de l'inéquation est donc : $\R\setminus\{-3;2\}$.

5. On cherche maintenant les racines du numérateur: $-3x^2-5x+2$. \[ \Delta = b^2-4ac = (-5)^2 - 4\times(-3)\times2 = 49. \] Il y a donc deux racines : \[ x_3=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{49}}{-6}=\frac{1}{3} \] et \[ x_4=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{49}}{-6}=-2. \]

6. On construit le tableau de signes de la fraction:

   

   L'ensemble solution est donc: \[ \boxed{S = \intervOO{-\infty}{-3}\cup\intervOO{-2}{\dfrac{1}{3}}\cup\intervOO{2}{+\infty}} \]