Première approche historique

Archimède

Archimède de Syracuse ($-287$ -- $-212$) était un savant grec. Il semblerait qu'il fût le premier à se pencher sur la notion de tangente à une courbe, une droite qui « frôle » une courbe et la touche en un seul point.

Torricelli

Plusieurs siècles plus tard, l'italien Torricelli (1608 -- 1646) et le français Roberval (1602 -- 1675) continuèrent les travaux d'Archimède et apportèrent ainsi les premières notions sérieuses du calcul dit infinitésimal.

Pierre de Fermat

Le mathématicien français Pierre de Fermat (vers 1601 -- 1665), surnommé le « prince des amateurs » car les mathématiques étaient pour lui plus un passe-temps qu'un métier, décrit ensuite la tangente comme la position limite d'une sécante à une courbe. C'est la définition qu'on utilise aujourd'hui (voir paragraphe II).

René Descartes

René Descartes (1596 -- 1650), souvent très dur envers Fermat, critiquera le manque de rigueur de ce dernier ce qui pousse Fermat à clarifier et à étendre sa méthode.

En Angleterre : Wallis, Gregory, Barrow et Newton

Les méthodes analytiques de Descartes et de Fermat ont beaucoup de succès en Angleterre et sont donc reprises par John Wallis (1616 -- 1707) et James Gregory (1638 -- 1675). Ceci pousse le mathématicien Isaac Barrow (1630 -- 1677), le prédécesseur d'Isaac Newton (1643 -- 1727) à la chaire de mathématiques de l'université de Cambridge à développer une méthode des tangentes par le calcul, très proche de celle actuellement utilisée. Il expose cette méthode dans ses cours.

Puis les mathématiciens anglais Newton (1643 -- 1727) et allemand Leibniz (1646 -- 1716), indépendamment l'un de l'autre, inventent des procédés algorithmiques, ce qui tend à faire de l'analyse dite infinitésimale une branche autonome des mathématiques. Newton publie en 1736 sa méthode la plus célèbre, la méthode des fluxions et des suites infinies.

Blaise Pascal

C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la seconde moitié du XVII\ieme siècle, a le premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les appelait « touchantes ». Le marquis de l'Hospital contribuera à diffuser le calcul différentiel de Leibniz à la fin du XVII\ieme siècle grâce à son livre sur l'analyse des infiniment petits. Wallis, mathématicien anglais (surtout connu pour la suite d'intégrales qui porte son nom) contribua également à l'essor de l'analyse différentielle.

Néanmoins cette théorie tout juste éclose n'est pas encore, à l'époque, pourvue de toute la rigueur mathématique qu'elle aurait exigée, et notamment la notion d'infiniment petit introduite par Newton, qui tient plus de l'intuitif, et qui pourrait engendrer des erreurs dès lors que l'on ne s'entend pas bien sur ce qui est ou non négligeable.

Jean le Rond d'Alembert

C'est au XVIIIieme siècle que Jean le Rond d'Alembert (1717 -- 1783) introduit la définition plus rigoureuse du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement - sous une forme semblable à celle qui est utilisée et enseignée de nos jours. Cependant, à l'époque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose problème. C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du XIX\ieme siècle que le concept de dérivée sera entièrement formalisé.

Joseph-Louis Lagrange

C'est au mathématicien français Joseph-Louis Lagrange (1736 -- 1813) que l'on doit la notation $f'(x)$, aujourd'hui usuelle, pour désigner le nombre dérivé de $f$ en $x$. C'est aussi à lui qu'on doit le nom de « dérivée » pour désigner ce concept mathématique.

Source : math93.com.

Nombre dérivé

Approche géométrique

Considérons la courbe représentative $\cal C$ d'une fonction $f$, et un point A\coord{a}{f(a)}.

Considérons ensuite un point $M\coord{a+h}{f(a+h)}$ où $h\in\R$, et la droite $\cal D$ passant par $A$ et $M$.

$\cal D$ est appelée la sécante à $\cal C$ passant par $A$ et $M$.

Le coefficient directeur de cette sécante est appelé le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$; d'après la formule vue en classe de Seconde, il est égal à : \[ \dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]

Si $M$ se rapproche de $A$, c'est-à-dire si $h$ se rapproche de 0, alors la droite $\cal D$ se rapproche d'une droite $\cal T$ (en $\textcolor{green!50!black}{vert}$ ci-dessous) qui « frôle » $\cal C$ et qui la touche au point $A$.

Ainsi, le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ se rapproche du coefficient directeur de $\cal T$. On dit que la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0 est égal au coefficient directeur de $\cal T$, et on note : \[ \limite{h}{0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\text{coefficient directeur de }{\cal T}. \]

En prenant $f(x)=-0,3x^2+2x+1$, on peut alors écrire un programme (en Python par exemple) qui écrit les coefficients directeurs successifs de $\cal D$ quand $h$ se rapproche de 0 :


def f(x):
	return -0.3*x*x+2*x+1

def coef(a):
	h = a
	while (h > 0):
		m = ( f(a+h) - f(a) ) / h
		print('h =' , h , ',' , 'm =', m)
		h = h - 0.01

coef(1)

...
h = 0.03999999999999925, m = 1.387999999999993
h = 0.02999999999999925, m = 1.3909999999999993
h = 0.019999999999999248, m = 1.3939999999999921
h = 0.009999999999999247, m = 1.3969999999999758

Définition et exemples fondamentaux

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et soit $a\in I$.

On définit le nombre dérivé de $\pmb{f}$ en $\pmb{a}$ comme étant le nombre noté $f'(a)$ tel que : \[ f'(a)=\limite{h}{0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]

la fonction carré

Posons $f(x)=x^2$, et calculons le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$, où $a$ est un nombre quelconque et $h>0$ :

\[ \begin{align} \tau_a(h) & = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\ & = \dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}\\ & = \dfrac{\cancel{a^2}+2ah+h^2-\cancel{a^2}}{h}\\ & = \dfrac{\cancel{h}(2a+h)}{\cancel{h}}\\ & = 2a+h. \end{align} \]

Ainsi, \[ f'(a)=\limite{h}{0}(2a+h)=2a+0=2a. \] Quelle que soit la valeur de $a$, le nombre dérivé de $x^2$ en $a$ est $f'(a)=2a$.

la fonction cube

Posons $f(x)=x^3$, et calculons le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$, où $a$ est un nombre quelconque et $h>0$ :

\[ \begin{align} \tau_a(h) & = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\ & = \dfrac{(a+h)^3-a^3}{h}\\ & = \dfrac{\textcolor{red}{\cancel{a^3}+3a^2h+3ah^2+h^3}-\cancel{a^3}}{h}\\ & = \dfrac{\cancel{h}(3a^2+3ah+h^2)}{\cancel{h}}\\ & = 3a^2+3ah+h^2. \end{align} \]

Ainsi, \[ f'(a)=\limite{h}{0}(3a^2+3ah+h^2+h)=3a^2. \] Quelle que soit la valeur de $a$, le nombre dérivé de $x^3$ en $a$ est $f'(a)=3a^2$.

la fonction racine carrée

Posons $f(x)=\sqrt{x}$.

\[ \begin{align} \tau_a(h) & = \dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}\\ & = \dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}\times\textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}}\\ & = \dfrac{\big(\sqrt{a+h}-\sqrt{a}\big)\big(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\big)}{h\big(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\big)}\\ & = \dfrac{\big(\sqrt{a+h}\big)^2-\big(\sqrt{a}\big)^2}{h\big(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\big)}\\ & = \dfrac{a+h-a}{h\big(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\big)}\\ & = \dfrac{\cancel{h}}{\cancel{h}\big(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\big)}\\ & = \dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}. \end{align} \]

Ainsi, \[ f'(a)=\limite{h}{0}\left(\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}. \] Quelle que soit la valeur de $a$, le nombre dérivé de $\sqrt{x}$ en $a$ est $f'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$.

la fonction inverse

Posons $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

\[ \begin{align} \tau_a(h) & = \dfrac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}\\ & = \dfrac{\frac{a}{a(a+h)}-\frac{a+h}{a(a+h)}}{h}\\ & = \dfrac{\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}}{h}\\ & = -\dfrac{\cancel{h}}{a(a+h)}\times\dfrac{1}{\cancel{h}}\\ & = -\dfrac{1}{a(a+h)}. \end{align} \]

Ainsi, \[ f'(a)=\limite{h}{0}\left(-\dfrac{1}{a(a+h)}\right)=-\dfrac{1}{a^2}. \] Quelle que soit la valeur de $a$, le nombre dérivé de $\dfrac{1}{x}$ en $a$ est $f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}$.

Interprétations du nombre dérivé

En physique

Imaginons un corps en chute libre, lâché sans vitesse initiale.

La distance qu'il parcourt en $t$ secondes est égale à $x(t)=5t^2$.

Sa vitesse moyenne entre deux instants $t_1$ et $t_2$ est : \[ v = \dfrac{x(t_2)- x(t_1)}{t_2-t_1} \] car $v = \dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}$. On peut aussi noter : \[ v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}\,, \] « $\Delta$ » désignant ici la variation (et non le discriminant).

La vitesse instantanée est la vitesse à un instant donné. Ainsi, la vitesse instantanée à l'instant $t$ peut être vue comme étant égale à $\limite{h}{0}\dfrac{x(t+h)-x(t)}{h}$, donc égale à $x'(t)$.

Le nombre dérivé peut donc être perçu comme une vitesse instantanée. En liaison avec la notation $\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ (pour le taux d'accroissement), on peut aussi noter : \[ v'(t)=\dfrac{\text{d}x(t)}{\dx[t]}. \]

En économie

On définit le coût marginal de production comme le coût supplémentaire induit par la dernière unité produite. Si $C$ représente le coût total, on note $C_m$ le coût marginal associé.

Le coût marginal sert à évaluer s'il est rentable d'accepter une commande supplémentaire.

On peut alors exprimer le coût marginal par : \[ C_m(x)=\limite{h}{0}\dfrac{C(x+h)-C(x)}{(x+h)-x}=\limite{h}{0}\dfrac{C(x+h)-C(x)}{h}.\] On s'aperçoit que le coût marginal n'est rien d'autre que le nombre dérivé du coût total.

Equation de la tangente

Définition

Soit $\cal C$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$. Soit $a\in I$.

On appelle tangente à $\pmb{\cal C}$ au point d'abscisse $\pmb{a}$ la droite de coefficient directeur $f'(a)$ passant par le point de coordonnées \coord{a}{f(a)}.

$\cal T$ est ici la tangente à $\cal C$ au point d'abscisse 1.

Equation

Soit $\cal C$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$. Soit $a\in I$.

L'équation réduite de la tangente à $\cal C$ au point d'abscisse $a$ est : \[ y = f'(a)(x-a)+f(a). \]

Par définition, le coefficient de la tangente est $f'(a)$ donc l'équation réduite de la tangente est de la forme : \[ y=f'(a)x + p. \] On sait de plus que le point de coordonnées \coord{a}{f(a)} est sur $\cal C$ donc ses coordonnées vérifient l'équation : \[ f(a)=f'(a)\times a + p \] donc : \[ p=f(a)-af'(a). \] Ainsi, l'équation réduite de la tangente est : \[ y = f'(a)x + f(a)-af'(a) \] soit, en factorisant une partie du second membre par $f'(a)$ : \[ y = f'(a)(x-a)+f(a). \]

Approximation affine

Soit $f$ une fonction dérivable en un point $a$. Soit $h$ un nombre réel. Alors, \[ f(a+h) \approx f(a) + hf'(a). \] C'est l'approximation affine de $f$ au voisinage de $a$.

On souhaite avoir une valeur approchée de $\sqrt{17}$.

Pour cela, on considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x}$ sur $\intervFF{0}{+\infty}$.

On sait que $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $\intervOF{0}{+\infty}$.

On écrit ensuite:

\[ \begin{align} \sqrt{17} & = \sqrt{16+1}\\ & = \sqrt{16\left(1+\dfrac{1}{16}\right)}\\ & = \sqrt{16} \times \sqrt{1+\dfrac{1}{16}}.\end{align} \]

L'approximation affine nous donne, en prenant $a=1$ et $h=\dfrac{1}{16}$: \[ \sqrt{1+\dfrac{1}{16}} \approx \sqrt{1} + \dfrac{1}{16}\times\dfrac{1}{2\sqrt{1}} \approx 1+\dfrac{1}{32}. \] Ainsi, \[ \sqrt{17} \approx 4 \times \left( 1+\dfrac{1}{32} \right) \approx 4 + \dfrac{4}{32} \approx 4+\dfrac{1}{8} \approx 4,125. \] À la calculatrice, on trouve : $\sqrt{17}\approx4,123$.

On peut donc dire que notre approximation est bonne à 0,01 près.

Fonction dérivée

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

On définit la fonction dérivée de $\pmb{f}$ comme étant la fonction : \[ f'\;:\; x \longmapsto f'(x) \] où $f'(x)$ est le nombre dérivé de $f$ en $x$.

Si $f'(x)$ est définie sur un intervalle $J$ inclus dans $I$ alors on dit que $f$ est dérivable sur $\pmb{J}$.

Dérivées de référence

D'après les exemples "la fonction carré", "la fonction cube", "la fonction racine carrée" et "la fonction inverse", on peut écrire :

Si $f(x)=x^2$ alors $f'(x)=2x$ sur $\R$.
Si $f(x)=x^3$ alors $f'(x)=3x^2$ sur $\R$.
Si $f(x)=\sqrt{x}$ alors $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $\intervOF{0}{+\infty}$ (la fonction n'est pas dérivable en 0).
Si $f(x)=\dfrac{1}{x}$ alors $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ sur $\intervOO{-\infty}{0}$ et sur $\intervOO{0}{+\infty}$.

De plus,

Si $f(x)=x^n$, $n\in\Z$, alors $f'(x)=nx^{n-1}$ (avec $x\neq0$ si $n<0$).

Dérivée d'une fonction composée

Soit la fonction $x\mapsto g(ax+b)$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

Alors, sa fonction dérivée est : \[ x\longmapsto ag\,^\prime(ax+b). \]

$f(x)=\sqrt{-5x+20}$, définie sur $\intervOF{-\infty}{4}$.

Ici, $g(x)=\sqrt{x}$ et $f(x)=g(-5x+20)$.

$g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ donc $f'(x)=-5g'(-5x+20)$ soit : \[ f'(x)=\dfrac{-5}{2\sqrt{-5x+20}},\ \text{définie sur }\intervOO{-\infty}{4}. \]
$f(x)=\dfrac{1}{4x+12}$, définie sur $\R\setminus\{-3\}$.

Ici, $g(x)=\dfrac{1}{x}$ et $f(x)=g(4x+12)$.

$g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ donc $f'(x)=4g'(4x+12)$ soit : \[ f'(x)=-\dfrac{4}{(4x+12)^2},\ \text{définie sur }\R\setminus\{-3\}. \]

Fonction valeur absolue

Définition (rappel de Seconde)

Pour tout réel $x$, on définit la valeur absolue de $\pmb{x}$, et on note $|x|$, par : \[ |x|=\begin{cases} x & \text{si }x\geqslant0\\ -x & \text{si }x < 0.\end{cases} \]

$|-5|=5$ car $-5<0$.
$|3|=3$ car $3\geqslant0$.
$|0|=0$.
$|\pi|=\pi$ car $\pi\geqslant0$.

Courbe représentative

Dérivée

Soit $f(x)=|x|$. Alors, \[ f'(x)=\begin{cases}-1 & \text{si }x<0\\ 1 & \text{si }x>0 \end{cases} \] et $f'(0)$ n'existe pas.

On dit que la fonction n'est pas dérivable en 0.

D'après la relation $(x^n)^\prime = nx^{n-1}$, on sait que la dérivée de $x \mapsto x$ est $x \mapsto 1$, et celle de $x\mapsto-x$ est $x\mapsto-1$.

Or, si $x<0$, $|x|=-x$ donc sur $\intervOO{-\infty}{0}$, la dérivée de $x\mapsto|x|$ est celle de $x\mapsto-x$, c'est-à-dire $x\mapsto-1$.

De plus, si $x>0$, $|x|=x$ donc sur $\intervOO{0}{+\infty}$, la dérivée de $x\mapsto|x|$ est celle de $x\mapsto x$, c'est-à-dire $x\mapsto1$.

Le nombre dérivé de $x\mapsto|x|$ à gauche de 0 est donc égal à $-1$ alors que celui à droite de 0 vaut $1$. Ainsi, en 0, il n'y a pas le même nombre dérivé à gauche et à droite: $f'(0)$ n'existe donc pas.

Opérations sur les dérivées

formules usuelles

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.

$(ku)' = ku'$
$(u+v)' = u' + v'$.
$(u-v)' = u' - v'$.
$(uv)' = u'v+uv'$.
$\left(\dfrac{u}{v}\right)^\prime = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.

produit d'un nombre et d'une fonction

$f(x)=3x^2$. On pose alors $u(x)=x^2$ et $k=3$. Comme $u'(x)=2x$, on a : \[ f'(x)=3 \times 2x = 6x. \]

somme

$f(x)=4x^3+5x^2+3x+1$. Pour calculer $f'(x)$, on calcule la dérivée de chaque terme :

\[ \begin{align} f'(x) & = (4x^3)' + (5x^2)' + (3x)' + (1)'\\ & = 4\times3x^2+5\times2x+3\times1+0\\ & = 12x^2+10x+3.\end{align} \]

différence

$f(x)=8x^5-5x^2$. Pour calculer $f'(x)$, on calcule la dérivée de chaque terme :

\[ \begin{align}f'(x) & = (8x^5)' - (5x^2)'\\ & = 8\times5x^4 - 5\times2x\\ & = 40x^4-10x.\end{align}\]

produit de deux fonctions

$f(x)=(3x+1)\sqrt{2x+5}$. On pose :

$u(x)=3x+1$

$u'(x)=3$

$v(x)=\sqrt{2x+5}$

$v'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+5}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+5}}$

D'où :

\[ \begin{align}f'(x)&=3\times\sqrt{2x+5} + (3x+1)\times\dfrac{1}{\sqrt{2x+5}}\\ & = 3\sqrt{2x+5}+\dfrac{3x+1}{\sqrt{2x+5}}\\ & = \dfrac{3\sqrt{2x+5}\times\sqrt{2x+5}+(3x+1)}{\sqrt{2x+5}}\\ & = \dfrac{3(2x+5)+3x+1}{\sqrt{2x+5}}\\ & = \dfrac{9x+16}{\sqrt{2x+5}}.\end{align} \]

quotient de deux fonctions

$f(x)=\dfrac{3x^2-5x+2}{x+3}$. On pose :

$u(x)=3x^2-5x+2$

$u'(x)=6x-5$

$v(x)=x+3$

$v'(x)=1$

D'où :

\[ \begin{align}f'(x) & = \dfrac{(6x-5)\times(x+3)-(3x^2-5x+2)\times1}{(x+3)^2}\\ & = \dfrac{6x^2+18x-5x-15-3x^2+5x-2}{(x+3)^2}\\ & = \dfrac{3x^2+18x-17}{(x+3)^2}.\end{align} \]

On ne développe pratiquement jamais le carré au dénominateur; nous verrons que cela a une utilité dans le paragraphe « Applications de la dérivation ».

Démonstration du point 4 de la propriété "formules usuelles"

Calculons le taux d'accroissement de la fonction $uv$ en $a$ :

\[ \begin{align} \tau_a(h) & = \dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}\\ & = \dfrac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}\\ & = \dfrac{\textcolor{purple}{u(a+h)v(a)}-u(a)v(a)\textcolor{purple}{-u(a+h)v(a)}+u(a+h)v(a+h)}{h} \\ & \text{(on a ici fait apparaître } u(a+h)v(a))\\ \tau_a(h) & = \dfrac{\big[u(a+h)-u(a)\big]v(a)+u(a+h)\big[v(a+h)-v(a)\big]}{h}\\ & = \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}v(a)+u(a+h)\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}\;.\end{align} \]

Or, \[ \lim_{h\to0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a),\ \lim_{h\to0}\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)\text{ et }\lim_{h\to0}u(a+h)=u(a).\] Ainsi, \[ \lim_{h\to0}\tau_a(h)=u'(a)v(a)+u(a)v'(a).\] Donc $(uv)'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$.

Applications de la dérivation

Variation d'une fonction

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

$f$ est croissante sur $I$ $\iff$ $f'(x)\geqslant0$ pour tout $x$ de $I$.
$f$ est décroissante sur $I$ $\iff$ $f'(x)\leqslant0$ pour tout $x$ de $I$.

De plus,

Si $f'(x)>0$ sur $I$, on dit que $f$ est strictement croissante sur $I$.
Si $f'(x)<0$ sur $I$, on dit que $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Conséquence: pour étudier les variations d'une fonction, il suffit d'étudier le signe de sa dérivée.

Soit $f(x)=3x^3-5x^2+4x-1$.

Sa dérivée est : $f'(x)=9x^2-10x+4$. C'est un polynôme de degré 2, dont le discriminant est : \[ \Delta = (-10)^2-4\times9\times4=-44<0. \] Ainsi, $f'(x)$ est du signe du coefficient de $x^2$, c'est-à-dire ici positif. \[ \forall x \in\R,\ f'(x)>0 \text{ donc $f$ est strictement croissante sur }\R. \]

Extremum local

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Soit $a\in I$.

On dit que $f$ admet un extremum local en $a$ si $f'(a)=0$ et si $f'(x)$ change de signe en $a$.

Cet extremum local peut être :

un minimum si \[ \begin{cases} f'(x) < 0 & \text{pour } x < a \\ f'(x)>0 & \text{pour } x > a\end{cases};\]
un maximum si \[ \begin{cases} f'(x) > 0 & \text{pour }x < a \\ f'(x) < 0 & \text{pour }x > a\end{cases}.\]

Considérons la fonction $f(x)=-2x^3-20x^2+x+2$.

Sa dérivée est : $f'(x)=-6x^2-40x+1$, dont le discriminant est : \[ \Delta = (-40)^2-4\times(-6)\times1=\numprint{1624}>0. \] $f'(x)$ admet donc deux racines distinctes : \[ x_1=\dfrac{-20+\sqrt{406}}{6}\quad\text{et}\quad x_2=\dfrac{-20-\sqrt{406}}{6}. \] On déduit alors le tableau de variations suivant :

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Exercices

Nombre dérivé et tangente

On a dessiné ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ ainsi que celle de sa dérivée $f'$.

Retrouver la courbe qui représente $f$ et celle qui représente $f'$.

On constate que la courbe $\mathcal{C}_2$ est au-dessus de l'axe des abscisses sur $\intervFF{-2}{1}$ et que sur cet intervalle, $\mathcal{C}_1$ monte.

Ailleurs, $\mathcal{C}_1$ est en-dessous de l'axe des abscisses et $\mathcal{C}_2$ descend.

Ainsi, $\mathcal{C}_2$ représente $f'$ et $\mathcal{C}_1$ représente $f$.

Pour chacune des fonctions suivantes, calculer $f'(a)$ à l'aide du taux d'accroissement, puis trouver l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$.

$f(x)=x^2$, $a=2$
$f(x)=\dfrac{1}{x}$, $a=1$
$f(x)=x^2-2x+3$, $a=-1$
$f(x)=\sqrt{x}$, $a=4$

$f(x)=x^2$, $a=2$.
- Calcul de $f'(2)$.
  
  Le taux d'accroissement de $f$ en 2 est :
  
  \[ \begin{align} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} & = \dfrac{(2+h)^2-2^2}{h}\\ & = \dfrac{(2+h-2)(2+h+2)}{h}\\ &= \dfrac{\cancel h(4+h)}{\cancel h}\\ & = 4+h.\end{align} \]
  
  Ainsi, le nombre dérivé de $f$ en 2 est : \[ f'(2)=\limite{h}{0}{(4+h)}=4. \]
- L'équation de la tangente au point d'abscisse 2 est alors :
  
  \[ \begin{align} y & = f'(a)(x-a)+f(a)\\ y & = f'(2)(x-2)+f(2)\\ y & =4(x-2)+4\\ y & = 4x-8+4\\ y & = 4x-4.\end{align} \]
$f(x)=\dfrac{1}{x}$, $a=1$.
- Calcul de $f'(1)$.
  
  Le taux d'accroissement de $f$ en 1 est :
  
  \[ \begin{align} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} & = \dfrac{\frac{1}{1+h}-\frac11}{h}\\ & = \dfrac{\frac{1}{1+h}-\frac{1+h}{1+h}}{h}\\ &= \dfrac{\frac{-h}{1+h}}{h}\\ & = -\dfrac{\cancel h}{\cancel h(1+h)}\\ & = -\dfrac{1}{1+h}. \end{align} \]
  
  Ainsi, le nombre dérivé de $f$ en 1 est : \[ f'(1)=\limite{h}{0}{\left(-\dfrac{1}{1+h}\right)}=-1. \]
- L'équation de la tangente au point d'abscisse 1 est alors :
  
  \[ \begin{align} y & = f'(a)(x-a)+f(a)\\ y & = f'(1)(x-1)+f(1)\\ y & =-1(x-1)+1\\ y & = -x+1+1\\ y & = -x+2. \end{align} \]
$f(x)=x^2-2x+3$, $a=-1$.
- Calcul de $f'(-1)$.
  
  Le taux d'accroissement de $f$ en $-1$ est :
  
  \[ \begin{align} \dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h} & = \dfrac{(-1+h)^2-2(-1+h)+3-\big((-1)^2-2\times(-1)+3\big)}{h}\\ & = \dfrac{h^2-2h+1+2-2h+3-6}{h}\\ &= \dfrac{h^2-4h}{h}\\ & = \dfrac{\cancel h(h-4)}{\cancel h}\\ & = h-4.\end{align} \]
  
  Ainsi, le nombre dérivé de $f$ en $-1$ est : \[ f'(-1)=\limite{h}{0}{(h-4)}=-4. \]
- L'équation de la tangente au point d'abscisse $-1$ est alors :
  
  \[ \begin{align} y & = f'(a)(x-a)+f(a)\\ y & = f'(-1)(x+1)+f(-1)\\ y & =-4(x+1)+6\\ y & = -4x-4+6\\ y & = -4x+2. \end{align} \]
$f(x)=\sqrt{x}$, $a=4$.
- Calcul de $f'(4)$.
  
  Le taux d'accroissement de $f$ en $4$ est :
  
  \[ \begin{align} \dfrac{f(4+h)-f(4)}{h} & = \dfrac{\sqrt{4+h}-\sqrt{4}}{h}\\ & = \dfrac{\big(\sqrt{4+h}-2\big)\big(\sqrt{4+h}+2\big)}{h}\\ & = \dfrac{4+h-4}{h\big(\sqrt{4+h}+2\big)}\\ & = \dfrac{\cancel h}{\cancel h\big(\sqrt{4+h}+2\big)}\\ & = \dfrac{1}{\sqrt{4+h}+2}.\end{align} \]
  
  Ainsi, le nombre dérivé de $f$ en $4$ est : \[ f'(4)=\limite{h}{0}{\left(\dfrac{1}{\sqrt{4+h}+2}\right)}=\dfrac{1}{4}. \]
- L'équation de la tangente au point d'abscisse $4$ est alors :
  
  \[ \begin{align} y & = f'(a)(x-a)+f(a)\\ y & = f'(4)(x-4)+f(4)\\ y & =\dfrac{1}{4}(x-4)+2\\ y & = \dfrac{1}{4}x-1+2\\ y & = \dfrac 14x+1. \end{align} \]

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont quatre nombres réels.

On sait que :

le point $A\coord{1}{-1}$ appartient à $\mathcal{C}_f$ ;
la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ a pour équation : $y=-2x+1$ ;
$\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 2 ;
$f'(0)=-5$

Déterminer les valeurs de $a$, $b$, $c$ et $d$ à l'aide de ces informations.

- $A\coord{1}{-1}\in\mathcal{C}_f$ donc $f(1)=-1$, soit :
  
  \[ a+b+c+d=-1\quad(1) \]
- la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ a pour équation : $y=-2x+1$ donc $f'(1)=-2$, soit :
  
  \[ 3a+2b+c=-2\quad(2) \]
- $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 2 donc $f(0)=2$, d'où : \[ d=2.\]
- $f'(0)=-5$ et $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ donc : \[ c=-5. \]
Les équations (1) et (2) donnent alors le système suivant :

\[ \begin{cases} a+b=-1-(-5)-2=2\\ 3a+2b=-2-(-5)=3 \end{cases} \]

soit : \[ \begin{cases} a=2-b\\ 3(2-b)+2b=3 \end{cases} \]

La seconde équation donne alors : \[ 6-b=3\qquad\text{soit~:}\qquad b=3. \] La première équation donne alors : \[ a=2-3=-1. \]

On obtient finalement : \[ \boxed{f(x)=-x^3+3x^2-5x+2.} \]

La courbe ci-dessus représente la fonction $f$ dont l'expression est de la forme : \[ f(x)=ax^2+bx+c. \]

Lire graphiquement les valeurs : $f(0)\quad ;\quad f(2)\quad;\quad f'(2)\quad ; \quad f(4)\quad ; \quad f'(4)$.
Déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$ à l'aide des valeurs trouvées précédemment.
Calculer l'abscisse des points A et B.

- $f(0)=-1$ ;
- $f(2)=1$ ;
- $f'(2)=0$ car la fonction atteint un maximum pour $x=2$ ;
- $f(4)=-1$ ;
- $f'(4)=-2$ (coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4).
- $f(0)=a\times0^2+b\times0+c=c$ ; donc $c=-1$ d'après la question précédente (1er point).
- $f'(x)=2ax+b$ et $f'(2)=4a+b$ ; donc $4a+b=0$, soit $b=-4a$.
- $f(2)=1$ donc $4a+2b-1=1$, soit $-b+2b=2$ d'après le point précédent. Ainsi, $b=2$.
- $f'(4)=8a+b=-2$ donc $8a=-4$, soit $a=-\dfrac{1}{2}$.
Finalement, on a : $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x-1$.
L'abscisse des points A et B sont les solutions de l'équation $f(x)=0$.

\[ \Delta=2^2-4\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\times(-1)=4-2=2.\] Ainsi,

\[ x_B=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\] \[ x_B=\dfrac{-2-\sqrt{2}}{-1}\] \[ \underline{x_B=2+\sqrt{2}}\]

\[ x_A=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\] \[ x_A=\dfrac{-2+\sqrt{2}}{-1}\] \[ \underline{x_A=2-\sqrt{2}}\]

Calculs de dérivées

Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, calculer $f'(x)$.

$f(x)=3x-1$
$f(x)=5x^2+3x-1$
$f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-5x^2+3x-1$
$f(x)=\dfrac{1}{x}+\sqrt{x}$
$f(x)=2\sqrt{x}-\dfrac{3}{x}$
$f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{1}{3}\sqrt{x}$

$f(x)=3x-1$ donc $f'(x)=3$.
$f(x)=5x^2+3x-1$ donc $f'(x)=10x+3$.
$f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-5x^2+3x-1$ donc $f'(x)=x^2-10x+3$.
$f(x)=\dfrac{1}{x}+\sqrt{x}$ donc $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
$f(x)=2\sqrt{x}-\dfrac{3}{x}$ donc $f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{3}{x^2}$.
$f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{1}{3}\sqrt{x}$ donc $f'(x)=-x+3-\dfrac{1}{6\sqrt{x}}$.

Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, calculer $f'(x)$.

$f(x)=2x\sqrt{x}$
$f(x)=\dfrac{3x-1}{4x+5}$
$f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-x}{x^2+1}$
$f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x-3}$
$f(x)=\dfrac{\sqrt x}{x+\dfrac{1}{x}}$

$f(x)=2x\sqrt{x}$. On pose :

$u(x)=2x$

$u'(x)=2$

$v(x)=\sqrt{x}$

$v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

On a alors :\[ \begin{align} f'(x) & = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\ & = 2\sqrt{x}+2x\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\ & = 2\sqrt{x}+\dfrac{x}{\sqrt x}\\ & = 2\sqrt{x}+\dfrac{\cancel{\sqrt{x}}\times\sqrt{x}}{\cancel{\sqrt x}}\\ & = 2\sqrt{x}+\sqrt{x}\\ f'(x) & = 3\sqrt{x}. \end{align} \]
$f(x)=\dfrac{3x-1}{4x+5}$. On pose :

$u(x)=3x-1$

$u'(x)=3$

$v(x)=4x+5$

$v'(x)=4$

On a alors :\[ \begin{align} f'(x) & = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\big[v(x)\big]^2}\\ &= \dfrac{3(4x+5)-4(3x-1)}{(4x+5)^2}\\ & = \dfrac{12x+15-12x+4}{(4x+5)^2}\\ f'(x) & = \dfrac{19}{(4x+5)^2}. \end{align} \]
$f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-x}{x^2+1}$. On pose :

$u(x)=\sqrt{x}-x$

$u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-1$

$v(x)=x^2+1$

$v'(x)=2x$

On a alors : \[ \begin{align} f'(x) & = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\big[v(x)\big]^2}\\ & = \dfrac{ \left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-1\right)\times(x^2+1)-\left(\sqrt{x}-x\right)\times2x}{\big(x^2+1\big)^2}\\ & = \dfrac{\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}}-x^2-1-2x\sqrt{x}+2x^2}{\big(x^2+1\big)^2}\\ & = \dfrac{\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}}+x^2-2x\sqrt{x}-1}{\big(x^2+1\big)^2}\\ & = \dfrac{\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{2x^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}-\dfrac{4x^2}{2\sqrt{x}}-\dfrac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{\big(x^2+1\big)^2}\\ & = \dfrac{\dfrac{2x^2\sqrt{x}-2\sqrt{x}-3x^2+1}{2\sqrt{x}}}{\big(x^2+1\big)^2}\\ f'(x) & = \dfrac{2x^2\sqrt{x}-2\sqrt{x}-3x^2+1}{2\sqrt{x}\big(x^2+1\big)^2}. \end{align} \]
$f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x-3}$. On pose :

$u(x)=x^2-3x+1$

$u'(x)=2x-3$

$v(x)=x-3$

$v'(x)=1$

On a donc :\[ \begin{align} f'(x) & = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\big[v(x)\big]^2}\\ & = \dfrac{(2x-3)(x-3)-(x^2-3x+1)\times1}{(x-3)^2}\\ & = \dfrac{2x^2-6x-3x+9-x^2+3x-1}{(x-3)^2}\\ f'(x) & = \dfrac{x^2-6x+8}{(x-3)^2} \end{align} \]
$f(x)=\dfrac{\sqrt x}{x+\dfrac{1}{x}}$.

On commence par simplifier l'écriture de $f(x)$ :

\[ \begin{align} f(x) & = \dfrac{\sqrt{x}}{\frac{x^2+1}{x}}\\ & = \dfrac{x\sqrt{x}}{x^2+1}.\end{align} \]

On pose alors :

$u(x)=x\sqrt{x}$

\[ \begin{align} u'(x) & =1\times\sqrt{x}+x\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\ & = \sqrt{x}+\dfrac{\cancel{\sqrt{x}}\times\sqrt{x}}{2\cancel{\sqrt x}}\\ & = \sqrt{x}+\dfrac{1}{2}\sqrt{x}\\ &= \dfrac{3}{2}\sqrt{x}\end{align} \]

$v(x)=x^2+1$

$v'(x)=2x$

D'où :\[ \begin{align} f'(x) & = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\big[v(x)\big]^2}\\ & = \dfrac{\frac{3}{2}\sqrt x(x^2+1)-x\sqrt x \times 2x}{(x^2+1)^2}\\ & = \dfrac{\frac32x^2\sqrt x+\frac32\sqrt x-2x^2\sqrt x}{(x^2+1)^2}\\ & = \dfrac{\frac32\sqrt x-\frac12x^2\sqrt x}{(x^2+1)^2}\\ f'(x) & = \dfrac{\frac12\sqrt x\big(3-x^2\big)}{(x^2+1)^2}. \end{align} \]

Pour chacune des fonctions $f$ et $g$,

trouver son domaine de définition ;
trouver sa dérivée ;
trouver son sens de variations sur son domaine de définition ;
donner le signe de la fonction sur son domaine de définition.

$f(x)=(3x+2)\sqrt{x}$
$g(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\sqrt{x}$

$f(x)=(3x+2)\sqrt{x}$.
- Le domaine de définition de $f$ est : $\mathcal{D}_f=\intervFO{0}{+\infty}$.
- $f$ est de la forme $uv$ avec :
  
  $u(x)=3x+2$
  
  $u'(x)=3$
  
  $v(x)=\sqrt{x}$
  
  $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
  
  Donc :
  
  \[ \begin{align} f'(x) & = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\ & = 3\sqrt{x}+(3x+2)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\ & = 3\sqrt{x}+\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x}}\\ & = \dfrac{3\sqrt{x}\times2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x}}\\ & = \dfrac{6x+3x+2}{2\sqrt{x}}\\ f'(x) & = \dfrac{9x+2}{2\sqrt{x}}. \end{align} \]
- $f'(x)>0 \iff 9x+2>0$ car $2\sqrt{x}>0$ pour tout $x\in\intervOO{0}{+\infty}$.
  
  Ainsi, $f'(x)>0 \iff x>-\dfrac{2}{9}$, d'où le tableau suivant :
- D'après le tableau de variation de $f$, on peut dire que $f(x)\geqslant0$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$.
$g(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\sqrt{x}$.
- Le domaine de définition de $g$ est $\mathcal{D}_g=\intervOO{0}{+\infty}$.
- $g$ est de la forme $uv$ avec :
  
  $u(x)=1+\dfrac{1}{x}$
  
  $u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$
  
  $v(x)=\sqrt{x}$
  
  $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
  
  Donc :
  
  \[ \begin{align} g'(x) & = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\ & = -\dfrac{1}{x^2}\sqrt{x}+\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\ & = -\dfrac{\sqrt{x}}{x^2}+\dfrac{x+1}{x}\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\ & = -\dfrac{\cancel{\sqrt{x}}}{x\times\sqrt{x}\times\cancel{\sqrt{x}}}+\dfrac{x+1}{2x\sqrt{x}}\\ & = -\dfrac{1}{x\sqrt{x}}+\dfrac{x+1}{2x\sqrt{x}}\\ g'(x) & = \dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}. \end{align} \]
- $g'(x)>0 \iff x-1>0 \iff x>1$ car $2x\sqrt{x}>0$ sur $\mathcal{D}_g$.
  
  On a alors le tableau suivant :
- D'après le tableau de variations de $g$, on peut dire que $g(x)\geqslant2$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$, donc $g(x)>0$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$.

L'entreprise KIHARNAK fabrique de la poudre de fée dont tout le monde pourrait se passer et qui pourtant a un succès fou.

Son coût de production est donné par la fonction $C(q) =q^3-2q^2+10q+150$, où $q$ représente la quantité (en tonne) de poudre.

On définit le coût unitaire, ou coût moyen, par la fonction $CM(q)=\dfrac{C(q)}{q}$.

On rappelle que le coût marginal est la fonction définie par : $C_m(q) = C'(q)$.

Dans cet exercice, il ne faudra pas hésiter à prendre des initiatives en s'aidant éventuellement de la calculatrice ou d'un quelconque autre instrument informatique.

Donner l'expression de $CM(q)$, puis celle de $C_m(q)$.
\'Etudier les variations de $CM$, puis donner la quantité $q$ pour laquelle le coût moyen est minimal. Quel est alors ce coût ?
Résoudre l'équation $CM(q)=C_m(q)$. Que peut-on constater ?

$CM(q)=\dfrac{C(q)}{q} = \dfrac{q^3-2q^2+10q+150}{q} = q^2-2q+10+\dfrac{150}{q}$.

$C_m(q)=C'(q)=3q^2-4q+10$.
$CM'(q)=2q-2-\dfrac{150}{q^2}=\dfrac{2q^3-2q^2-150}{q^2}=\dfrac{2}{q^2}(q^3-q^2-75)$.

$\dfrac{2}{q^2}>0$ donc $CM'(q)$ est du signe du polynôme $P(q)=q^3-q^2-75$.

$P'(q)=3q^2-2q = q(3q-2)$ donc $q=0$ et $q=\dfrac{2}{3}$ sont les deux racines de $P$.

On en déduit le tableau suivant :

Intuitivement, comme il n'y a pas de valeurs interdites entre $\dfrac{2}{3}$ et 5, on peut supposer qu'il existe une valeur de $q$, notée $\alpha$, comprise entre $\dfrac{2}{3}$ et 5, telle que $P(\alpha)=0$.

Vous verrez l'année prochaine une formulation plus adéquate de ce qui vient d'être dit sur l'existence de $\alpha$; ce sera un théorème du cours.

On peut alors dresser le tableau suivant :

À la calculatrice, on trouve une valeur approché de $\alpha$ : \[ \alpha \approx 4,578. \] Le coût moyen de production est donc minimal pour $\numprint{4578}$ kg de poudre fabriquée.

Le coût minimal est alors $CM(\alpha)\approx54,57$ \euro, ce qui signifie qu'une tonne de poudre (de fée) coûte en moyenne 54,57 \euro{} à fabriquer si on en fabrique 4,578 tonnes.
Résolvons l'équation $CM(q)=C_m(q)$ à la calculatrice : on trouve $q\approx4,578$.

On constate que l'on obtient la valeur de $q$ pour laquelle le coût moyen est minimal.

On considère la fonction $f$ définie sur $\intervFO{0}{+\infty}$ par : $f(x)=\dfrac{x\sqrt x}{x^2+1}$.

On note $\cal C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\Rij$.

Montrer que la dérivée de la fonction $f$ est donnée par : $ f'(x)=\dfrac{\sqrt x(3-x^2)}{2(x^2+1)^2}$.
Etudier le signe de $f'(x)$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$, puis en déduire les variations de $f$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\cal C$ au point d'abscisse 1.

$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x\sqrt x$ et $v(x)=x^2+1$.

$u$ est une fonction produit $gh$ avec $g(x)=x$ et $h(x)=\sqrt x$, donc $u=g'h+h'g$. Ainsi,\[ \begin{align} u'(x) & =1\times\sqrt x+x\times\dfrac{1}{2\sqrt x}\\ & =\sqrt{x}+\dfrac{x}{2\sqrt x}\\ & = \sqrt x+\dfrac{\sqrt x}{2}\\ & = \dfrac{3}{2}\sqrt x. \end{align} \]

On a alors :\[ \begin{align} f'(x) & = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}(x)\\ & = \dfrac{\frac{3}{2}\sqrt x(x^2+1)-x\sqrt x\times2x}{(x^2+1)^2}\\ & = \dfrac{3\sqrt x(x^2+1)-4x^2\sqrt x}{2(x^2+1)^2}\\ f'(x) & = \dfrac{\sqrt x(3-x^2)}{2(x^2+1)^2}. \end{align} \]
$2(x^2+1)^2>0$ et $\sqrt x\geqslant0$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$. Par conséquent, $f'(x)$ est du signe de $3-x^2$, polynôme de degré 2 admettant pour racines $\sqrt3$ et $-\sqrt3$ et dont le coefficient de $x^2$ est négatif, d'où le tableau suivant.
L'équation réduite d'une tangente est donnée par la formule $y=f'(a)(x-a)+f(a)$, avec ici $a=1$.

$f(a)=\dfrac{1}{2}$ et $f'(a)=\dfrac{1}{4}$ donc l'équation réduite de la tangente à $\cal C$ au point d'abscisse 1 est : \[ y=\dfrac{1}{4}(x-1)+\dfrac{1}{2} \] soit $\boxed{y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}}$

Optimisation

On souhaite construire une boîte parallélépipédique à partir d'un carton carré de 4 mètres de côté, comme l'illustre le schéma ci-contre.

La partie hachurée correspond à la partie du carton qui va être pliée (aux pointillés) pour obtenir la boîte.

Montrer que le volume de la boîte est égal à $f(x)=2x(2-x)^2$.
Etudier les variations de $f$, puis en déduire la valeur de $x$ (arrondie au centimètre près) pour laquelle le volume de la boîte est optimal.

Notons $y$ la largeur d'une face de la boîte (voir illustration suivante). Alors, \[ y+x+y+x=4\;, \] soit : \[ y=2-x. \]

Le volume de la boîte est alors :\[ \begin{align} f(x) & = x\times (4-2x)\times y\\ f(x) & = 2x(2-x)^2. \end{align} \]
$f(x)=2x(4-4x+x^2)=2x^3-8x^2+8x$.

Ainsi, $f'(x)=6x^2-16x+8$, dont le discriminant est $\Delta=16^2-4\times6\times8=64$. $f'(x)$ admet donc deux racines : $\alpha=\dfrac{16-\sqrt{64}}{12}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$ et $\beta=\dfrac{16+8}{12}=2$. On a alors :

Notons que $x$ ne peut pas dépasser la valeur 2 car il faut que $4-2x\geqslant0$, soit $2x\leqslant4$, d'où $x\leqslant2$.

Le maximum de $f$ est atteint en $x=\dfrac{2}{3}$ (exprimé en mètre).

Le volume de la boîte est optimal pour $x=67$ cm.

Une casserole peut être assimilée à un cylindre avec une seule base (le fond). On note $R$ le rayon du disque constituant la base et $h$ la hauteur du cylindre.

Montrer que la surface de la casserole est donnée par la fonction $f(R)=\pi R^2+\dfrac{2V}{R}$, où $V$ est le volume de la casserole.
Montrer alors que la surface est minimale quand la hauteur de la casserole est égale au rayon de la base.