Première approche

Notre objectif

On recherche une fonction $f$ telle que:

pour tout réel $x$, $f'(x)=f(x)$ ;
$f(0)=1$.

On suppose que cette fonction existe.

Très vite, on se rend compte que cette fonction n'est pas un polynôme (car le seul polynôme $P$ qui vérifie le point (1) est $P(x)=0$ et dans ce cas, $P(0)\neq1$, ce qui ne satisfait pas le point (2)).

Ce n'est pas non plus une fonction racine carrée ou une fraction rationnelle (quotient de deux polynômes).

La méthode d'Euler

Nous allons avant tout tenter de dessiner la courbe représentative de notre fonction. Pour cela, on va prendre des intervalles $\intervFF{a}{a+h}$, avec $h$ très proche de 0, et on va assimiler la courbe représentative de $f$ à sa tangente au point d'abscisse $a$. En effet, sur un intervalle assez petit $\intervFF{a}{a+h}$, la tangente est très proche de la courbe.

On sait que l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ est : \[ y = f'(a)(x-a)+f(a). \] Posons $g(x)=f'(a)(x-a)+f(a)$. Confondre la courbe et la tangente revient à dire que $f(a+h) \approx g(a+h)$, c'est-à-dire : \[ f(a+h)\approx f'(a)(a+h-a)+f(a), \] soit : \[ f(a+h)\approx f'(a)\times h + f(a). \] Or, d'après le point (1), $f'(a)=f(a)$ donc : \[ f(a+h)\approx hf(a)+f(a) \] soit : \[ f(a+h)\approx (1+h)f(a). \] $h$ peut être pris aussi petit qu'on le souhaite. Prenons par exemple $h=0,1$. Alors,

en prenant $a=0$ : $f(0+0,1)\approx(1+0,1)\times f(0)=1,1\times1=1,1$;
en prenant $a=0,1$ : $f(0,2)=f(0,1+0,1)\approx(1+0,1)\times f(0,1)=1,1\times1,1=1,21$;
en prenant $a=0,2$ : $f(0,3)=f(0,2+0,1)\approx(1+0,1)\times f(0,2)=1,1\times1,21=1,331$;
etc.

Le programme Python suivant permet d'automatiser la construction des segments :

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

xList = [0]
yList = [1]

a = 0
h = 0.1

for i in range(10):
	x = a+h
	y = (1+h)*yList[i]
	xList.append(x)
	yList.append(y)
	a = x

x = np.array(xList)
y = np.array(yList)
plt.plot(x, y, marker=".")

plt.show()

Avec un pas plus petit ($h=0,01)$, on obtient la figure suivante.

On voit alors se dessiner la courbe représentative de la fonction $f$ cherchée, sur $\intervFF{0}{1}$.

Définition

Unicité de la fonction exponentielle

Nous avons vu précédemment comment tracer la représentation graphique d'une fonction $f$ telle que $f'=f$, avec $f(0)=1$.

Montrons qu'une telle fonction est unique (on suppose son existence).

Pour cela, nous aurons besoin de la propriété suivante.

propriété fondamentale

Soit une fonction $f$ dérivable sur $\R$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.

Pour tout réel $x$, $f(x)\times f(-x)=1$ et $f(x) \neq 0$.

Posons $h(x)=f(x) \times f(-x)$. Alors, $h$ est dérivable sur $\R$ comme le produit de deux fonctions dérivables sur $\R$, et : \[ h'(x)= f'(x)\times f(-x) + f(x)\times[-f'(-x)]. \] Or, $f'(x)=f(x)$ donc : \[ h'(x)=f(x)f(-x) - f(x)f(-x) = 0. \] La fonction $h$ est donc constante sur $\R$.

Or, $h(0)=f(0)\times f(-0) = 1 \times1 = 1$.

Donc, pour tout réel $x$, $h(x)=1$, c'est-à-dire : \[ f(x) \times f(-x) = 1. \] On en déduit de plus que $f$ ne s'annule jamais sur $\R$, donc que $f(x)\neq0$ sur $\R$.

Montrons maintenant que $f$ est unique. Pour cela, supposons qu'il existe deux fonctions $f$ et $g$ qui vérifient les mêmes hypothèses mathématiques, à savoir que : \[ \begin{cases} f'=f\\ f(0)=1 \end{cases} \qquad \text{et} \qquad \begin{cases} g'=g\\ g(0)=1\end{cases} \]

Posons alors $h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}$ (d'après la propriété fondamentale, $f$ ne s'annule jamais donc $h$ est bien définie).

$h$ est dérivable sur $\R$ comme le quotient de deux fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s'annule pas, et : \[ h'(x)=\dfrac{g'(x)f(x)-g(x)f'(x)}{\big[f(x)\big]^2}. \] Or, $g'=g$ et $f'=f$ donc : \[ h'(x)=\dfrac{g(x)f(x)-f(x)g(x)}{\big[f(x)\big]^2}=0. \] Ainsi, $h$ est une fonction constante sur $\R$.

De plus, $h(0)=\dfrac{g(0)}{f(0)}=\dfrac{1}{1}=1$.

Donc, pour tout réel $x$, $h(x)=1$, ce qui signifie que $g(x)=f(x)$.

Nous venons donc de montrer qu'il n'existe qu'une fonction remplissant nos exigences.

Il n'existe qu'une fonction $f$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.

Définition

On appelle fonction exponentielle la fonction $\exp$ telle que : \[ \exp'=\exp\qquad\text{et}\qquad\exp(0)=1. \]

Relations fonctionnelles

Image d'un opposé

D'après la propriété fondamentale, on peut tout de suite écrire :

Pour tout réel $x$, \[ \exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}. \]

Image d'une somme

exponentielle d'une somme

Pour tous nombres réels $x$ et $y$, \[ \exp(x+y) = \exp(x) \times \exp(y). \]

Posons $f(x)=\exp(x+y) \times \exp(-x)$. $f$ est dérivable sur $\R$ comme le produit de deux fonctions dérivables sur $\R$, et :

\[ \begin{align} f'(x) &= \exp'(x+y) \times \exp(-x) + \exp(x+y) \times \big[- \exp'(-x) \big]\\ & = \exp(x+y)\times\exp(-x) - \exp(x+y) \times \exp(-x)\\ & = 0.\end{align} \]

Ainsi, $f$ est une fonction constante.

De plus, $f(0)=\exp(0+y)\times\exp(-0)=\exp(y)$ donc, pour tout réel $x$, \[ f(x)=\exp(x+y)\times\exp(-x)=\exp(y)\;, \] c'est-à-dire : \[ \exp(x+y)=\exp(y)\times\dfrac{1}{\exp(-x)}=\exp(y)\times\exp(x). \]

exponentielle d'une différence

Pour tous réels $x$ et $y$, \[ \exp(x-y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}. \]

En considérant la propriété "exponentielle d'une somme" en remplaçant $y$ par $-y$, on a : \[ \exp\big[x+(-y)\big]=\exp(x) \times \exp(-y). \] D'après la propriété fondamentale, $\exp(-y)=\dfrac{1}{\exp(y)}$ donc : \[ \exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}. \]

Notation $\boldsymbol{\e^x}$

Le nombre e

En mathématiques, il est de coutume de désigner par une lettre un nombre important dont l'écriture décimale est infinie. C'est par exemple le cas du nombre $\pi$.

C'est la raison pour laquelle on pose : \[ \e = \exp(1). \]

Le nombre $\e$ est égal à l'image de 1 par la fonction $\exp$.

Avec la méthode d'Euler, nous avons vu que :

$\exp(0,1)\approx (1+0,1)$;
$\exp(0,2)\approx (1+0,1) \times \exp(0,1) \approx (1+0,1)^2$;
$\exp(0,3)\approx (1+0,1) \times \exp(0,2) \approx (1+0,1)^3$;
etc.

On peut alors écrire, pour $h$ très proche de 0 et pour tout entier naturel $n$ : \[ \exp(nh)\approx(1+h)^n. \] En prenant $h=\dfrac{1}{n}$, $n$ étant un entier assez grand pour que $\dfrac{1}{n}$ soit assez proche de 0, on a : \[ \exp(1)\approx\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n. \] Ainsi, en prenant $n$ de plus en plus grand, le nombre $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ se rapproche du nombre $\e$.

Dans un exercice du chapitre des suites, nous en avons trouvé une valeur approchée. Nous prendrons : \[ \boxed{ \e \approx 2,71828182846} \]

Vers la notation simplifiée

De la propriété "exponentielle d'une somme", nous pouvons déduire que :

$\exp(2)=\exp(1+1)=\exp(1)\times\exp(1)=\big(\exp(1)\big)^2=\e^2$;
$\exp(3)=\exp(2+1)=\exp(2)\times\exp(1)=\big(\exp(1)\big)^3=\e^3$;
$\vdots$
$\exp(n) = \big(\exp(1)\big)^n=\e^n$, où $n\in\N$.

Ceci nous encourage alors à simplifier l'écriture $\exp(x)$ en $\e^x$, sans pour autant avoir démontré l'égalité pour tout réel $x$ (on laisse cette démonstration aux mathématiciens avertis).

Ainsi, à partir de maintenant, on notera : \[ \forall x\in\R,\quad \exp(x)=\e^x. \]

Les propriétés précédentes s'écrivent alors :

propriétés algébriques simplifiées de l'exponentielle

$\e^{-x} = \dfrac{1}{\e^x}$;
$\e^{x+y}=\e^x \times \e^y$;
$\e^{x-y} = \dfrac{\e^x}{\e^y}$;
$\big(\e^{x}\big)^n = \e^{nx}$, où $n\in\Z$;
$\e^0 = 1$;
$\big(\e^x\big)' = \e^x$.

La suite $\boldsymbol{(\e^{na})}$, $\boldsymbol{a}$ réel

Soit $a$ un réel. Considérons la suite $\suite{u}{n}{}$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ u_n=\e^{na}. \]

La suite est géométrique

Pour démontrer que la suite $\suite{u}{n}{}$ est géométrique, il faut démontrer que le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant pour tout entier naturel $n$.

\begin{align}\dfrac{u_{n+1}}{u_n} & = \dfrac{\e^{(n+1)a}}{\e^{na}}\\ & = \e^{(n+1)a-na} & \text{(d'après la propriété "exponentielle d'une somme")}\\ & = \e^{na+a-na}\\ & = \e^a.\end{align}

Ainsi, la suite $\suite{u}{n}{}$ est une suite géométrique de raison $q=\e^a$.

Expression du terme général

Par propriété, \[ u_n = u_0 \times q^n \] avec $u_0=\e^0 = 1$. Par conséquent, \[ u_n = \big(\e^a\big)^n. \] Or, $u_n=\e^{na}$. On en déduit alors la propriété suivante :

puissance d'une exponentielle

Pour tout réel $a$ et pour tout entier $n$, \[ \big(\e^{a}\big)^n = \e^{na}. \]

Etude de la fonction $\boldsymbol{x\mapsto\e^x}$

Positivité

positivité

La fonction $x\longmapsto\e^x$ est strictement positive.

Quel que soit le réel $x$, on peut écrire : \[ \e^x = \e^{\frac{x}{2}\times2}. \] D'après la propriété "puissance d'une exponentielle", cela revient à écrire : \[ \e^x = \Big(\e^{\frac{x}{2}}\Big)^2. \] Un carré étant toujours positif ou nul, cela signifie que : \[ \forall x\in\R,\quad\e^x\geqslant0. \] Or, d'après la propriété fondamentale, \[ \forall x\in\R,\quad \e^x \times \e^{-x}=1\;, \] ce qui implique que pour tout réel $x$, $\exp(x)\neq0$.

Ainsi, \[ \forall x\in\R,\quad\e^x>0. \]

Sens de variation

croissance de la fonction exponentielle

La fonction $x\longmapsto\e^x$ est strictement croissante sur \R.

Par définition, \[ \exp' = \exp. \] De plus, d'après la propriété "positivité", pour tout réel $x$, $\exp(x)>0$ donc : \[ \forall x\in\R,\quad\exp'(x)>0\;, \] ce qui signifie que la fonction $x\mapsto\e^x$ est strictement croissante sur $\R$.

Courbe représentative

La courbe représentative de la fonction $x\longmapsto\e^x$ sur $\R$ est la suivante :

En tout point d'abscisse $a$, le coefficient directeur de la tangente à la courbe est égal à $\e^a$.

Propriétés de bijectivité

Pour tous réels $x$ et $y$,

$x = y \iff \e^x = \e^y$
$x \geqslant y \iff \e^x \geqslant \e^y$
$x \leqslant y \iff \e^x \leqslant \e^y$

Ces propriétés découlent de la stricte monotonie de la fonction $x\mapsto\e^x$ sur $\R$.

Etude des fonctions $\boldsymbol{x\mapsto\e^{kx}}$

Variations

Posons $f(x)=\e^{kx}$, où $k\in\Rstar$.

Nous avons vu précédemment que la dérivée de $x\mapsto g(ax+b)$ est $x\mapsto ag'(ax+b)$. Ainsi, \[ f'(x)=k\e^{kx}. \] Pour tout réel $x$, $\e^{kx}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $k$. Ainsi,

si $k < 0$, $f$ est strictement décroissante sur $\R$;
si $k > 0$, $f$ est strictement croissante sur $\R$.

Représentations graphiques

Voici quelques exemples de représentations graphiques des fonctions $x\mapsto\e^{kx}$:

Domaines où l'on rencontre l'exponentielle

Radioactivité

« La radioactivité est le phénomène physique par lequel des noyaux atomiques instables (dits radionucléides ou radioisotopes), se transforment spontanément en d'autres atomes (désintégration) en émettant simultanément des particules de matière (électrons, noyaux d'hélium, neutrons, etc.) et de l'énergie (photons et énergie cinétique). La radioactivité a été découverte en 1896 par Henri Becquerel dans le cas de l'uranium, et très vite confirmée par Marie Curie pour le radium. »

Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Radioactivité

Quand une substance est radioactive, elle ne l'est pas pour toujours. En effet, on montre mathématiquement que le nombre $N$ de noyaux radioactifs diminue avec le temps $t$ et est donné par l'égalité : \[ N(t)=N_0\e^{-\lambda t}\;, \] où $\lambda$ est un paramètre positif dépendant de l'élément radioactif, et $N_0$ le nombre initial observé de noyaux radioactifs.

Evolution d'un capital à taux fixe

Lorsque l'on place un capital sur un compte à taux fixe, cela signifie que chaque année (si on n'y touche pas entre temps), on ajoute un certain pourcentage $t$ au capital de l'année précédente. Cela se traduit par l'égalité : \[ C_{n}=C_0\times\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^n. \] Si on place les points représentant cette suite, on constate qu'ils suivent une courbe exponentielle :

On arrive à montrer que la fonction $f$ s'écrit sous la forme : \[ f(x)=C_0\e^{kx},\quad k>0. \]

Ici, le paramètre $k$ est ce que l'on nomme le logarithme népérien du nombre $1+\dfrac{t}{100}$. On le note $\ln\left(1+\dfrac{t}{100}\right)$.

Décroissance thermique

La police scientifique utilise quelques fois (doux euphémisme...) les mathématiques. C'est le cas quand elle souhaite déterminer l'heure de la mort d'une personne. Pour cela, elle utilise la formule : \[ \dfrac{T_{\text{corps}} - T_{\text{ambiante}}}{37,2-T_{\text{ambiante}}} = 1,25\e^{-kt}-0,25\e^{-5kt}\;, \] où :

$T_{\text{corps}}$ désigne la température (en $^\circ$C) du corps;
$T_{\text{ambiante}}$ désigne la température (en $^\circ$C) du milieu où se trouve le corps;
$k$ est un paramètre dépendant de la masse (en kg) du corps, avec $k=\dfrac{1,2815}{\e^{0,625\ln(M)}}-0,0254$, où $\ln(M)$ désigne le logarithme népérien de $M$ (vous en saurez plus sur le logarithme népérien l'année prochaine).

À l'aide de cette égalité, on peut trouver le réel $t$, qui représente ici la différence entre l'heure de la mort et l'heure des relevés.

Par exemple, si on trouve $t\approx7,5$, cela signifie que l'heure de la mort remonte à 7 h 30 min.

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Exercices

Propriétés algébriques

Simplifier les nombres suivants en donnant le résultat sous la forme d'une seule exponentielle.

$\e^5\times\e^{-3}$
$\dfrac{\e^{-9}}{\e^7}$
$\big(\e^{-2}\big)^3$
$\dfrac{\e^3\times\e^{-4}}{\e^{-2}}$
$\dfrac{\e^2\times\e^{-2}}{\e^{-1}}$
$\left(\e^{-1}\times\e^{-2}\right)^3$

$\e^5\times\e^{-3}=\e^{5+(-3)}=\e^2$.
$\dfrac{\e^{-9}}{\e^7}=\e^{-9-7}=\e^{-16}$.
$\big(\e^{-2}\big)^3=\e^{-2\times3}=\e^{-6}$.
$\dfrac{\e^3\times\e^{-4}}{\e^{-2}}=\e^{3-4-(-2)}=\e^1=\e$.
$\dfrac{\e^2\times\e^{-2}}{\e^{-1}}=\e^{2-2+1}=\e$.
$\left(\e^{-1}\times\e^{-2}\right)^3=\e^{(-1-2)\times3}=\e^{-9}$.

Simplifier les expressions suivantes en donnant le résultat sous la forme d'une seule exponentielle.

$\e^{2x-1}\times\e^{-x+3}$
$\dfrac{\e^{3x-1}}{\e^{4x-2}}$
$\big(\e^{-x+1}\times\e^{x-1}\big)^2$
$\left(\dfrac{\e^{2x+3}\times\e^{3x-2}}{\e^4}\right)^{-1}$

$\e^{2x-1}\times\e^{-x+3}=\e^{2x-1-x+3}=\e^{x+2}$.
$\dfrac{\e^{3x-1}}{\e^{4x-2}}=\e^{3x-1-(4x-2)}=\e^{-x+1}$.
$\big(\e^{-x+1}\times\e^{x-1}\big)^2=\e^{(-x+1+x-1)\times2}=\e^{0}=1$.
$\left(\dfrac{\e^{2x+3}\times\e^{3x-2}}{\e^4}\right)^{-1}=\e^{(2x+3+3x-2-4)\times(-1)}=\e^{-5x+3}$.

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

$\e^{x+2}=0$
$\e^{x^5+x+1}=-1$
$\e^{2x+3}=\e^{-2x-5}$
$\e^{5x+2}=\e^{3x+1}$
$\e^{x^2-1}=\e^{2x^2+3x-2}$
$5-2\e^{3x+2}=3$
$2+3\e^{2x}=5$
$7-4\e^{5x-3}=3$

Une exponentielle étant toujours strictement positive, l'équation $\e^{x+2}=0$ n'admet aucune solution. $\boxed{\mathcal{S}=\varnothing}$
Une exponentielle étant toujours strictement positive, l'équation $\e^{x^5+x+1}=-1$ n'admet aucune solution. $\boxed{\mathcal{S}=\varnothing}$
On a: \begin{align} \e^{2x+3}=\e^{-2x-5} & \iff 2x+3=-2x-5\\ & \iff 4x=-8\\ & \iff x=-2 \end{align}

L'ensemble solution de l'équation $\e^{2x+3}=\e^{-2x-5}$ est donc $\boxed{\mathcal{S}=\{-2\}}$
On a: \begin{align} \e^{5x+2}=\e^{3x+1} & \iff 5x+2=3x+1\\ & \iff 2x=-1\\ & \iff x=-\dfrac{1}{2} \end{align}

L'ensemble solution de l'équation $\e^{5x+2}=\e^{3x+1}$ est donc $\boxed{\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}}$
On a: \begin{align} \e^{x^2-1}=\e^{2x^2+3x-2} & \iff x^2-1=2x^2+3x-2\\ & \iff x^2+3x-1=0\end{align}

Le discriminant de $x^2+3x-1$ est $\Delta=9+4=13$ donc il y a deux solutions : \[ x_1=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}. \] Donc $\boxed{\mathcal{S}=\left\{\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}~;~\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2} \right\}}$
On a: \begin{align} 5-2\e^{3x+2}=3 & \iff -2\e^{3x+2}=-2\\ & \iff \e^{3x+2}=1\\ & \iff \e^{3x+2}=\e^0\\ & \iff 3x+2=0\\ & \iff x=-\dfrac{2}{3}\end{align}

L'ensemble solution de l'équation $5-2\e^{3x+2}=3$ est donc $\boxed{\mathcal{S}=\left\{-\dfrac{2}{3}\right\}}$
On a: \begin{align} 2+3\e^{2x}=5 & \iff 3\e^{2x}=3\\ & \iff \e^{2x}=1\\ & \iff \e^{2x}=\e^0\\ & \iff 2x=0\\ & \iff x=0\end{align}

L'ensemble solution de l'équation $2+3\e^{2x}=5 $ est donc $\boxed{\mathcal{S}=\{0\}}$
On a: \begin{align} 7-4\e^{5x-3}=3 & \iff -4\e^{5x-3}=-4\\ & \iff \e^{5x-3}=1\\ & \iff \e^{5x-3}=\e^0\\ & \iff 5x-3=0\\ & \iff x=\dfrac{3}{5}\end{align}

L'ensemble solution de l'équation $7-4\e^{5x-3}=3$ est donc $\boxed{\mathcal{S}=\left\{\dfrac{3}{5}\right\}}$

Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes.

$\e^{3x-1}>\e^{2x+4}$
$\e^{-2x+5}\leqslant\e^{4x+7}$
$\e^{x^2-1}<\e$
$12-4\e^{5x+1}\geqslant8$
$8+3\e^{-2x+3}\leqslant11$
$56+14\e^{47x-15}>70$

$\e^{3x-1}>\e^{2x+4} \iff 3x-1>2x+4 \iff x>5$.

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervOO{5}{+\infty}}$
$\e^{-2x+5}\leqslant\e^{4x+7} \iff -2x+5\leqslant4x+7 \iff 6x\geqslant-2 \iff x\geqslant-\dfrac{1}{3}$.

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervFO{-\dfrac{1}{3}}{+\infty}}$
$\e^{x^2-1}<\e \iff x^2-1<1 \iff x^2-2<0$.

$x^2-2$ admet pour racines $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$, et est négatif entre ses racines.

L'ensemble solution de l'inéquation est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervOO{-\sqrt2}{\sqrt2}}$
On a: \begin{align} 12-4\e^{5x+1}\geqslant8 & \iff -4\e^{5x+1}\geqslant-4\\ & \iff \e^{5x+1}\leqslant1\\ & \iff \e^{5x+1}\leqslant\e^0\\ & \iff 5x+1\leqslant0\\ & \iff x\leqslant-\dfrac{1}{5} \end{align}

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervOF{-\infty}{-\dfrac{1}{5}}}$
On a: \begin{align} 8+3\e^{-2x+3}\leqslant11 & \iff 3\e^{-2x+3}\leqslant3\\ & \iff \e^{-2x+3}\leqslant1\\ & \iff \e^{-2x+3}\leqslant\e^0\\ & \iff -2x+3\leqslant0\\ & \iff -2x\leqslant-3\\ & \iff x\geqslant\dfrac{3}{2} \end{align}

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervFO{\dfrac{3}{2}}{+\infty}}$
On a: \begin{align} 56+14\e^{47x-15}>70& \iff 14\e^{47x-15}>14\\ & \iff \e^{47x-15}>1\\ & \iff 47x-15>0\\ & \iff x>\dfrac{15}{47} \end{align}

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervOO{\dfrac{15}{47}}{+\infty}}$

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :

$\e^{2x}-2\e^x+1=0$
$\e^{2x}+\e^x-2=0$

$\e^{2x}-2\e^x+1=0$. On pose $X=\e^x$. Ainsi, comme $\e^{2x}=\big(\e^x\big)^2$, l'équation est équivalente à : \[ X^2-2X+1=0 \iff (X-1)^2=0 \iff X=1 \iff \e^x=1 \iff x=0. \] L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\{0\}}$
$\e^{2x}+\e^x-2=0$. On pose $X=\e^x$ et l'équation devient : $ X^2+X-2=0$.

Le discriminant du polynôme $X^2+X-2$ est $\Delta=9$ donc il admet deux racines : \[ X_1=\dfrac{-1-3}{2}=-2\qquad\text{et}\qquad X_2=\dfrac{-1+3}{2}=1.\] Ainsi, $\e^{x_1}=-2$ et $\e^{x_2}=1$.

Une exponentielle étant strictement positive, $\e^{x_1}=-2$ est impossible.

$\e^{x_2}=1\iff x_2=0$ donc l'ensemble solution est $\boxed{\mathcal{S}=\{0\}}$

Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :

$\e^{2x}+\e^{x}-2\geqslant0$
$\e^{2x}-2\e^x+1\leqslant0$

On a: \begin{align}\e^{2x}+\e^{x}-2\geqslant0 & \iff X^2+X-2\geqslant0\text{ avec $X=\e^x$}\\ & \iff (X-1)(X+2)\geqslant0\text{ (voir exercice 4 pour les racines)}\\ & \iff \big(\e^x-1\big)\big(\e^x+2\big)\geqslant0\\ & \iff \e^x-1\geqslant0\text{ (car }\e^x+2>0\text{ pour tout réel }x)\\ & \iff \e^x\geqslant1\\ & \iff x\geqslant0\end{align}

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervFO{0}{+\infty}}$
On a: \begin{align} \e^{2x}-2\e^x+1\leqslant0 & \iff X^2-2X+1\leqslant0\text{ avec }X=\e^x\\ & \iff (X-1)^2\leqslant0\\ & \iff (X-1)^2=0\text{ car }(X-1)^2\text{ est toujours positif ou nul}\\ & \iff X=1\\ & \iff \e^x=1\\ & \iff x=0\end{align}

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\{0\}}$

Etudes de fonctions

On considère la fonction $f$ définie par pour tout réel $x$ par: \[ f(x) = (7x-1)\e^x \]

Montrer que sa dérivée est égale à $f'(x)=(7x+6)\e^x$.
En déduire les variations de $f$ sur $\R$.

$f(x) = (7x-1)\e^x$ est de la forme $u\times v$ avec:

$u(x) = 7x-1$

$u'(x) = 7$

$v(x) = \e^x$

$v'(x) = \e^x$

D'où: \begin{align} f'(x) & = (u'v+v'u)(x)\\ & = 7\e^x + (7x-1)\e^x\\ & \text{On peut alors factoriser par $\e^x$}\\ f'(x) & = (7 + 7x-1)\e^x\\ f'(x) & = (7x+6)\e^x \end{align}
Afin d'étudier les variations de $f$ sur $\R$, nous devons trouver le signe de $f'(x)$ sur $\R$.

Or, pour tout réel $x$, $\e^x > 0$ donc $f'(x)$ est du signe de $7x+6$.

\begin{align}7x+6>0 & \iff 7x > -6\\ & \iff x > -\frac{6}{7}\end{align}

On en déduit alors le tableau suivant:

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: \[ f(x) = (3-2x)\e^{-x}. \]

Montrer que sa dérivée est égale à $f'(x)=(2x-5)\e^{-x}$.
En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.

$f(x) = (3-2x)\e^{-x}$ est de la forme $f = u \times v$ avec:

$u(x) = 3-2x$

$u'(x)=-2$

$v(x)=\e^{-x}$

$v'(x) = -\e^{-x}$

Ainsi, \begin{align} f'(x) & = (u'v + v'u)(x)\\ f'(x) & = -2\e^{-x} -\e^{-x}(3-2x)\\& \text{On peut alors factoriser par $\e^{-x}$.}\\ f'(x) & = \big[(-2-(3-2x)\big]\e^{-x}\\ f'(x) & = (-2-3+2x)\e^{-x}\\ f'(x) & = (2x-5)\e^{-x} \end{align}
Pour tout réel $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $(2x-5)$.

\begin{align}2x-5 > 0 & \iff 2x > 5\\ & \iff x > \frac{5}{2}.\end{align}

D'où le tableau suivant:

Etudier sur $\R$ les variations de la fonction $f$ définie par : \[ f(x) = \dfrac{\e^x}{1+\e^x}. \]

$f(x)=\dfrac{\e^x}{1+\e^x}=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, avec $u'(x)=\e^x$ et $v'(x) = \e^x$.

\begin{align} f'(x) & = \dfrac{u'v-v'u}{v^2}\\ & = \dfrac{\e^x(1+\e^x) - \e^x\times\e^x}{(1+\e^x)^2}\\ & = \dfrac{\e^x+\e^{2x}-\e^{2x}}{(1+\e^x)^2}\\ f'(x) & = \dfrac{\e^x}{(1+\e^x)^2} > 0 \end{align}

Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $\R$ (inutile de faire un tableau de variations quand la fonction est strictement monotone comme ici).

Soit $f$ la fonction définie sur $\R_+$ par : \[ f(x)=\e^x\sqrt{x}.\]

Déterminer $f'(x)$.
En déduire les variations de $f$ sur $\R_+$.

Dresser un tableau de variations de $f$.

$f'(x)=\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)\e^x$, soit $\boxed{f'(x)=\left(\dfrac{1+2x}{2\sqrt{x}}\right)\e^x}$.
$x>0 \iff 1+2x>0 \iff f'(x)>0$ (car $\e^x>0$ et $2\sqrt{x}>0$) d'où le tableau suivant :

J'ai ici dressé le tableau de variation, bien que la fonction soit strictement monotone, car il y a une valeur interdite (traduite par une « double barre » verticale en-dessous de 0).

Quand il y a au moins une valeur interdite, il est conseillé de faire le tableau.

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ appartenant à son domaine de définition par: \[ f(x)=\dfrac{\e^{2x}-6}{2\e^{x}+7} \]

Justifier que son domaine de définition est $\R$.
Montrer que sa dérivée est $f'(x)=\dfrac{2\e^x\big(\e^{2x}+7\e^{x}+6\big)}{\big(2\e^x+7\big)^2}$.
En déduire les variations de $f$ sur $\R$.

$f(x)$ est un quotient; par conséquent, $f$ est définie uniquement pour toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles le dénominateur de $f(x)$ est non nul.

Or, pour tout réel $x$, $\e^x >0$, donc $2\e^x > 0$ et par conséquent, $2\e^x+7 > 0$.

Le dénominateur de $f(x)$ n'est donc jamais nul. Le domaine de définition de $f$ est donc $\R$.
$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec:

$u(x)=\e^{2x}-6$ et $u'(x)=2\e^{2x}$

$v(x)=2\e^x+7$ et $v'(x)=2\e^x$

\begin{align} f'(x) & = \dfrac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{\big[v(x)\big]^2}\\ & = \dfrac{2\e^{2x}(2\e^x+7) - 2\e^x(\e^{2x}-6)}{(2\e^x+7)^2}\\ & = \dfrac{2\e^{x}\big[\e^x(2\e^x+7) - (\e^{2x}-6)\big]}{(2\e^x+7)^2}\\ & = \dfrac{2\e^{x}\big[2\e^{2x}+7\e^x - \e^{2x}+ 6\big]}{(2\e^x+7)^2}\\ f'(x) & = \dfrac{2\e^{x}(\e^{2x}+7\e^x + 6)}{(2\e^x+7)^2} \end{align}
Pour tout réel $x$,
- $2\e^x > 0$,
- $\e^{2x}+7\e^x + 6 > 0$ comme somme de termes strictement positifs,
- $(2\e^x+7)^2 > 0$.
Ainsi, $f'(x)>0$ sur $\R$; la fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x)=(x-1)\big(2-\e^{-x}\big).\]

Montrer que $f'(x)=x\e^{-x}+2\left(1-\e^{-x}\right)$.
En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x)>0$.
Préciser la valeur de $f'(0)$ puis donner les variations de $f$.

$f$ est de la forme $uv$ avec $u(x)=x-1$ et $v(x)=2-\e^{-x}$.

Ainsi, $f'=u'v+uv'$ avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=\e^{-x}$.

D'où : \begin{align} f'(x) & = 2-\e^{-x}+(x-1)\e^{-x}\\ & = 2-\e^{-x}+x\e^{-x}-\e^{-x}\\ f'(x) & = x\e^{-x} + 2(1-\e^{-x}) \end{align}
Si $x>0$, alors $\e^{-x} < 1$ et $1-\e^{-x}>0$.

De plus, $x\e^{-x}>0$ donc, par somme de termes positifs, $f'(x)>0$.
$f'(0)=0$.

De la question précédente, on déduit que $f$ est strictement croissante sur $\intervFO{0}{+\infty}$.

On peut modéliser le taux d'équipement en smartphones des adultes français au cours de l'année $2015+t$ par la fonction $f$ définie pour tout réel positif $t$ par : \[ f(t)=\dfrac{1}{1+\e^{-0,5t}}. \]

Etudier le sens de variation de la fonction $f$.
À partir de quelle année le taux d'équipement deviendra-t-il supérieur à $\pourcent{90}$ ? On pourra utiliser la calculatrice ou n'importe quel programme.

$f$ est de la forme $\dfrac{1}{v}$ donc $f'$ sera de la forme $-\dfrac{v'}{v^2}$ et donc : \[ f'(t) = \dfrac{0,5\e^{-0,5t}}{\big(1+\e^{-0,5t}\big)^2}. \] Ainsi $f'(t)>0$ pour tout réel $t$, donc à plus forte raison pour $t\geqslant0$.

$f$ est donc strictement croissante sur $\intervFO{0}{+\infty}$.
On peut s'aider du programme Python suivant :
```
# on importe la fonction exponentielle du module "math"
from math import exp

t = 0
while 1/(1+exp(-0.5*t)) <= 0.9:
	t += 0.1

print(t)
```
On part de $t=0$ et on calcule l'image de $t$ tant que celle-ci est inférieure ou égale à $\pourcent{90}$, c'est-à-dire 0,9. Tant que cette image ne dépasse pas 0,9, on ajoute 0,1 à $t$.

Le programme retourne alors la valeur « 4,4 »; c'est donc au cours de la 4ème année que le taux dépassera $\pourcent{90}$.

Si vous n'êtes pas à l'aise avec Python, vous pouvez utiliser la calculatrice en entrant la fonction $f(x)$, puis en dressant un tableau de valeurs, et ainsi voir à partir de quelle valeur de $x$ les valeurs sont inférieures à 0,9.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[ f(x)=\dfrac{\e^x-\e^{-x}}{\e^x+\e^{-x}}. \] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Montrer que $f$ est impaire, c'est-à-dire que pour tout réel $x$, $f(-x)=-f(x)$.
Montrer que $f'(x)=\dfrac{4}{\big(\e^x+\e^{-x}\big)^2}$.

En déduire les variations de $f$ sur $\R$.
Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

Le domaine de définition de $f$ (c'est-à-dire $\R$) est centré en 0.

De plus, pour tout réel $x$, $f(-x)=\dfrac{\e^{-x}-\e^x}{\e^{-x}+\e^x}=-\dfrac{\e^x-\e^{-x}}{\e^x+\e^{-x}}=-f(x)$.

$f$ est donc impaire.
$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=\e^x-\e^{-x}$ et $v(x)=\e^x+\e^{-x}$.

Ainsi, $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=\e^x+\e^{-x}=v(x)$ et $v'(x)=\e^x-\e^{-x}=u(x)$.

On a alors : \begin{align} f'(x) & = \dfrac{\big[v(x)\big]^2-\big[u(x)\big]^2}{\big[v(x)\big]^2} = \dfrac{\big[v(x)-u(x)\big]\big[v(x)+u(x)\big]}{\big[v(x)\big]^2}\\ & = \dfrac{2\e^{-2x}\times2\e^{2x}}{\big(\e^x+\e^{-x}\big)^2} \\ & = \boxed{\dfrac{4}{\big(\e^x+\e^{-x}\big)^2}} \end{align}

Ainsi, $f'(x)>0$ sur $\R$, ce qui signifie que $f$ est strictement croissante sur $\R$.
$f'(0)=\dfrac{4}{(1+1)^2}=1$ et $f(0)=0$ donc l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0 est $y=x$.

On injecte à toutes les personnes d'un groupe d'individus infectés par un virus un antidote à l'instant $x=0$.

Le taux de personnes ayant le virus à l'instant $x$ est donné par la fonction $f$ définie pour $x\geqslant0$ par : \[ f(x)=\e^{-x}\sqrt{x+1}\;, \] où $x$ est exprimé en jour.

Déterminer les variations de $f$.

Soit le programme suivant :

from math import exp, sqrt

f = 1
x = 0

while f > 0.5:
	x = x + 1/24
	f = exp(-x) * sqrt(x+1)

print(x)

À quoi correspond la valeur affichée par ce programme ?

Ce programme affiche la valeur : 1,08333.

Indiquer au bout de combien d'heures le taux de malades est inférieur à $\pourcent{50}$.
À l'aide d'un tableur ou de votre calculatrice, déterminer au bout de combien de jours et d'heures ce taux sera strictement inférieur à $\pourcent{10}$.